四边形(解答题一).docx

2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(解答题一)》 一．解答题（共25小题） 1．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积． 2．（2023•贵州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可 证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接AD，若AD=52，CBAC=23，求AC的长． 3．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ （3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 4．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）． 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c． 求证：BO2=a2+b22-c24． 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 　 　． 5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE， ①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB； ②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝　 　． （2）如图2，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝73时，请直接写出AG的长． 6．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转． 特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 7．（2023•长春）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0） （1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为 　 　； （2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE； （3）当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； （4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围． 8．（2023•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E． （1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB， ①求证：AE＝2EP； ②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）． 9．（2023•无锡）如图，△ABC 中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证： （1）△CEF≌△AED； （2）四边形DBCF是平行四边形． 10．（2023•张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF． （1）求证：AE∥BF； （2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形． 11．（2023•长沙）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F． （1）求证：AD＝AF； （2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积． 12．（2023•吉林）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，点O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC﹣CD向终点D匀速运动，连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA﹣AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜4），四边形PQMN的面积为 y（cm2） （1）BP的长为 　 　cm，CM的长为 　 　cm．（用含x的代数式表示） （2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值． ​ 13．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察 如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM． （2）用数学的思维思考 如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F． （3）用数学的语言表达 如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明． 14．（2023•菏泽）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，CF平分∠BCD，交AD于点F．求证：AE＝CF． 15．（2023•兰州）综合与实践： 【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由； 【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH＝HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题． 16．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是 　 　． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG=45（∠EFG 为锐角），则四边形ECPH的面积为 　 　． ​ 17．（2023•绥化）已知：四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，点F是BC延长线上的一个动点（点F不与点C重合）．连接AF交CD于点G． （1）如图一，当点G为CD的中点时，求证：△ADG≌△FCG； （2）如图二，过点C作CE⊥AF，垂足为E．连接BE，设BF＝x，CE＝y．求y关于x的函数关系式； （3）如图三，在（2）的条件下，过点B作BM⊥BE，交FA的延长线于点M．当CF＝1时，求线段BM的长． 18．（2023•河南）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，在平面直角坐标系中，过点M（4，0）的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1 关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 　 　；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为 　 　个单位长度． （2）探究迁移 如图2，▱ABCD中，∠BAD＝α（0°＜α＜90°），P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题： ①若∠PAP2＝β，请判断β与α的数量关系，并说明理由； ②若AD＝m，求P，P3两点间的距离． （3）拓展应用 在（2）的条件下，若α＝60°，AD=23，∠PAB＝15°，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长． ​ 19．（2023•兰州）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE． （1）判断四边形OCDE的形状，并说明理由； （2）当CD＝4时，求EG的长． 20．（2023•长春）将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点A、E，B、D依次在同一条直线上，连接AF、CD． （1）求证：四边形AFDC是平行四边形； （2）已知BC＝6cm，当四边形AFDC是菱形时，AD的长为 　 　cm． 