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2022年湖南省张家界市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）﹣2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D． 2．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（　　） A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．2a2+3a3＝5a5 C．（2a）2＝4a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均分 95 93 95 94 方差 3.2 3.2 4.8 5.2 根据表中数据，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 9．（3分）因式分解：a2﹣25＝　 　． 10．（3分）从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 　 　． 11．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝　 　． 12．（3分）已知方程＝，则x＝　 　． 13．（3分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝　 　． 14．（3分）有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S12＝　 　． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．） 15．（5分）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1． 16．（5分）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 17．（6分）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 18．（5分）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 19．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：△ODE≌△FCE； （2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程． 20．（8分）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表： 频数分布统计表 组别 时间x（分钟） 频数 A 0≤x＜20 6 B 20≤x＜40 14 C 40≤x＜60 m D 60≤x＜80 n E 80≤x＜100 4 根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）频数分布统计表中的m＝　 　，n＝　 　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？ （4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率． 21．（6分）阅读下列材料： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则： 在Rt△BCD中，CD＝asinB 在Rt△ACD中，CD＝bsinA ∴asinB＝bsinA ∴＝ 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 22．（7分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若AB＝3，BC＝，求AD的长． 23．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标； （2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值． 2022年湖南省张家界市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（3分）﹣2022的倒数是（　　） A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D． 【分析】直接利用倒数的定义得出答案． 【解答】解：﹣2022的倒数是：﹣． 故选：B． 【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键． 2．（3分）我国是世界人口大国，中央高度重视粮食安全，要求坚决守住1 800 000 000亩耕地红线．将数据1 800 000 000用科学记数法表示为（　　） A．18×108 B．1.8×109 C．0.18×1010 D．1.8×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1 800 000 000＝1.8×109， 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A．a2•a3＝a6 B．2a2+3a3＝5a5 C．（2a）2＝4a2 D．（a﹣1）2＝a2﹣1 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式进行解答即可． 【解答】解：A．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意； B，2a2与3a3不是同类项，因此不能合并，所以选项B不符合题意； C．（2a）2＝4a2，因此选项C符合题意； D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方与幂的乘方以及完全平方公式，将每个选项分别进行化简或计算是正确解答的关键． 5．（3分）把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣1， 由②得：x≤1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 故选：D． 【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解不等式的步骤，能求出不等式组中各不等式的公共解集． 6．（3分）某班准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选一名最优秀的参加禁毒知识比赛，下表记录了四人3次选拔测试的相关数据： 甲 乙 丙 丁 平均分 95 93 95 94 方差 3.2 3.2 4.8 5.2 根据表中数据，应该选择（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可． 【解答】解：从平均数看，成绩最好的是甲、丙同学， 从方差看，甲、乙方差小，发挥最稳定， 所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加禁毒知识比赛，应该选择甲， 故选：A． 【点评】本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键． 7．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限； 当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限； 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键． 8．（3分）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（　　） A． B． C． D． 【分析】将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD，可得△BOD是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得∠COD＝90°，从而解决问题． 