图形的旋转(解答题).docx

2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的旋转(解答题)》 一．解答题（共19小题） 1．（2023•大连）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC＝2∠ACB．” 小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻折得到． （1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC＝2∠ACB； （2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD．若CD＝1，则求BC的长． 2．（2023•贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上． （1）【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 　 　度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由． 3．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G． （1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系； （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC； （3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出S1S2的值． 4．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°； （2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD． ​ 5．（2023•荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线． （1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； （2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF． ①确定△PCF的形状，并说明理由； ②若AP：PB＝1：2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）． 6．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　 　，MN与AC的位置关系是 　 　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 7．（2023•邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平形线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ，PQ交AC于F． （1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ＝120°． （2）当APDP为何值时，△AQF是直角三角形？ ​ 8．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形； （2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 9．（2023•广元）如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且 ∠DBC＝30°． （1）若∠BCD＝90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB＝90°，∠EBA＝30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是 　 　； （2）如图2，在（1）的条件下，若DE⊥AB，AB＝4，AC＝2，求BC的长； （3）如图3，若∠BCD＝90°，AB＝4，AC＝2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值． 10．（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． （1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当△ABC的三个内角均小于120°时， 如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′， 由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 　 　三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B， 由 　 　可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”， 且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝　 　； 已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 　 　点． （2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值； （3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝23km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 　 　元．（结果用含a的式子表示） 11．（2023•宜昌）如图，在方格纸中按要求画图，并完成填空． （1）画出线段OA绕点O顺时针旋转90°后得到的线段OB，连接AB； （2）画出与△AOB关于直线OB对称的图形，点A的对称点是C； （3）填空：∠OCB的度数为 　 　． 12．（2023•湖北）【问题呈现】 △CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：　 　． （2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当m=3，AB＝47，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长． 13．（2023•安徽）在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD位置，点D在直线AB外，连接AD，BD． （1）如图1，求∠ADB的大小； （2）已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD，DE∥AB． （i）如图2，连接CD，求证：BD＝CD； （ii）如图3，连接BE，若AC＝8，BC＝6，求tan∠ABE的值． 14．（2023•巴中）综合与实践． （1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O． ①∠BOC的度数是 　 　． ②BD：CE＝　 　． （2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O． ①∠AOB的度数是 　 　； ②AD：BE＝　 　． （3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点． ①说明△MND为等腰三角形． ②求∠MND的度数． 15．（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． （1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′． （2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C． 16．（2023•金昌）【模型建立】 （1）如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上． ①求证：AE＝CD； ②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，△ABC是直角三角形，AB＝AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由； 【模型迁移】 （3）在（2）的条件下，若AD＝42，BD＝3CD，求cos∠AFB的值． 