2023年山东省烟台市中考数学试卷.doc

2023年山东省烟台市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．（3分）﹣的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 2．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列四种图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6 C．a2•a3＝a5 D．a8÷a2＝a4 5．（3分）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，对正方体进行两次切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤几何体的俯视图为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（　　） A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 8．（3分）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（　　） A．P1＜P2 B．P1＝P2 C．P1＞P2 D．无法判断 9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（　　） A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（3分）“北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为 　 　． 12．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 　 　． 13．（3分）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 　 　． 14．（3分）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： ①按键的结果为4； ②按键的结果为8； ③按键的结果为0.5； ④按键的结果为25． 以上说法正确的序号是 　 　． 15．（3分）如图，在直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则k的值为 　 　． 16．（3分）如图1，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为 　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17．（6分）先化简，再求值：÷（a+2+），其中a是使不等式≤1成立的正整数． 18．（7分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为 　 　；若该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有 　 　人； （3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 19．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325） 20．（8分）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q． 【问题提出】 在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长； 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长； 方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长． 21．（9分）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值． 23．（11分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE． （1）如图1，求证：DE＝BF； （2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长． 24．（13分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E． （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值． 2023年山东省烟台市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。 1．【解答】解：﹣的倒数是﹣． 故选：D． 2．【解答】解：A．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B．和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C．＝2，和是同类二次根式，故本选项符合题意； D．＝2，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．【解答】解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意； C．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．原图不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 4．【解答】解：A．a2+a2＝2a2，故此选项不合题意； B．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意； C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意； D．a8÷a2＝a6，故此选项不合题意． 故选：C． 5．【解答】解：， 解不等式①得：m≥1， 解不等式②得：m＜﹣1， 故不等式组的解集为：无解． 在数轴上表示为：． 故选：A． 6．【解答】解：图⑤几何体的俯视图为： ． 故选：A． 7．【解答】解：A．甲班视力值的平均数为：＝4.7， 乙班视力值的平均数为：＝4.7， 所以甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，故选项A说法错误，不符合题意； B．甲班视力值的中位数为＝4.7，乙班视力值的中位数为＝4.7， 所以甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，故选项B说法错误，不符合题意； C．甲班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6，乙班视力值的极差为5.0﹣4.4＝0.6， 所以甲班视力值的极差等于乙班视力值的极差，故选项C说法错误，不符合题意； D．甲班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+4×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.025， 乙班视力值的方差为×[（4.4﹣4.7）2+（4.5﹣4.7）2+（4.6﹣4.7）2+2×（4.7﹣4.7）2+（4.8﹣4.7）2+（4.9﹣4.7）2+（5.0﹣4.7）2]＝0.035， 所以甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故选项D说法正确，符合题意； 故选：D． 8．【解答】解：如图，令正方形的边长为2a， 则空白部分的面积为2××π•a2+2（a2﹣×π•a2）＝πa2+2a2﹣＝2a2， 则阴影部分的面积为（2a）2﹣2a2＝4a2﹣2a2＝2a2， 所以小球停在阴影部分的概率为P1＝停在空白部分的概率为P2， 故选：B． 9．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，m）， ∴﹣， ∴，即ab＞0， 由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴abc＞0， 故①正确，符合题意； ②∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴， ∴﹣， ∴， ∴a＝b， 由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴2b+c＜0， 故②错误，不符合题意； ③∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴， 设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2， 则， ， ∴d2＞d1， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴y1＞y2， 故③正确，符合题意； ④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0， ∴b2﹣4ac+12a＜0， ∴b2﹣4ac＜﹣12a， ∴4ac﹣b2＞12a， ∵， ∴m＜3， 故④正确，符合题意． 故选：C． 10．【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3）， ∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1， ∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34）， 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．【解答】解：将3600亿用科学记数法表示为3.6×1011． 故答案为：3.6×1011． 12．【解答】解：如图， 由题意得：AB∥CD， ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝102°， ∴∠BCD＝78°， ∴∠2＝78°， 故答案为：78°． 