【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△BCD，连接OD， ∴OB＝OD，∠BOD＝60°，CD＝OA＝2， ∴△BOD是等边三角形， ∴OD＝OB＝1， ∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4， ∴OD2+OC2＝CD2， ∴∠DOC＝90°， ∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝， 故选：C． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将△AOB与△BOC的面积之和转化为S△BOC+S△BCD，是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 9．（3分）因式分解：a2﹣25＝　（a﹣5）（a+5）　． 【分析】根据平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝a2﹣52＝（a+5）（a﹣5）． 故答案为：（a+5）（a﹣5）． 【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10．（3分）从，﹣1，π，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 　　． 【分析】先应用无理数的定义进行判定，再应用概率公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：，π是无理数， P（恰好是无理数）＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了概率公式及无理数，熟练掌握概率公式及无理数的定义进行计算是解决本题的关键． 11．（3分）如图，已知直线a∥b，∠1＝85°，∠2＝60°，则∠3＝　35°　． 【分析】由平行线的性质可得∠DCE＝∠1＝85°，再由对顶角相等得∠ABC＝∠2，∠ACB＝∠DCE，再由三角形的内角和即可求解． 【解答】解：如图， ∵a∥b，∠1＝85°， ∴∠DCE＝∠1＝85°， ∴∠ACB＝∠DCE＝85°， ∵∠2＝60°，∠ABC＝∠2， ∴∠ABC＝60°， ∴∠3＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝35°． 故答案为：35°． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 12．（3分）已知方程＝，则x＝　﹣3　． 【分析】应用解分式方程的方法，①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．进行计算即可得出答案． 【解答】解：给分式方程两边同时乘x（x﹣2）， 得5x＝3（x﹣2）， 移项得5x﹣3x＝﹣6， 合并同类项得2x＝﹣6， 解得x＝﹣3， 把x＝﹣3代入x（x﹣2）中，﹣3×（﹣3﹣2）＝15≠0， 所以x＝﹣3是原分式方程的解． 故答案为：x＝﹣3． 【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法进行求解是解决本题的关键． 13．（3分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形ABCD的面积是100，小正方形EFGH的面积是4，那么tan∠ADF＝　　． 【分析】根据两个正方形的面积可得AD＝10，DF﹣AF＝2，设AF＝x，则DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解方程可得x的值，从而解决问题． 【解答】解：∵大正方形ABCD的面积是100， ∴AD＝10， ∵小正方形EFGH的面积是4， ∴小正方形EFGH的边长为2， ∴DF﹣AF＝2， 设AF＝x，则DF＝x+2， 由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102， 解得x＝6或﹣8（负值舍去）， ∴AF＝6，DF＝8， ∴tan∠ADF＝， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数等知识，利用勾股定理列方程求出AF的长是解题的关键． 14．（3分）有一组数据：a1＝，a2＝，a3＝，…，an＝．记Sn＝a1+a2+a3+…+an，则S12＝　　． 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【解答】解：a1＝＝＝×1+﹣×； a2＝＝＝×+﹣×； a3＝＝＝×+﹣×； …， an＝＝×+﹣×， 当n＝12时， 原式＝（1+++...+）+（++...+）﹣×（++...+） ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效．） 15．（5分）计算：2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1． 【分析】根据特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂，掌握特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂的性质是正确解答的前提． 16．（5分）先化简（1﹣），再从1，2，3中选一个适当的数代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算的法则进行化简后，再根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝×+ ＝+ ＝； 因为a＝1，2时分式无意义，所以a＝3， 当a＝3时，原式＝． 【点评】本题考查分式的化简与求值，掌握分式有意义的条件以及分式混合运算的方法是正确解答的关键． 17．（6分）如图所示的方格纸（1格长为一个单位长度）中，△AOB的顶点坐标分别为A（3，0），O（0，0），B（3，4）． （1）将△AOB沿x轴向左平移5个单位，画出平移后的△A1O1B1（不写作法，但要标出顶点字母）； （2）将△AOB绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2O2B2（不写作法，但要标出顶点字母）； （3）在（2）的条件下，求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长（结果保留π）． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，O，B的对应点A1，O1，B1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，O，B的对应点A2，O2，B2即可； （3）利用弧长公式求解． 【解答】解：（1）如图，△A1O1B1即为所求； （2）如图，△A2O2B2即为所求； （3）在Rt△AOB中，， ∴． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 18．（5分）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度． 【分析】设高铁的平均速度为xkm/h，由运行里程缩短了40千米得：x+40＝3.5（x﹣200），可解得高铁的平均速度为296km/h． 【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h， 由题意得：x+40＝3.5（x﹣200）， 解得：x＝296， 答：高铁的平均速度为296km/h． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． 19．（6分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，连接OE，过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF． （1）求证：△ODE≌△FCE； （2）试判断四边形ODFC的形状，并写出证明过程． 