21．（2023•广东）综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 22．（2023•岳阳）如图，点M在▱ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项中①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4，选择一个合适的选项作为已知条件，使▱ABCD为矩形． （1）你添加的条件是 　 　（填序号）； （2）添加条件后，请证明▱ABCD为矩形． 23．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F． （1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由； （2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时， ①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积． 24．（2023•十堰）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点B，C为圆心，12AC，12BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP． （1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由； （2）请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？ 25．（2023•温州）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G，GE＝GH． （1）求证：BE＝CF； （2）当ABFH=56，AD＝4时，求EF的长． 2023年中考数学真题知识点汇编之《四边形(解答题一)》 参考答案与试题解析 一．解答题（共25小题） 1．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积． 【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形；平行四边形的性质．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】（1）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到BO＝OD，根据全等三角形的判定和性质和菱形的判定即可得到结论； （2）解直角三角形得到AO＝25，BO＝45，根据菱形的性质得到AC＝2AO＝45，BD＝2BO＝85，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD， 在△BOE与△DOE中， OB=ODOE=OEBE=DE ∴△BOE≌△DOE（SSS）， ∴∠BEO＝∠DEO， 在△BAE与△DAE中， BE=DE∠AEB=∠AEDAE=AE， ∴△BAE≌△DAE（SAS）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC=OBAO=2， ∴设AO＝x，BO＝2x， ∴AB=AO2+BO2=5x＝10， ∴x＝25， ∴AO＝25，BO＝45， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO＝45，BD＝2BO＝85， ∴四边形ABCD的面积=12AC•BD=12×45×85=80． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．（2023•贵州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延长CB至D，使得BD＝CB，过点A，D分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话： 小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可 证明BE⊥CD． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明CE＝DE． （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； （2）连接AD，若AD=52，CBAC=23，求AC的长． 【考点】平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）小星：连接BE，根据平行四边的判定定理得到四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AE＝BD，推出四边形AEBC是平行四边形，根据矩形性质得到BE⊥CD；小红：连接BE，CE，根据平行四边形的判定和性质以及矩形 的判定和性质定理即可得到论； （2）连接AD，设CB＝2k，AC＝3k，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：小星：连接BE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD， ∵BD＝BC， ∴AE＝BC， ∵AE∥BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴∠EBC＝90°， ∴BE⊥CD； 小红：连接BE，CE， ∵AE∥BD，DE∥BA， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AE＝BD，AB＝DE， ∵BD＝BC， ∴AE＝BC， ∵AE∥BC， ∴四边形AEBC是平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形AEBC是矩形， ∴AB＝CE， ∴DE＝CE； （2）连接AD， ∵CBAC=23， ∴设CB＝2k，AC＝3k， ∴CD＝4k， ∵AC2+DC2＝AD2， ∴（3k）2+（4k）2＝（52）2， ∴k=2， ∴AC＝32． 【点评】本题考查了平行四边形 的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 3．（2023•徐州）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当AE取何值时，四边形EFGH的面积为10？ （3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力． 【分析】（1）根据正方形和全等三角形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，根据勾股定理即可得到结论； （2）当解方程即可得到结论； （3）把二次函数化成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4﹣x，∠A＝∠D＝90°，EH＝HG＝FG＝EF，∠AEH＝∠GHD，∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AHE+∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∴y＝AE2+AH2＝x2+（4﹣x）2＝2x2﹣8x+16； （2）当y＝10时，即2x2﹣8x+16＝10， 解得x＝1或x＝3， 答：当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10； （3）∵y＝2x2﹣8x+16＝2（x﹣2）2+8， ∵2＞0， ∴y有最小值，最小值为8． 即四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，正方形 的判定和性质，全等三角形的性质，二次函数的性质，熟练掌握正方形和全等三角形的性质是解题的关键． 4．（2023•徐州）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB＝a，BC＝b，由勾股定理，得AC2＝a2+b2同理BD2＝a2+b2，故AC2+BD2＝2（a2+b2）． 【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝a，BC＝b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB＝a，BC＝b，AC＝c． 求证：BO2=a2+b22-c24． 