13．【解答】解：设量角器的圆心是O，连接OD，OB， ∵∠BOD＝130°﹣25°＝105°， ∴∠BAD＝∠BOD＝52.5°． 故答案为：52.5°． 14．【解答】解：①按键的结果为＝4；故①正确，符合题意； ②按键的结果为4+（﹣2）3＝﹣4；故②不正确，不符合题意； ③按键的结果为sin（45°﹣15° ）＝sin30°＝0.5；故③正确，符合题意；④按键的结果为（3﹣）×22＝10；故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③． 故答案为：①③． 15．【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E， 设⊙A的半径为r， ∵⊙A与x轴相切于点B， ∴AC＝AB＝r，BC＝2r， 设AE＝a， 则点C的坐标为（a，2r）， ∴k＝2ar， ∵， ∴， 即：ar＝12， ∴k＝2ar＝24． 故答案为：24． 16．【解答】解：如图过点A作AQ⊥BC于点Q，当点P与Q重合时，在图2中F点表示当AB+BQ＝12时，点P到达点Q，此时当P在BC上运动时，AP最小， ∴BC＝7，BQ＝4，QC＝3， 在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4， ∴AQ＝， ∵S△ABC＝AB×CG＝AQ×BC， ∴CG＝． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17．【解答】解：原式＝÷ ＝• ＝• ＝， ∵≤1， 解得：a≤3， ∵a是使不等式≤1成立的正整数，且a﹣2≠0，a﹣3≠0， ∴a＝1， ∴原式＝＝﹣． 18．【解答】解：（1）本次抽取的学生有：14÷28%＝50（人）， 其中选择B的学生有：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人）， 补全的条形统计图如图所示； （2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为：360°×＝14.4°， 该市有1000名中学生参加本次活动，则选择A大学的大约有：1000×＝200（人）， 故答案为：14.4°，200； （3）树状图如下所示： 由上可得，一共有9种等可能性，其中两人恰好选取同一所大学的可能性有3种， ∴两人恰好选取同一所大学的概率为＝． 19．【解答】解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G， 由题意得：PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG， 设AF＝BG＝x米， 在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米， ∴DF＝CD＝8（米）， 在Rt△PAF中，∠PAF＝45°， ∴PF＝AF•tan45°＝x（米）， 在Rt△BPG中，∠GBP＝18°， ∴GP＝BG•tan18°≈0.325x（米）， ∴FG＝PF+PG＝x+0.325x＝1.325x（米）， ∴1.325x＝53， 解得：x＝40， ∴PF＝40米， ∴PD＝PF﹣DF＝40﹣8＝32（米）， ∴该风力发电机塔杆PD的高度约为32米． 20．【解答】解：方案一：连接OQ，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5， 由作图知BO＝OC＝BC＝2.5， 由翻折的不变性，知AP＝AB＝3，OP＝OB＝2.5，∠APO＝∠B＝90°， ∴OP＝OC＝2.5，∠QPO＝∠C＝90°，又OQ＝OQ， ∴△QPO≌△QCO（HL）， ∴PQ＝CQ， 设PQ＝CQ＝x，则AQ＝3+x，DQ＝3﹣x， 在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2.即52+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝， ∴线段CQ的长为； 方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝5， 由作图知BO＝OC＝BC＝2.5， 由旋转的不变性，知CR＝AB＝3，∠BAO＝∠R，∠B＝∠OCR＝90°， 则∠OCR+∠OCD＝90°+90°＝180°， ∴D、C、R共线， 由翻折的不变性，知∠BAO＝∠OAQ， ∴∠OAQ＝∠R， ∴QA＝QR， 设CQ＝x，则QA＝QR＝3+x，DQ＝3﹣x， 在Rt△ADQ中，AD2+QD2＝AQ2，即52+（3﹣x）2＝（3+x）2， 解得x＝， ∴线段CQ的长为． 21．【解答】解：（1）设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是x元， 根据题意得：﹣＝5， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意， ∴x＝×40＝30． 答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元； （2）设购买m本《孙子算经》，则购买（80﹣m）本《周髀算经》， 根据题意得：80﹣m≥m， 解得：m≤． 设购买这两种图书共花费w元，则w＝30×0.8m+40×0.8（80﹣m）， ∴w＝﹣8m+2560， ∵﹣8＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m≤，且m为正整数， ∴当m＝53时，w取得最小值，此时80﹣m＝80﹣53＝27． 答：当购买53本《孙子算经》、27本《周髀算经》时，总费用最少． 22．【解答】（1）证明：连接OA，则OF＝OA， ∴∠OAF＝∠OFA， ∵AG＝GD， ∴OF⊥AD， ∴∠AGF＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠OAB＝∠OAF+∠BAE＝∠OFA+∠DAE＝90°， ∴OA是⊙O半径，且AB⊥OA， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：∵＝，AD＝2AG， ∴＝， ∴＝， 设AG＝4m，则OA＝5m， ∴OF＝OA＝5m， ∵∠AGO＝90°， ∴OG＝＝＝3m， ∴FG＝OF﹣OG＝5m﹣3m＝2m， ∵∠AED＝∠AGF＝90°， ∴∠ADB＝∠AFG＝90°﹣∠DAE， ∴tan∠ADB＝tan∠AFG＝＝＝2， ∴tan∠ADB的值是2． 23．【解答】（1）证明：∵△ACD、△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE， ∵∠A＝∠CBE， ∴∠A＝∠ECB，∠ADC＝∠CEB， ∴AD∥CE， ∴∠ADC＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠CEB， ∵EF＝AD，CE＝BE， ∴△DCE≌△FEB（SAS）， ∴DE＝BF； （2）解：∵∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠CBE，CE＝BE， ∵∠DCA＝∠CBE， ∴∠A＝∠ECB， ∴DC∥BE， 作GH∥CD，交CE于H， ∵DG＝EG，GH∥BE， ∴CH＝EH， ∵AD＝2，AD＝CD， ∴CD＝2， ∴GH＝， 设CE＝BE＝m， ∴EH＝， ∵EF＝AD＝2， ∴FH＝， ∵GH∥BE， ∴△GHF∽△BEF， ∴，即， 解得m＝2+2或m＝2﹣2（舍去）， ∴BE的长为2+2． 24．【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4， ∴A（1，0），B（5，0）， 将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0， 解得k＝1， ∴直线AD的解析式为y＝x﹣1； 将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5； （2）存在点M， ∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E， ∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2， ∴D（3，2）， ①当∠DAM＝90°时， 设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入， 得﹣1+c＝0， 解得c＝1， ∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1， 解方程组，得或， ∴点M的坐标为（4，﹣3）； ②当∠ADM＝90°时， 设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入， 得﹣3+d＝2， 解得d＝5， ∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5， 解方程组，解得或， ∴点M的坐标为（0，5）或（5，0）， 综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）； （3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF， ∵PB＝2， ∴， ∵， ∴， 又∵∠PBF＝∠ABP， ∴△PBF∽△ABP， ∴，即PF＝PA， ∴PC+PA＝PC+PF≥CF， ∴当点C、P、F三点共线时，PC+PA的值最小，即为线段CF的长， ∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4， ∴CF＝， ∴PC+PA的最小值为． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/8/3 15:02:06；用户：15364718236；邮箱：15364718236；学号：32365383 菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序 第24页（共24页）