福尔摩斯破案记----集合 .doc

福尔摩斯破案记----集合 贵州省习水县第一中学 564600 袁嗣林 尽管集合对于大家多不陌生，但集合与元素的关系，元素的特征，初学者理解却常犯错。下面借助福尔摩斯破案记----集合与元素进行说明，以期对读者有所帮助。 线索一：集合是整体，但整体未必是集合 集合是原始不定义的概念，一般地，在数学中，我们把所有的研究对象集在一起，叫构成了集合。实际上，从上述描述性的定义可以看出，集合就是一个整体。 例：判断下列哪些能构成集合 （1）高一（9）班所有的近视眼的同学构成集合。（2）所有的平行四边形构成集合。 错解：（1）（2）都能构成集合。 剖析：（1）（2）都是整体。（1）很多同学认为戴眼镜就是近视眼的标准，眼睛度数多少度为近视眼无法说清，近视眼就是模棱两可的，是不可以衡量的。所以不能构成集合。（2）平行四边形是确定的，因为平行四边形是指在平面内，对边平行且相等的四边形。因此，可以构成集合。 正解：（1）不能构成集合，（2）能构成集合。 点评：集合有其特殊性：（1）构成集合的对象必须是“确定的”，其中确定是指构成集合的对象不是模棱两可的，是可以衡量的。（2）集合一般用大括号表示。而整体只是把研究对象看成一个不同于研究对象的个体，里面的研究对象是任意的。 线索二：抓住元素的含义和特征 元素的特征：（1）确定性。指构成集合的元素必须是“确定的”，其中确定是指构成集合的元素不是模棱两可的，是可以衡量的（2）互异性。指构成集合的元素必须是“互不相同的，相同的只能出现一次”（3）无序性。指构成集合的元素必须是“出现顺序是任意的”。 是同一集合吗？ 错解：集合A和集合B是同一集合。 剖析;此题初学者非常容易犯错。很容易认为属性都是，因此是相同集合。其实，元素并不一样，集合A的元素是y,集合B的元素是点（x,y），另外，从几何角度讲，集合A表示的是函数的函数值的所有取值；集合B表示的是函数图像上所有点构成的集合。 正解：集合A的元素是y,集合B的元素是点（x,y），集合A表示的是函数的函数值的所有取值，由于函数是二次函数，开口向下，所以有最大值4，实际上，；集合B表示的是函数图像上所有点构成的集合。所以集合A与B不是同一集合。 点评：识别描述法表示下的集合元素是什么，关键在于看中“”左侧，右侧是元素的特征或性质。具体有以下几类： -----元素是x； ------元素分别为x与t(x)； ------元素为点（x,y） 例：判断下列说法是否正确，并说明理由。 错解：（1）（2）均正确。 剖析：利用集合元素的三大特征，不难作出判断。 正解：（1）不正确，，故（1）中的数构成的集合只有三个元素。（2）正确。 点评：解决此类题，关键是应用集合的概念和集合元素的特征。 } { } { } { 度重视。 ，必须在学习中引起高 最易被忽视 确与否，特别是互异性 要利用他们检验解正 性解题， 确定性，互异性和无序 点评：应用元素的 综上所述， 都舍去， 和 。由上可知， 或 ，则 若 ，符合。 时，集合为 当 ，舍去。 时，集合为 当 。 ，则 若 互异性，舍去。 ，不符合集合中元素的 此时集合为 ，则 正解：若 。 ，由互异性可知 或 1 1 0 1 0 1 , 0 , 1 1 1 , 0 , 1 1 1 1 0 , 0 , 1 . 0 0 . 0 , 1 , 1 , 0 2 2 2 2 - = = = = = = - - = = ± = = = = ¹ = x x x x x x x x x x x x x x x x 剖析：由确定性可知， 线索三：元素与集合的关系和集合与集合的关系 按照描述性定义：构成集合的研究对象叫做集合的元素。所以研究对象要么在给定集合中，要么不在给定集合中，即元素属于给定集合或者元素不属于给定集合。如，下面举例说明元素的含义、元素与集合的关系和集合与集合的关系。 1.元素的含义、元素与集合的关系： 错解： 剖析：集合A中的元素都在集合B中，所以集合A是集合B的子集，即；元素与集合关系是属于与不属于的关系。 正解; 点评：元素与集合关系是属于与不属于的关系； 2.集合与集合的关系：集合与集合的关系包括：包含关系；相等关系。 （1）包含关系 例..已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________． 错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5． 欲使BA，只须∴ p的取值范围是－3≤p≤3． 剖析：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 应分二类：①当B≠②当B=． 正解：由题意有：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2． 由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3. ②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2．由①、②得：p≤3． 点评：　解决有关BA等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题，进行准确的分类讨论． 同时须记住，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 （2）相等关系 例.已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，求c的值． 错解：＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，故此题无解． 剖析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式． 分两种情况进行讨论．（1）＋b=c且＋2b=c2 （2）＋b=c2且＋2b=c， 正解;（1）若＋b=c且＋2b=c2，消去b得：＋c2－2c=0， =0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故≠0． ∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解． （2）若＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0， ∵≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c =－． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正。 通过认真分析以上线索，福尔摩斯顺利揭开了集合与元素，集合与集合这一错综复杂的案情的本质，完美的侦破了不少高一新侦查员们日思梦想想征破的悬案。