17．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF． （1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF； （2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH； （3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值． 18．（2023•达州）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． （1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． ​ 19．（2023•自贡）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE＝2，AB＝4． （1）将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值； （2）将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长． 2023年中考数学真题知识点汇编之《图形的旋转(解答题)》 参考答案与试题解析 一．解答题（共19小题） 1．（2023•大连）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究： 独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC＝2∠ACB．” 小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻折得到． （1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC＝2∠ACB； （2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展． 问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD．若CD＝1，则求BC的长． 【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】问题1：（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由折叠的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠BDE＝180°﹣2∠C，由邻补角的性质可得结论； （2）由三角形中位线定理可得CD＝2EF，由勾股定理可求AF，BF，即可求解； 问题2：先证四边形CGMD是矩形，由勾股定理可求AD，由等腰三角形的性质可求MD，CG，即可求解． 【解答】问题1：（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵△BDE由△ABE翻折得到， ∴∠A＝∠BDE＝180°﹣2∠C， ∵∠EDC+∠BDE＝180°， ∴∠EDC＝2∠ACB； （2）解：如图，连接AD，交BE于点F， ∵△BDE由△ABE翻折得到， ∴AE＝DE，AF＝DF， ∴CD＝2EF＝3， ∴EF=32， ∵点E是AC的中点， ∴AE＝EC=12AC＝2， 在Rt△AEF中，AF=AE2-EF2=4-94=72， 在Rt△ABF中，BF=AB2-AF2=16-74=572， ∴BE＝BF+EF=3+572； 问题2：解：连接AD，过点B作BM⊥AD于M，过点C作CG⊥BM于G， ∵AB＝BD，BM⊥AD， ∴AM＝DM，∠ABM＝∠DBM=12∠ABD， ∵2∠BDC＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠DBM， ∴BM∥CD， ∴CD⊥AD， 又∵CG⊥BM， ∴四边形CGMD是矩形， ∴CD＝GM， 在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝4，AD=AC2-CD2=42-12=15， ∴AM＝MD=152，CG＝MD=152， 在Rt△BDM中，BM=BD2-DM2=16-154=72， ∴BG＝BM﹣GM＝BM﹣CD=72-1=52， 在Rt△BCG中，BC=BG2+CG2=254+154=10． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（2023•贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上． （1）【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为 　135　度； （2）【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系，并说明理由． 【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识． 【分析】（1）根据题意画出图形，由CA＝CB，∠C＝90°，得∠ABC＝45°，而BD⊥AB，即得∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝135°； （2）过P作PM∥AB交AC于M，证明△PCM是等腰直角三角形，得CP＝CM，∠PMC＝45°，即可证△APM≌△PEB（ASA），故PA＝PE； （3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，结合（2）可得AB=2BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，证明△BPN是等腰直角三角形，可得∠ABP＝135°，BP＝NP，BN=2BP，∠PNB＝45°，即可证△EPN≌△APB（ASA），EN＝BA，根据BE＝EN+BN，即得BE＝BA+2BP． 【解答】解：（1）画出图形如下： ∵CA＝CB，∠C＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝90°， ∴∠PBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+90°＝135°； 故答案为：135； （2）PA＝PE，理由如下： 过P作PM∥AB交AC于M，如图： ∴∠MPC＝∠ABC＝45°， ∴△PCM是等腰直角三角形， ∴CP＝CM，∠PMC＝45°， ∴CA﹣CM＝CB﹣CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE， ∵∠APE＝90°， ∴∠EPB＝90°﹣∠APC＝∠PAC， ∴△APM≌△PEB（ASA）， ∴PA＝PE； （3）当P在线段BC上时，过P作PM∥AB交AC于M，如图： 由（2）可知，BE＝PM，BP＝AM， ∵AB=2（AM+CM）， ∴AB=2BP+2CM， ∵PM=2CM， ∴AB=2BP+BE； 当P在线段CB的延长线上时，过P作PN⊥BC交BE于N，如图： ∵∠ABD＝90°，∠ABC＝45°， ∴∠PBN＝180°﹣∠ABC﹣∠ABD＝45°， ∴△BPN是等腰直角三角形，∠ABP＝135°， ∴BP＝NP，BN=2BP，∠PNB＝45°， ∴∠PNE＝135°＝∠ABP， ∵∠APE＝90°， ∴∠EPN＝90°﹣∠APN＝∠APB， ∴△EPN≌△APB（ASA）， ∴EN＝BA， ∵BE＝EN+BN， ∴BE＝BA+2BP； 综上所述，当P在线段BC上时，AB=2BP+BE；当P在线段CB的延长线上时，BE＝BA+2BP． 【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G． （1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系； （2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC； （3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出S1S2的值． 【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识． 