【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB＝8，BC＝12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为 　200　． 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力． 【分析】【阅读理解】根据矩形对角线相等可得AC＝BD，最后由勾股定理可得结论； 【探究发现】首先作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ABE≌△DCF，即可判断出AE＝DF，BE＝CF；然后根据勾股定理，可得AC2＝AE2+（BC﹣BE）2，BD2＝DF2+（BC+BE）2，AB2＝AE2+BE2，再根据AB＝DC，AD＝BC，即可推得结论； 【拓展提升】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCE是平行四边形，由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2，于是得到结论； 【尝试应用】过P作PH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH，设BH＝x，CH＝12﹣x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【解答】【阅读理解】解：如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD， ∴AC2＝AB2+BC2， ∵AB＝a，BC＝b， ∴AC2+BD2＝2（AB2+BC2）＝2a2+2b2； 【探究发现】解：上述结论依然成立， 理由：如图②，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，且AB＝DC， ∴∠ABE＝∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ∠ABE=∠DCF∠AEB=∠DFC=90°AB=DC， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴AE＝DF，BE＝CF， 在Rt△ACE中，由勾股定理，可得 AC2＝AE2+CE2＝AE2+（BC﹣BE）2…①， 在Rt△BDF中，由勾股定理，可得 BD2＝DF2+BF2＝DF2+（BC+CF）2＝DF2+（BC+BE）2…②， 由①②，可得 AC2+BD2＝AE2+DF2+2BC2+2BE2＝2AE2+2BC2+2BE2， 在Rt△ABE中，由勾股定理，可得 AB2＝AE2+BE2， ∴AC2+BD2＝2AE2+2BC2+2BE2＝2（AE2+BE2）+2BC2＝2AB2+2BC2＝2a2+2b2； 【拓展提升】证明：如图3，延长BO至点E，使BO＝OE， ∵BO是BC边上的中线， ∴AO＝CD， 又∵AD＝CO， ∴四边形ABCE是平行四边形， 由【探究发现】，可得BE2+AC2＝2AB2+2BC2， ∵BE＝2BO， ∴BE2＝4BO2， ∵AB＝a，BC＝b，AC＝c， ∴4BO2+c2＝2a2+2b2， ∴BO2=a2+b22-c24． 【尝试应用】解：过P作PH⊥BC于H， 则四边形APHB和四边形PHCD是矩形， ∴AB＝PH＝CD＝8，AP＝BH，PD＝CH， 设BH＝x，CH＝12﹣x， ∴PB2+PC2＝PH2+BH2+PH2+CH2＝82+x2+82+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+272＝2（x﹣6）2+200， 故PB2+PC2的最小值为200， 故答案为：200． 【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质的应用，平行四边形判定和性质的应用，以及勾股定理的应用，构建直角三角形利用勾股定理列式是解本题的关键． 5．（2023•深圳）（1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE， ①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB； ②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝　20　． （2）如图2，在菱形ABCD中，cosA=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上，且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝73时，请直接写出AG的长． 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力． 【分析】（1）①根据矩形的性质得出∠ABE+∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°，进而证明∠FCB＝∠ABE 结合已知条件，即可证明△ABE≌△FCB； ②由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°，证明△ABE∽△FCB，得出 ABCF=BEBC，根据S矩形ABCD＝AB•CD＝20，即可求解； （2）根据菱形的性质得出AD∥BC，AB＝BC，根据已知条件得出BE=13BCAE=43AB，证明△AFE∽△BEC，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分三种情况讨论，①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作EH⊥DM 于点H，证明△EDM∽△ECF，解Rt△DEH，进而得出 MG＝7，根据 tan∠MEH＝tan∠HGE，得出 HE2＝HM•HG，建立方程解方程即可求解；②当G点在AB边上时，如图所示，连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过 点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形，同理证明△ENG∽△ECM，根据 tan∠FEH＝tan∠M得出 EH2＝FH•HM，建立方程，解方程即可求解；③当G点在BC边上时，如图所示，过点B作BT⊥DC于点T，求得 S△BTC=2538，而 S△EFG=723，得出矛盾，则此情况不存在． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 又∵CF⊥BC， ∴∠FCB+∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°， ∴∠FCB＝∠ABE， 又∵BC＝BE， ∴△ABE≌△FCB（AAS）； ②由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△FCB． ∴ABCF=BEBC， 又∵S矩形ABCD＝AB•CD＝20， ∴BE•CF＝AB•BC＝20， （2）∵在菱形ABCD中，cosA=13， ∴AD∥BC，AB＝BC，则∠CBE＝∠A， ∵CE⊥AB，∠CEB＝90°， ∴cos∠CBE=BECB， ∴BE=BC⋅cos∠CBE=BC×cos∠A=13BC， 1∴AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AB=43AB， ∵EF⊥AD，CE⊥AB， ∴∠AFE＝∠BEC＝90°， 又∵∠CBE＝∠A， ∴△AFE∽△BEC， ∴.AEBC=EFCE=AFBE， ∴EF•BC＝AE•CE=43AB×CE=43S菱形ABCD=43×24＝32； （3）①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作 EH⊥DM于点H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝6，CE＝2， ∴CD＝AB＝6， DE＝DC﹣EC＝6﹣2＝4， ∵DM∥FC， ∴△EDM∽△ECF， ∴EMEF=EDEC=42=2， SMGESFEG=EMEF=2， ∴S△MGE＝2S△EFG＝EF•EG＝73， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则 EH=32DE=32×4=23，DH=12DE=2， 1∴12MG×HE=73， ∴MG＝7， ∵GE⊥EF，EH⊥MG，∠MEH＝90°﹣∠HEG＝∠HGE， ∴tan∠MEH＝tan∠HGE， ∵HEHG=HMHE， ∴HE2＝HM•HG， 