8.正交实验设计的方差分析（上）.doc

第8章 正交试验设计的方差分析 前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法(即直观分析法)对试验结果进行计算分析.极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来.也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度.同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第2章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和(ST)分解为因素的偏差平方和(SA、SB)和误差的偏差平方和(Se)，然后将偏差平方和除以相对应的自由度(f)得到方差(VA、VB)，最后利用因素方差与误差方差之比(VA/Ve，VB/Ve)，作F检验，即可判断因素的作用是否显著.正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1. 偏差平方和与自由度的计算 方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L4(23)正交表上安排的试验为例来说明(见表8-1，板书).不考虑哪些因素安排在哪些列上(即表头设计时)，设试验结果为x1、x２、x3和x4. 总的偏差平方和: T= =(x+x+x+x)-(x)2 整理后可得 () () 第1列各水平偏差平方和为 S1=2 =2[] =2[] = = = 表8-1 L4(23)正交表及计算表 　列号 试验号 1 2 3 试验数据 1 2 3 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 x1 x2 x3 x4 K1j K2j K11=x1+x2 K21=x3+x4 K12=x1+x3 K22=x2+x4 K13=x1+x4 K23=x2+x3 T=x1+x2+x3+x4 注: Kij表示第j列第i水平的指标值之和；表示第j列第i水平的平均指标值；T表示指标值总和；表示平均指标值. 同理，第2、3列各水平的偏差平方和S2、S3为 由此可得 ST=S1+S2+S3 (8-1) 式(8-1)是正交表L4(23)的总偏差平方和的分解公式，即L4(23)的总偏差平方和等于各列偏差平方和之和. 若在L4(23)正交表的第1列和第2列分别安排二水平因素A、B，在不考虑A、B因素间交互作用的情况下，则第3列(空列)是误差列.同样也可以证明 ST=SA+SB+Se (8-2) 上式也是总偏差平方和的分解公式，即总偏差平方和等于各列因素的偏差平方和与误差的偏差平方和之和. 我们可以把上例推广到一般情况: 用饱和正交表Ln(mk)安排试验(见表8-2，p160)，总的试验次数为n，每个因素的水平数为m，则每个水平作r次试验，r=. 试验结果为x1，x2，x3，…，xn.令 则总偏差平方和为 (8-3) 列偏差平方和为 (8-4) 其中 特别地， 当m=2(即二水平)时， 式(8-4)可表示成: (8-5) 列偏差平方和Sj是第j列中各水平对应的试验数据平均值与总平均值的偏差平方和，它反映了该列水平变动所引起的试验数据的波动.若该列安排的是因素，就称Sj为该因素的偏差平方和；若该列安排的是交互作用，就称Sj为该交互作用的偏差平方和；若该列为空列，则Sj表示由于试验误差和未被考察的某些交互作用或某些条件因素所引起的波动.在正交试验设计中，通常把空列的偏差平方和作为试验误差的偏差平方和，虽然它属于模型误差，一般比试验误差大（当作安全系数考虑），但用它作为试验误差进行显著性检验，可使检验结果更可靠些。　　　　　　　　　　　 总偏差平方和的自由度： fT=n-1 第j列偏差平方和的自由度： fj=mj-1 （mj：第j列水平数） 此外，可以证明： ST==++ （8-6） fT==++ （8-7） 式中k因、k交和k空分别为试验因素、试验考察的交互作用和空列在正交表中所占的列数。并且 k=k因+k交+k空 注意： （1）当某个交互作用占有正交表的某几列时，该交互作用的偏差平方和就等于所占各列偏差平方之和，其自由度也等于所占各列的自由度之和； （2）误差的偏差平方和（Se）等于所占有空列的偏差平方和之和， 其自由度等于所有空列的自由度之和，即： ， （3）上面讨论的虽然是等水平饱和正交表Ln(mk)的情况，但是对于饱和的混合型正交表Ln（m1k1×m2k2）也适用，不过要换上相应的m和k值。（有关“饱和正交表”与“不饱和正交表”的概念，请参见第6节（p191）！） 2、方差的计算（V因，V交，Ve） 方差等于各偏差平方和除以相应的自由度，即平均偏差平方和。 V因= V交= Ve= 二、显著性检验 数学上可以证明：在“假设H0：某因素或某交互作用对试验结果影响不显著”成立时，统计量F 　　 （8-9） 服从第一自由度为f因（或f交），第二自由度为fe的F分布。 对于给定的显著性水平α，查F分布表得临界值Fα，若计算出的F值F0＞Fα 则拒绝原假设，认为该因素或该交互作用对试验的结果有显著影响；若计算出的F值F0≤Fα，则接受原假设，认为该因素或该交互作用对试验结果无显著影响。 经显著性检验后，可把检验结果列出方差分析表，如表8-3所示 表8-3 正交试验方差分析表 方差来源 偏 差 平方和 自由度 方 差 F值 Fα 显著性 A B A×B ┆ SA=S1 SB=S2 SA×B=S3 ┆ fA=m-1 fB=m-1 fA×B=fA×fB ┆ VA=SA/fA VB=SB/fB VA×B=SA×B/fA×B ┆ FA=VA/Ve FB=VB/Ve FA×B=VA×B/Ve ┆ 查表 误差e Se fe Ve=Se/fe 总 和 ST fT=n-1 在进行正交试验方差分析时，应注意以下几点： （1）进行F检验时，要用到Se和fe，而 Se=，　　fe= 所以，为进行方差分析，选正交表时应留出一定的空列。