【分析】（1）连接BE，由∠ACB＝90°，CA＝CB，得∠A＝45°，根据线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，有CD＝CE，∠DCE＝90°，可得△BCE≌△ACD（SAS），从而BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°，知△BEF是等腰直角三角形，BE=2EF，故AD=2EF； （2）由∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，得∠COB＝90°，AB=2BC，证明△CEG≌△DCA（AAS），得CG＝AD，根据AD+BD＝AB，即得CG+BD=2BC； （3）由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m，分两种情况：当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，由△CEG≌△DCA，得GE＝AC＝3m，而四边形BCKF是矩形，有KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，根据勾股定理可得CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2，故S1=12CD•CE=12CE2=5m22，S2=12AC•BC=9m22，即得S1S2=59；当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，同理可得S1S2=179． 【解答】（1）解：AD=2EF，理由如下： 连接BE，如图： ∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠A＝45°， ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°， ∵直线l⊥BC， ∴∠EBF＝45°， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BE=2EF， ∴AD=2EF； （2）证明：如图， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点， ∴∠COB＝90°，AB=2BC， ∵∠BFG＝90°， ∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A， ∵BC⊥直线l，EF⊥直线l， ∴BC∥GF， ∴∠CEG＝∠BCE， ∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， ∴∠CEG＝∠ACD， ∵CE＝CD， ∴△CEG≌△DCA（AAS）， ∴CG＝AD， ∵AD+BD＝AB， ∴CG+BD=2BC； （3）解：由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m， 当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图： 由（2）知△CEG≌△DCA， ∴GE＝AC＝3m， ∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°， ∴四边形BCKF是矩形， ∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°， ∴KE＝KF﹣EF＝2m， ∴GK＝GE﹣KE＝m， ∵∠G＝45°， ∴CK＝GK＝m， ∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2， ∴S1=12CD•CE=12CE2=5m22， ∵AC＝BC＝3m， ∴S2=12AC•BC=9m22， ∴S1S2=59； 当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图： 同理可得BC＝AC＝EG＝3m， ∴FG＝EG﹣EF＝2m， ∵TF＝BC＝3m， ∴TG＝TF﹣FG＝m， ∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点， ∴∠AOC＝45°， ∵BC∥EF， ∴∠ETC＝90°， ∴CT＝TG＝m， ∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2， ∴S1=17m22， ∴S1S2=179； 综上所述，S1S2的值为59或179． 【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2023•武汉）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先将线段BE绕点B顺时针旋转90°，画对应线段BF，再在CD上画点G，并连接BG，使∠GBE＝45°； （2）在图（2）中，M是BE与网格线的交点，先画点M关于BD的对称点N，再在BD上画点H，并连接MH，使∠BHM＝∠MBD． ​ 【考点】作图﹣旋转变换；全等三角形的判定与性质；作图﹣轴对称变换．菁优网版权所有 【专题】作图题；图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【分析】（1）取格点F，连接BF，连接 EF，再取格点P，连接CP交EF于Q，连接BQ，延长交CD于G即可； （2）取格点F，连接 BF、EF，交格线于N，再取格点P，Q，连接PQ交EF于O，连接MO并延长交BD于H即可． 【解答】解：（1）如图（1），线段BF和点G即为所求； 理由：∵BC＝BA，CF＝AE，∠BCF＝∠BAE＝90°， ∴△BCF≌△BAE（SAS）， ∴∠CBF＝∠ABE， ∴∠FBE＝∠CBF+∠CBE＝∠ABE+∠CBE＝∠CBA＝90°， ∴线段BE绕点B顺时针旋转90° 得BF， ∵PE∥FC， ∴∠PEQ＝∠CFQ，∠EPQ＝∠FCQ， ∵PE＝FC， ∴△PEQ≌△CFO（ASA）， ∴EQ＝FQ， ∴∠GBE=12∠EBF＝45°； （2）如图（2）所示，点N与点H即为所求， 理由：∵BC＝BA，∠BCF＝∠BAE＝90°，CF＝AE， ∴△BCF≌△BAE（SAS）， ∴BF＝BE， ∵DF＝DE， ∴BF与BE 关于BD对称 ∵BN＝BM， ∴M，N关于BD对称， ∵PE/FC， ∴△POE∽△QOF， ∴EOOF=PEFQ=12， ∵MG∥AE ∴EMMB=AGGB=24=12， ∴EMEB=EOEF=13， ∵∠MEO＝∠BEF， ∴△MEO∽△BEF， ∴∠EMO＝∠EBF， ∴OM∥BF， ∴∠MHB＝∠FBH， 由轴对称可得∠FBH＝∠EBH， ∴∠BHM＝∠MBD． 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，勾股定理、勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质． 5．（2023•荆州）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线． （1）如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹； （2）如图3，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC＞AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF． ①确定△PCF的形状，并说明理由； ②若AP：PB＝1：2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）． 【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；三角形；矩形 菱形 正方形；展开与折叠；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据新定义，画出等联角即可； （2）①△PCF是等腰直角三角形，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N，由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt△CME≌Rt△CNE，得出∠PCF＝45°，即可求解； ②过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R，则∠R＝∠A＝90°．