【分析】（1）根据ASA即可证明△ODE≌△FCE； （2）由（1）△ODE≌△FCE，可得OE＝FE，证明四边形ODFC为平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE， 又∵CF∥BD ∴∠ODE＝∠FCE， 在△ODE和△FCE中， ， ∴△ODE≌△FCE（ASA）； （2）解：四边形ODFC为矩形，证明如下： ∵△ODE≌△FCE， ∴OE＝FE， 又∵CE＝DE， ∴四边形ODFC为平行四边形， 又∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠DOC＝90°， ∴四边形ODFC为矩形． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 20．（8分）为了有效落实“双减”政策，某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查．根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表： 频数分布统计表 组别 时间x（分钟） 频数 A 0≤x＜20 6 B 20≤x＜40 14 C 40≤x＜60 m D 60≤x＜80 n E 80≤x＜100 4 根据统计图表提供的信息解答下列问题： （1）频数分布统计表中的m＝　18　，n＝　8　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知该校有1000名学生，估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有多少人？ （4）若E组有两名男同学、两名女同学，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率． 【分析】（1）由B组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题； （2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可； （3）由该校学生总人数乘以书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生所占的比例即可； （4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）抽取的总人数为：14÷28%＝50（人）， ∴m＝50×36%＝18， ∴n＝50﹣6﹣14﹣18﹣4＝8， 故答案为：18，8； （2）频数分布直方图补全如下： （3）（人）， 答：估计书面作业完成时间在60分钟以上（含60分钟）的学生有240人； （4）列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女1） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女1，女2） 由表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一男一女的概率＝＝． 【点评】本题考查了用列表法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 21．（6分）阅读下列材料： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则： 在Rt△BCD中，CD＝asinB 在Rt△ACD中，CD＝bsinA ∴asinB＝bsinA ∴＝ 根据上面的材料解决下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：＝； （2）为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9） 【分析】（1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可． 【解答】（1）证明：如图2，过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AD＝csinB， 在Rt△ACD中，AD＝bsinC， ∴csinB＝bsinC， ∴＝； （2）解：如图3，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°， ∴∠C＝60°， 在Rt△ACE中，AE＝AC•sin60°＝80×＝40（m）， 又∵， 即， ∴BC＝90m， ∴S△ABC＝×＝1800（m2）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 22．（7分）如图，四边形ABCD内接于圆O，AB是直径，点C是的中点，延长AD交BC的延长线于点E． （1）求证：CE＝CD； （2）若AB＝3，BC＝，求AD的长． 【分析】（1）连接AC，通过证明△ACE≌△ACB，利用全等三角形的性质分析推理； （2）通过证明△EDC∽△EBA，利用相似三角形的性质分析计算． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°， 又∵点C是的中点 ∴∠CAE＝∠CAB，CD＝CB， 又∵AC＝AC ∴△ACE≌△ACB（ASA）， ∴CE＝CB， ∴CE＝CD； （2）解：∵△ACE≌△ACB，AB＝3， ∴AE＝AB＝3， 又∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠ADC+∠CDE＝180°， ∴∠CDE＝∠ABE， 又∵∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA， ∴， 即：， 解得：DE＝2， ∴AD＝AE﹣DE＝1． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键． 23．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标； （2）若四边形BCEF为矩形，CE＝3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值； （3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点．若过点Q的直线l：y＝kx+m（|k|）与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值． 【分析】（1）二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx+3，将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用顶点坐标公式可得点D的坐标； （2）根据t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t．分两种情形，当△EMN∽△OBC时，得，解得t＝；当△EMN∽△OCB时，得，解得t＝； （3）首先利用中点坐标公式可得点G的坐标，利用待定系数法求出直线AG和BG的解析式，再根据直线l：y＝kx+m与抛物线图象只有一个公共点，联立两函数解析式，可得Δ＝0，再求出点H和k的横坐标，从而解决问题． 【解答】解：（1）设二次函数表达式为：y＝ax2+bx+3， 将A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为：， 又∵＝，＝＝， ∴顶点为D； （2）依题意，t秒后点M的运动距离为CM＝t，则ME＝3﹣t，点N的运动距离为EN＝2t． ①当△EMN∽△OBC时， ∴， 解得t＝； ②当△EMN∽△OCB时， ∴， 解得t＝； 综上得，当或时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似； （3）∵点关于点D的对称点为点G， ∴， ∵直线l：y＝kx+m与抛物线图象只有一个公共点， ∴只有一个实数解， ∴Δ＝0， 即：， 解得：， 利用待定系数法可得直线GA的解析式为：，直线GB的解析式为：， 联立，结合已知， 解得：xH＝， 同理可得：xK＝， 则：GH＝＝，GK＝＝×， ∴GH+GK＝+×＝， ∴GH+GK的值为． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识，联立两函数关系求出点H和K的横坐标是解题的关键，属于中考压轴题． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/8 22:42:49；用户：18970568057；邮箱：18970568057；学号：21709328 第26页（共26页）