分析已知条件 确定证明方法.docx

学习方法报社 全新课标理念，优质课程资源 方法点击 分析已知条件 确定证明方法 四川 张群 类型1 已知条件只涉及角 例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E. （1）求证：△BDE∽△CAD； （2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长. 图1 解析：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠B=∠C. ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠ADC=90°. ∴△BDE∽△CAD. （2）∵AD为BC边上的中线， ∴BD=BC=5. 在Rt△ADB中，AD===12. 由（1）得△BDE∽△CAD，所以. ∴DE==. 温馨提示：当已知条件只涉及角时，可用判定定理1来证明两个三角形相似.解决这类题时，要注意图中公共角、对顶角等隐含条件. 类型2 已知条件只涉及边 例2 如图2，在正方形网格中有6个钝角三角形：①△ABC，②△CDB，③△DBE， ④△FBG，⑤△HGF，⑥△EFK.在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是（　　） A．② B．③④⑤ C．④ D．②③④⑤⑥ 图2 解析：设网格中每个小正方形的边长都为1. ①△ABC的三边分别为1，，；②△CDB的三边分别为1，，2；③△DBE的三边分别为2，2，2；④△FBG的三边分别为，，5；⑤△HGF的三边分别为，2，；⑥△EFK的三边分别为，，3. 其中②、⑥两个三角形的三边与三角形①对应边不成比例，所以与①相似的三角形的序号是③④⑤.故选B. 温馨提示：在网格中找相似三角形，判定定理3是常用方法.判断三边是否成比例时，可先将三角形的边按大小顺序排列. 类型3 已知条件既有角又有边 例3 如图3，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，∠BAC的平分线AG分别交DE，BC于点F，G. （1）求证：△ADF∽△ACG； （2）连接DG，若∠AGD=∠B，AB=12，AD=4，AE=6，求AG与AF的长. 图3 解析：（1）证明：∵，∠EAD=∠BAC， ∴△ADE∽△ACB. ∴∠ADE=∠C. ∵AG是∠BAC的平分线， ∴∠DAF=∠CAG. ∴△ADF∽△ACG. （2）∵∠AGD=∠B，∠DAG=∠GAB， ∴△ADG∽△AGB. ∴. ∴. ∵，即， ∴AC=8. 由（1）得△ADF∽△ACG， ∴，即. ∴AF=. 温馨提示：当已知两个三角形的两边对应成比例时，要考虑其夹角是否相等，利用判定定理2来证明三角形相似.本题中给出的比例式与要证明的△ADF∽△ACG并不直接相关，可先根据已知条件证明一组三角形相似（△ADE∽△ACB），再利用相似图形的性质得出对最终结果有利的条件（∠ADE=∠C）. 类型4 已知条件涉及平行线 例4 如图4，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，R是DE的中点，连接BR分别与AC，CD交于点P，Q. （1）求证：△ABP∽△DQR； （2）求的值. 图4 解析：（1）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， ∴AB∥CD，AC∥DE. ∴∠ABP=∠DQR，∠APB=∠DRQ. ∴△ABP∽△DQR. （2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形， ∴AD=BC，AD=CE. ∴BC=CE. ∵PC∥DE， ∴△BCP∽△BER，△CQP∽△DQR. ∴，. ∵R是DE的中点， ∴RD=RE. ∴. 设PQ=k，则RQ=2k，BP=PR=3k. ∴==. 温馨提示：当已知条件涉及平行线时，可以直接证得两个三角形相似，也可以得出两角相等的条件，利用判定定理1来证明两个三角形相似.