证明△APC≌△RFP，得出AP＝BR＝FR，在Rt△BRF 中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k，进而证明四边形BRFQ为正方形，则BQ＝QF＝k，由FQ∥CN，得出△AEF∽△NEC，根据相似三角形的性质得出NE=32k，根据 PE＝PM+ME即可． 【解答】解：（1）作图如下：（方法不唯一） （2）①△PCF是等腰直角三角形．理由为： 如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于N． 由折叠得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2， ∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°， ∴四边形ABNC为正方形， ∴CN＝AC＝CM， 又∵CE＝CE， ∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）， ∴∠3＝∠4， 而∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∠CPF＝90°， ∴∠PCF＝∠2+∠3＝∠CFP＝45°， ∴△PCF是等腰直角三角形． ②如图，过点F作FQ⊥BE于Q，FR⊥PB交PB的延长线于R， 则∠R＝∠A＝90°， ∵∠1+∠5＝∠5+∠6＝90°， ∴∠1＝∠6， 由△PCF是等腰直角三角形知：PC＝PF， ∴△APC≌△RFP（AAS）， ∴AP＝FR，AC＝PR， 而AC＝AB， ∴AP＝BR＝FR， 在Rt△BRF中，BR2+FR2＝BF2，BF=2k， ∴AP＝BR＝FR＝k， ∴PB＝2AP＝2k， ∴AB＝AP+PB＝BN＝3k， ∵BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°， ∴四边形BRFQ为正方形，BQ＝OF＝k， ∵FQ⊥BN，CN⊥BN， ∴FQ∥CN， ∴QENE=QFCN， 而QE＝BN﹣NE﹣BQ＝3k﹣NE﹣k＝2k﹣NE， ∴2k-NENE=k3k=13， 解得：NE=32k， 由①知：PM＝AP＝k，ME=NE=32k， ∴PE=PM+ME=k+32k=52k， 答：等联线AB＝3k，线段PE=52k． 【点评】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键． 6．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN． 初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 　MN=12AC　，MN与AC的位置关系是 　MN∥AC　． 特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF． ①求∠BCF的度数； ②求CD的长． 深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由． 【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；推理能力． 【分析】（1）AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，则MN是△ABC的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：①连接EM，MN，NF，证明△BME是等边三角形，△BNF是等边三角形，得出∠FCB＝30°； ②连接AN，证明△ADN∽△BDE，则 DNDE=ANBE=222=2，设DE＝x，则DN=2x，在Rt△ABE中，BE＝2，AE=23，则AD=23-x，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，勾股定理求得x=4-23，则CD=DN+CN=2x+22=62-26； （3）当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，得出∠BEC+∠BAC＝180°，则A．B，E，C 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，表示∠BAE与∠ABF，即可求解；当F在EC上时，可得A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°，表示∠BAE 与∠ABF，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴MN=12AC，MN∥AC； 故答案是：MN=12AC，MN∥AC； （2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF， ∵MN是△BAC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠BMN＝∠BAC＝90°， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF， ∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°， ∵点A，E，F在同一直线上， ∴∠AEB＝∠BEF＝90°， 在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点， ∴ME=12AB=MB， ∴BM＝ME＝BE， ∴△BME是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°， ∴∠NBF＝60°，BN＝BF， ∴△BNF是等边三角形， 又∵BN＝NC，BN＝NF， ∴NF＝NC， ∴∠NCF＝∠NFC， ∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°， ∴∠FCB＝30°； （2）如图所示，连接AN， ∵AB＝AC，∠BAC＝90° BC=42， ∴AB=22BC=4，∠ACB＝∠ABC＝45°， ∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°， ∴△ADN∽△BDE， ∴DNDE=ANBE=222=2， 设DE＝x，则DN=2x， 在Rt△ABE中，BE=2，AE=23，则AD=23-x， 在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2， ∴(23-x)2=(2x)2+(22)2， 解得：x=4-23 或 x=-23-4 （舍去）， ∴CD=DN+CN=2x+22=62-26； （3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ， ∵MN是△ABC的中位线， ∴MN∥AC， ∴∠MNB＝∠MBN＝θ， ∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF， ∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α， ∴∠EBF＝∠EFB＝θ， ∴∠BEF＝180°﹣2θ， ∵点C，E，F在同一直线上， ∴∠BEC＝2θ， ∴∠BEC+∠BAC＝180°， ∴A，B，E，C在同一个圆上， ∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ， ∵∠ABF＝α+θ， ∴∠BAE+∠ABF＝180°， 如图所示，当F在EC上时， ∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC， ∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ， 将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则 α+β＝360°， ∴∠ABF＝θ﹣β， ∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB， ∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β， ∵EB=EB， ∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β， ∴∠BAE＝∠ABF， 综上所述，∠BAE＝∠ABF或