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2022年江苏省宿迁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2m﹣m＝1 B．m2•m3＝a6 C．（mn）2＝m2n2 D．（m3）2＝m5 3．（3分）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．80° C．100° D．110° 4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1 8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D．4 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）分解因式：3x2﹣12＝　 　． 10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是 　 　． 11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 　 　． 12．（3分）满足≥k的最大整数k是 　 　． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 14．（3分）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　 　cm． 15．（3分）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是 　 　． 16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 　 　． 17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　 　． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 　 　． 三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（）﹣1+﹣4sin60°． 20．（8分）解方程：． 21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE． 22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题： （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）补全条形统计图； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数． 23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　 　； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 24．（10分）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D． （1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 　 　元；乙超市的购物金额为 　 　元； （2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点． 【操作探究】 在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝， 在Rt△CDE中，　 　， 所以tan∠BAC＝tan∠DCE． 所以∠BAC＝∠DCE． 因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°， 所以∠ACP+∠BAC＝90°， 所以∠APC＝90°， 即AB⊥CD． 【拓展应用】 （1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明； （2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明． 28．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：△OCD∽△A′BD； ②求的最小值； （3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标． 2022年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）﹣2的绝对值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴|﹣2|＝﹣（﹣2）＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以﹣2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义，而错误的认为﹣2的绝对值是，而选择B． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A．2m﹣m＝1 B．m2•m3＝a6 C．（mn）2＝m2n2 D．（m3）2＝m5 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、2m﹣m＝m，故A不符合题意； B、m2•m3＝m5，故B不符合题意； C、（mn）2＝m2n2，故C符合题意； D、（m3）2＝m6，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 3．（3分）如图，AB∥ED，若∠1＝70°，则∠2的度数是（　　） A．70° B．80° C．100° D．110° 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答． 【解答】解：∵∠1＝70°， ∴∠3＝70°， ∵AB∥ED， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣70°＝110°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 4．（3分）下列展开图中，是正方体展开图的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的展开图得出结论即可． 【解答】解：由展开图的知识可知，四个小正方形绝对不可能展开成田字形，故A选项和D选项都不符合题意； 四个连成一排的小正方形可以围成前后左右四面，剩下的两面必须分在上下两面才能围成正方体， 故B选项不符合题意，C选项符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查正方体展开图的知识，熟练掌握正方体的侧面展开图是解题的关键． 5．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形， 当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形． 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．（3分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可． 【解答】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键． 7．（3分）如果x＜y，那么下列不等式正确的是（　　） A．2x＜2y B．﹣2x＜﹣2y C．x﹣1＞y﹣1 D．x+1＞y+1 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A、∵x＜y， ∴2x＜2y，故本选项符合题意； B、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y，故本选项不符合题意； C、∵x＜y， ∴x﹣1＜y﹣1，故本选项不符合题意； D、∵x＜y， ∴x+1＜y+1，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 8．（3分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（　　） A．1 B． C．2 D．4 【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形，当OB最小时，OA最小，再根据两点间的距离公式解答即可． 【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形， ∴当OB最小时，OA最小， 设A点坐标为（a，）， ∴OA＝， ∵≥0， 即：﹣4≥0， ∴≥4， ∴当a2＝时，OA有最小值， 解得a1＝，a2＝﹣（舍去）， ∴A点坐标为（，）， ∴OA＝2， ∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边， ∴OB＝OA＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）分解因式：3x2﹣12＝　3（x﹣2）（x+2）　． 【分析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝3（x2﹣4） ＝3（x+2）（x﹣2）． 故答案为：3（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式． 10．（3分）2022年5月，国家林业和草原局湿地管理司在第二季度侧行发布会上表示，到“十四五”末，我国力争将湿地保护率提高到55%，其中修复红树林146200亩，请将146200用科学记数法表示是 　1.462×105　． 【分析】根据科学记数法的形式改写即可． 【解答】解：146200用科学记数法表示是1.462×105， 故答案为：1.462×105． 【点评】本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握记数法的形式是解题的关键． 11．（3分）已知一组数据：4，5，5，6，5，4，7，8，则这组数据的众数是 　5　． 【分析】根据众数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据中5出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数是5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 12．（3分）满足≥k的最大整数k是 　3　． 【分析】根据无理数的估算分析解题． 【解答】解：∵3＜＜4，且k≤， ∴最大整数k是3． 故答案为：3． 