上海市奉贤中学2023学年高三下学期联考数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2．若为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（ ） A．直线与异面 B．过只有唯一平面与平行 C．过点只能作唯一平面与垂直 D．过一定能作一平面与垂直 4．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 5．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A． B． C． D． 6．设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ） ①数列的任意一项都是正整数； ②数列存在某一项是5的倍数. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 7．函数的图象大致为 A． B． C． D． 8．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( ) A． B． C． D． 9．已知（），i为虚数单位，则（ ） A． B．3 C．1 D．5 10．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( ) A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立 11．已知复数是正实数，则实数的值为( ) A． B． C． D． 12．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数为奇函数，则______. 14．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______. 15．如图，在平面四边形中，，则_________ 16．如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、、、、、以及、、、、、．一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为________．参考数据：；；） 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为、，与直线的交点为，求线段的长. 18．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线． 19．（12分）如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 20．（12分）如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由. 21．（12分）已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）设，求证：； （Ⅲ）若对于恒成立，求的最大值． 22．（10分）本小题满分14分） 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线截得的线段的长度 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 用排除B，C；用排除；可得正确答案. 【题目详解】 解：当时，，， 所以，故可排除B，C； 当时，，故可排除D． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了函数图象，属基础题． 2、B 【答案解析】 由共轭复数的定义得到，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【题目详解】 由题意得， 因为，， 所以在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断. 【题目详解】 A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾， 故正确. B. 根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确. C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确. D. 根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 4、C 【答案解析】 根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【题目详解】 为得到， 将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 故可得； 再将 向左平移个单位长度， 故可得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题. 5、C 【答案解析】 首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案． 【题目详解】 当n=k时，等式左端=1+1+…+k1， 当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 6、A 【答案解析】 利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误. 【题目详解】 因为,是方程的两个不等实数根, 所以,, 因为, 所以 , 即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和, 又,, 所以,,, 以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确; 若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5, 由,,依次计算可知, 数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误; 故选:A. 【答案点睛】 本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力. 7、D 【答案解析】 由题可得函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数，排除选项B； 又，，所以排除选项A、C，故选D． 8、B 【答案解析】 由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项. 【题目详解】 由题可知. 所以 令， 得 令，得 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题. 9、C 【答案解析】 利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【题目详解】 由，得，解得. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 10、A 【答案解析】 作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性. 【题目详解】 ①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接. 由图可知，，所以，所以①正确. ②由于，所以与所成角，所以，所以②正确. 综上所述，①②都正确. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11、C 【答案解析】 将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案. 【题目详解】 因为为正实数， 所以且，解得. 故选：C 【答案点睛】 本题考查复数的基本定义，属基础题. 12、A 【答案解析】 详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形， 且俯视图应为对称图形 故俯视图为 故选A. 点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值. 【题目详解】 由于函数为奇函数，则，即， ，整理得，解得. 当时，真数，不合乎题意； 当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意. 综上所述，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 14、2023 【答案解析】 根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可． 【题目详解】 ，，， 下面求数列的通项， 由题意知，，， ，， ， 数列是递增数列，且， 的最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题． 15、 【答案解析】 由题意得，然后根据数量积的运算律求解即可． 【题目详解】 由题意得 ， ∴． 【答案点睛】 突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷． 16、 【答案解析】 根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解. 【题目详解】 棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和. 将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示： 则，所以； 因为，且由诱导公式可得， 所以最短距离为， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导