设AG＝a，则GD＝AD﹣AG＝5﹣a， GH＝GD+HD＝5﹣a+2＝7﹣a，HM＝GM﹣GH＝7﹣（7﹣a）＝a， (23)2=x(7-x)， 解得：a＝3或a＝4， 即AG＝3或 AG＝4， ②当G点在AB边上时，如图所示， 连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形， 设AG＝x，则 DN＝AG＝x，EN＝DE﹣DN＝4﹣x， ∵GN∥CM， ∴△ENG∽△ECM， ∴.EGFM=ENEC=GNCM=4-x2， ∴CM=2GN4-x=104-x， ∴.S△GEFS△MEF=EGEM=4-x2， ∵EF•EG=73， ∴S△MEF=2S△GEF4-x=734-x， 过点E作EH⊥BC于点H， 在Rt△EHC中，EC＝2，∠ECH＝60°， ∴EH=3，CH＝1， ∴S△MEF=12×MF×EH， 则 12×3×MF=734-x， ∴MF=144-x， ∴FH=MF-CM-CH=144-x-104-x-1=x4-x，MH=CM+CH=104-x+1=14-x4-x， ∵∠MEF＝∠EHM＝90°，∠FEH＝90°﹣∠MEH＝∠M， ∴tan∠FEH＝tan∠M， 即 FHEH=EHHM， ∴EH2＝FH•HM， 即 (3)2=x4-x×14-x4-x， 解得：x1=32x2＝8 （舍去）， 即 AG=32； ③当G点在BC边上时，如图所示， 过点B作BT⊥DC于点T， 在Rt△BTC 中，CT=12BC=52， BT=3TC=532， S△BTC=12BT×TC=12×532×52=2538， EF•EG＝73， ∴S△EFG=723， ∵2583＜723， ∴G点不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或 32． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 6．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转． 特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明； （2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由； 规律探究： （3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由． 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力． 【分析】（1）延长FG，交AC于H，可推出FG＝BG，CG＝GH，从而CD＝FH，进而得出△CDP≌△HFP，进一步得出结论； （2）延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，同理（1）可证得△DQM≌△FQE，从而DQ＝FQ，从而得出点Q和点P重合，进一步得出结论； （3）延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，△PDQ≌△PFE，从而DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，所以∠N+∠ADQ＝180°，可推出∠N+∠ABE＝180°，进而推出△ADQ≌△ABE，AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，进而推出∠QAE＝90°，进一步得出结论． 【解答】解：（1）如图1， 延长FG，交AC于H， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°， ∴∠CHG＝45°，CD∥FG， ∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP， ∴CG＝GH， ∴CG+BG＝GH+FG， ∴BC＝FH， ∴CD＝FH， ∴△CDP≌△HFP（ASA）， ∴点P是DF的中点； （2）如图2， △APE是等腰直角三角形，理由如下： 延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°， ∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ， ∴∠M＝∠BEG， ∴AM＝AE， ∴AM﹣AD＝AE﹣AB， ∴DM＝BE， ∴DM＝EF， ∴△DQM≌△FQE（ASA）， ∴DQ＝FQ， ∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P， ∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°， ∴∠APE＝90°，AP＝EP， ∴△APE是等腰直角三角形； （3）如图3， △APE仍然是等腰直角三角形，理由如下： 延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N， ∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF， ∴△PDQ≌△PFE（SAS）， ∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF， ∴∠N+∠ADQ＝180°， ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF， ∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE， ∴∠ABE＝∠ADQ， ∴△ADQ≌△ABE（SAS）， ∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE， ∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°， ∴∠QAE＝90°， ∴AP⊥EQ，AP＝PE=12EQ， ∴△APE是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是“倍长中线”． 7．（2023•长春）如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在边BC上，且BE＝2，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（t＞0） （1）当点P和点B重合时，线段PQ的长为 　13　； （2）当点Q和点D重合时，求tan∠PQE； （3）当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由； （4）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围． 【考点】四边形综合题．菁优网版权所有 【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】（1）证明四边形ABEQ是矩形，进而在Rt△QBE中，勾股定理即可求解． （2）证明△PBE∽△ECD，得出 tan∠PQE=PEDE=BECD=23． （3）过点P作PH⊥BC 于点H，证明△PHE≌△ECQ得出PE＝QE，即可得出结论． （4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P在BE上时，②当P点在AB上时，当F，A重合时符合题意，此时如图，③当点P在AD上，当F，D重合时，此时Q与点C重合，则PFQE是正方形，即可求解． 【解答】解：如图所示，连接BQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAQ＝∠ABE＝90°， ∵∠PEQ＝90°， ∴四边形ABEQ是矩形， 当点P和点B重合时， ∴QE＝AB＝3，BE＝2， 在Rt△QBE中，BQ=BE2+QE2=32+22=13， 故答案为：13． （2）如图所示， ∵∠PEQ＝90°，∠PBE＝∠ECD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∴△PBE∽△ECD， ∴PEDE=BECD， ∵BE＝2，CD＝AB＝3， ∴tan∠PQE=PEDE=BECD=23． （3）如图所示，过点P作PH⊥BC于点H， ∵∠PEQ＝90°，∠PHE＝∠ECQ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 则四边形ABHP是矩形， ∴PH＝AB＝3， 又∵EC＝BC﹣BE＝5﹣2＝3， ∴PH＝EC， ∴△PHE≌ECQ（AAS）， ∴PE＝QE， ∴△PQE 是等腰直角三角形； （4）①如图所示，当点P在BE上时， ∵QE＝QF＝3，AQ＝BE＝2， 在Rt△AQF中，A