【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键． 13．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是 　k≤1　． 【分析】先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可． 【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k ＝4﹣4k． 又∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有实数根， ∴4﹣4k≥0． ∴k≤1． 故答案为：k≤1． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握“Δ＝b2﹣4ac”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键． 14．（3分）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 　2　cm． 【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，利用扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，列出方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm， 由题意得：2πr＝， 解得：r＝2， ∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆锥的计算，理解扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，从而列出方程是解决问题的关键． 15．（3分）按规律排列的单项式：x，﹣x3，x5，﹣x7，x9，…，则第20个单项式是 　﹣x39　． 【分析】观察指数规律与符号规律，进行解答便可． 【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第n项的数为（﹣1）n+1×x2n﹣1， 则第20个单项式是（﹣1）21×x39＝﹣x39， 故答案为：﹣x39． 【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律． 16．（3分）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 　y＝﹣x+2（答案不唯一）　． 【分析】根据甲、乙两位同学给出的函数特征可判断出该函数为一次函数，再利用一次函数的性质，可得出k＜0，b＝2，取k＝﹣1即可得出结论． 【解答】解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2）， ∴该函数为一次函数． 设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2． 取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2． 故答案为：y＝﹣x+2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 17．（3分）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是 　4　． 【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案． 【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH⊥OF于点H，连接OA， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O， ∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON， ∵OA＝OF ∴△OAF是等边三角形， ∴OA＝OF＝AF＝6， ∵AM＝2， ∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4， ∵MH⊥OF， ∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°， ∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2， ∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4， ∴OM＝＝＝2， ∴NO＝OM＝2， ∴MN＝NO+OM＝2+2＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了正多边形和圆，掌握正六边形的特点，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识是解决问题的关键． 18．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点M、N分别是边AD、BC的中点，某一时刻，动点E从点M出发，沿MA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动；同时，动点F从点N出发，沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF，过点B作EF的垂线，垂足为H．在这一运动过程中，点H所经过的路径长是 　π　． 【分析】如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP．首先证明PN＝2，利用勾股定理求出BP．由∠BPH＝90°，推出点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是．求出∠HON，再利用弧长公式求解． 【解答】解：如图1中，连接MN交EF于点P，连接BP． ∵四边形ABCD是矩形，AM＝MD，BN＝CN， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝6， ∵EM∥NF， ∴△EPM∽△FPN， ∴＝＝＝2， ∴PN＝2，PM＝4， ∵BN＝4， ∴BP＝＝＝2， ∵BH⊥EF， ∴∠BPH＝90°， ∴点H在BP为直径的⊙O上运动， 当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是． 此时AM＝4，NF＝2， ∴BF＝AB＝6， ∵∠ABF＝90°，BH⊥AF， ∴BH平分∠ABF， ∴∠HBN＝45°， ∴∠HON＝2∠HBN＝90°， ∴点H的运动轨迹的长＝＝π． 故答案为：π． 【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、简答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）计算：（）﹣1+﹣4sin60°． 【分析】先计算（）﹣1、，再代入sin60°算乘法，最后加减． 【解答】解：原式＝2+2﹣4× ＝2+2﹣2 ＝2． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、二次根式的化简及特殊角的函数值是解决本题的关键． 20．（8分）解方程：． 【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【解答】解：＝1+， 2x＝x﹣2+1， x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x＝﹣1． 【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验． 21．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：AF＝CE． 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，由中点的性质可得AE＝CF，可证四边形AECF是平行四边形，即可求解． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE＝BE＝CF＝DF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，灵活运用平行四边形的判定是解题的关键． 22．（8分）为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了该校m名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如下尚不完整的两幅统计图．根据图表信息，解答下列问题： （1）m＝　200　，n＝　30　； （2）补全条形统计图； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数． 【分析】（1）根据各部分所占百分比之和为1可求得n的值，由参加“综合与实践”活动为2天的人数及其所占百分比可得m的值； （2）用总人数乘以活动天数为3天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形； （3）用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动4天及以上的人数所占百分比即可得． 【解答】解：（1）n%＝1﹣（15%+5%+25%+25%）＝30%， ∴n＝30， m＝10÷5%＝200； 故答案为：200，30； （2）参加“综合与实践”活动天数为3天的学生人数为200×15%＝30（名）， 补全条形图如下： （3）估计该校九年级2000名学生中上学期参加“综合与实践”活动4天及以上的人数为2000×（1﹣5%﹣15%）＝1600（名）． 【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． 23．（10分）从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． （1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　　； （2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率． 【解答】解：（1）由题意可得， 甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性， 故恰好选中丙的概率是， 故答案为：； （2）树状图如下： 由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种， 故一定有乙的概率是＝． 【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 24．