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线性代数模拟试卷答案 一. 选择题 1. D 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 二. 判断题 1. T 2. F 3. F 4. F 5. F 6. T 三. 填空题 1. 1 2. ≥5 3. 交换A的第一行与第三行 4. 3 5. |A| 6. 1 四．计算题 1. （i） (1) 当时, ，方程组无解. (2) 当时, ，方程组有无穷个解 所以特解为. 的基础解系为，所以非齐次线性方程组的全部解可表示为，其中c为任意常数. (3) 时, ，方程组有唯一解. 五. 计算题 (1) 因为， 所以. 又因为，从而有 （2） 因为，所以 所以 六. 计算题 (1) 设，所以 因为 所以 （2）设在下的坐标为， 则有 ，从而有 由于 所以 七．计算题 二次型的矩阵为 因为矩阵A的特征多项式为 所以矩阵A的特征值为 （二重） 或 （1） 当，因为的系数矩阵可化成以下的最简型 所以属于的特征向量为 （2） 当，因为的系数矩阵可化成以下的最简型 所以属于的特征向量为 因为，， 两两正交，所以只需要对三个特征向量进行单位化，从而得到正交矩阵 二次型的标准型为 八. 计算题 (1) 设是属于特征值的特征向量，则根据特征值与特征向量的定义，有，即 从而有 , 从而得 a=-3 , b=0. (2) 由题(1)知 矩阵的特征多项式为 当时, 的系数矩阵经过初等行变换可化为以下最简型 所以属于特征值-1的线性无关的特征向量只有1个，从而知道A不能对角化. 九. 证明题 证明: 由题意知 . 从而有 对上式两边取行列式得 或 又因为， 且， 从而 =3 所以，则A可逆, 从而线性方程组有唯一解，又因为， 所以为的一个特解且为唯一解.