（10分）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保留根号）． 【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得AB＝DE＝20m，先在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，进行计算即可解答． 【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 由题意得： AB＝DE＝20m， 在Rt△ADE中，∠EAD＝30°， ∴AE＝＝＝20（m）， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝20×1＝20（m）， ∴CD＝CE+DE＝（20+20）m， ∴信号塔的高度为（20+20）m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D． （1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，可得结论； （2）根据图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD可得结论． 【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下： ∵∠ABC＝45°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°， ∴BA⊥AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴直线AC与⊙O相切； （2）连接OD，AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°， ∵AO＝OB，AB＝4， ∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD ＝×4×4﹣×4﹣ ＝8﹣2﹣π ＝6﹣π． 【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，扇形的面积，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用等腰三角形的性质解决问题． 26．（10分）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． （1）若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 　300　元；乙超市的购物金额为 　240　元； （2）假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【分析】（1）利用总价＝单价×数量，可求出购买30件这种文化用品所需原价，再结合两超市给出的优惠方案，即可求出在两家超市的购物金额； （2）设购买x件这种文化用品，当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为8x元，显然在乙超市支付的费用较少；当x＞40时，在甲超市的购物金额为（6x+160）元，在乙超市的购物金额为8x元，分6x+160＞8x，6x+160＝8x及6x+160＜8x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，综上，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵10×30＝300（元），300＜400， ∴在甲超市的购物金额为300元，在乙超市的购物金额为300×0.8＝240（元）． 故答案为：300；240． （2）设购买x件这种文化用品． 当0＜x≤40时，在甲超市的购物金额为10x元，在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元）， ∵10x＞8x， ∴选择乙超市支付的费用较少； 当x＞40时，在甲超市的购物金额为400+0.6（10x﹣400）＝（6x+160）（元），在乙超市的购物金额为0.8×10x＝8x（元）， 若6x+160＞8x，则x＜80； 若6x+160＝8x，则x＝80； 若6x+160＜8x，则x＞80． 综上，当购买数量不足80件时，选择乙超市支付的费用较少；当购买数量为80件时，选择两超市支付的费用相同；当购买数量超过80件时，选择甲超市支付的费用较少． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据两超市给出的优惠方案，用含x的代数式表示出在两家超市的购物金额是解题的关键． 27．（12分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点． 【操作探究】 在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整： 解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝， 在Rt△CDE中，　tan∠DCE＝　， 所以tan∠BAC＝tan∠DCE． 所以∠BAC＝∠DCE． 因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°， 所以∠ACP+∠BAC＝90°， 所以∠APC＝90°， 即AB⊥CD． 【拓展应用】 （1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明； （2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明． 【分析】【操作探究】利用网格特征，解决问题即可； 【拓展应用】（1）取格点Q，连接OQ交于点P，点P即为所求．利用垂径定理证明即可； （2）利用数形结合的思想解决问题，通过计算发现AP＝，再利用网格特征，画出点P即可． 【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE． 在Rt△ABC中，tan∠BAC＝， 在Rt△CDE中，tan∠DCE＝， 所以tan∠BAC＝tan∠DCE． 所以∠BAC＝∠DCE． 因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°， 所以∠ACP+∠BAC＝90°， 所以∠APC＝90°， 即AB⊥CD． 故答案为：tan∠DCE＝； 【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求． 作法：取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求； 证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径， ∴＝； （2）如图③中，点P即为所求． 作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求． 【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 28．（12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合． （1）求二次函数的表达式； （2）①求证：△OCD∽△A′BD； ②求的最小值； （3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标． 【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式； （2）①根据两角相等可证明两三角形相似； ②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是； （3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论． 【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点， ∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x； （2）①证明：如图1， 由翻折得：∠OAC＝∠A'， 由对称得：OC＝AC， ∴∠AOC＝∠OAC， ∴∠COA＝∠A'， ∵∠A'DB＝∠ODC， ∴△OCD∽△A′BD； ②解：∵△OCD∽△A′BD， ∴＝， ∵AB＝A'B， ∴＝， ∴的最小值就是的最小值， y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2， ∴C（2，﹣2）， ∴OC＝2， ∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小， 当CD＝2时，的最小值为＝； （3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD， ∴S△OCD：S△A'BD＝8， ∵△OCD∽△A′BD， ∴＝（）2＝8， ∴＝2， ∵OC＝2， ∴A'B＝AB＝1， ∴BD＝2﹣1＝1， 如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H， 由翻折得：AA'⊥CH， ∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD， ∴∠BCD＝∠BAH， tan∠BCD＝tan∠GAA'， ∴＝＝， 设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1， 在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2， ∴a2+（2a﹣1）2＝12， ∴a1＝0（舍），a2＝， ∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝， ∵A'G∥OQ， ∴△A'GB∽△QOB， ∴＝，即＝， ∴OQ＝4， ∴Q（0，4）， 设直线A'B的解析式为：y＝kx+m， ∴， 解得：， ∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4， ∴﹣x+4＝x2﹣2x， 3x2﹣4x﹣24＝0， 解得：x＝， ∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是． 【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图像及性质，数形结合是解本题的关键． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/26 11:27:45；用户：18970568057；邮箱：18970568057；学号：21709328 第29页（共29页）