当无空列时，则应进行重复试验，以便求得Se2的值(见p181第5节)。 （2）误差自由度fe一般不应小于2，即fe≥2，否则F检验的灵敏度很低，有时即使因素对试验指标有影响，用F检验也判断不出来。 （3）如果fe＝1，为了增大fe，提高F检验的灵敏度， 在进行显著性检验之前，先比较V因和V交与Ve之间的差异程度。如果与误差方差Ve的大小相近，说明该因素或该交互作用对试验结果的影响微乎其微，其偏差平方和是由于随机误差引起的。因此，可并入误差偏差平方和Se中.通常把满足 V因(或V交)＜2Ve的那些因素或交互作用的偏差平方和，并入误差的偏差平方和Se中，从而得到新的误差偏差平方和S，相应的自由度也并入fe中，从而得到f，然后用 (8-10) 其中，校正后的误差方差为 对其他因素或交互作用进行检验，这样使自由度fe扩大到f， 故可以提高F检验的灵敏度. 三、最优条件的确定 根据显著性检验结果，可以确定各因素对试验指标影响的主次顺序(通常根据F的大小判断)，对于显著性因素，若不考虑交互作用或交互作用不显著，则可通过比较该因素各水平对应的数据和(Kij)的大小，确定最优水平，各因素的优水平组合即为该试验的最佳水平组合，即最优条件；对于交互作用显著的某二个因素，必须先通过比较这二个因素各水平组合下试验数据之和的大小(即相当于极差分析中的二元表或搭配表)，然后再确定其最佳水平组合. 最后，在最优工艺条件下进行验证实验。 8.2 不考虑交互作用的等水平正交试验方差分析 8.2.1 二水平正交试验的方差分析（因学时有限，不讲解！只讲解三水平情况，因为三水平会，二水平自然就会！） 例8-1 在双歧杆菌酸奶研制中，为选择最佳发酵条件，用L8(27)正交表安排了正交试验，试验因素与水平表见表8-4，试验方案及结果见表8-5。试对试验结果进行方差分析。 表8-4 试验因素水平表 因素 水平 葡萄糖％ A 1#生长促进剂 ％ B 接种量％ C 厌氧 处理 D 基质浓度 ％ E 2#生长促进剂 ％ F 试验 指标 1 2 2 0 1 0 3 5 充氮气 不充气 10 12 0.25 0 活菌数的对数 ∵是六因素二水平试验，且不考虑交互作用，∴用L8(27)最好！ 表8-5 试验方案及结果分析 表头设计 A B C D E F 试验数据 列号 试 验号 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1(2) 1 1 1 2(0) 2 2 2 1(1) 1 2(0) 2 1 1 2 2 1(3) 1 2(5) 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1(充氮气) 2(不充气) 1 2 2 1 2 1 1(10) 2(12) 2 1 1 2 2 1 1(0.25) 2(0) 2 1 2 1 1 2 7.580 2.477 2.699 7.568 2.477 7.531 6.602 2.000 57.456 6.136 7.285 57.275 6.136 56.716 43.586 4.000 K1j K2j 20.324 18.610 20.065 18.869 18.659 20.275 19.358 19.576 19.810 19.124 19.625 19.309 29.281 9.653 T=38.934 K1j-K2j Sj 1.714 0.367 1.196 0.179 -1.616 0.326 -0.218 0.00594 0.686 0.0588 0.316 0.0125 19.628 48.157 一、计算 1、计算各列各水平的Kij值（K1j和K2j） 各列各水平的试验数据（即指标值）之和K1j、K2j以及（K1j-K2j）的值，填入表8-5中, 如 K1c=7.580+2.477+6.602+2.000=18.659 K2c=2.699+7.568+2.477+7.531=20.275 2、计算各列的偏差平方和Sj及其自由度fj 由式（8-5）知，Sj= (K1j-K2j)2 SA=S1=×1.7142=0.367 SB=S2=×1.1962=0.179 SC=S3=×(-1.616)2=0.326 Se=S4=×(-0.218)2=0.00594 …… fj=m-1=2-1=1 fT=n-1=8-1=7 fe=fj=f4=1 将求得的Sj值也填入表8-5中。为了判断是否计算有误，进行以下验算： ① ST的验算 T= =38.934，CT= =×38.9342=189.482 QT==57.456+6.136+……+4.000=238.589 ST=QT-CT=238.589-189.482=49.107 另外 ST==SA+SB……+Se =0.367+0.179+…+0.00594=49.107 ② fT的验算 fT= =fA+fB+……+fe=1+1+……+1=7 另外 fT=n-1=8-1=7 ∴ST和fT均计算无误。 3、计算方差 VA=SA/fA=0.367/1=0.367 VB=SB/fB=0.179/1=0.179 …… Ve=Se/fe=0.00594/1=0.00594 注意： ∵ fe=1＜2， F检验的灵敏度低！ ∴ 需要校正fe--à f、Se--àS、Ve--àV 二、显著性检验 根据上述计算结果，进行显著性检验，列出方差分析表，如表8-6所示. ∵ VE=0.0125最小， VE/Ve=0.0125/0.00594=2.10 ∴因素E对试验指标的影响可忽略，故将其偏差平方和SE并入误差平方和Se中，即 S=Se+SE=0.00594+0.0125=0.01844， f=fe+fE=1+1=2 V=S/f=0.01844/2=0.00922 1. 计算Fj FA=VA/V=0.367/0.00922=39.8， FB=VB/V=0.179/0.00922=19.4 FC=VC/V=0.326/0.00922=35.4， FD=VD/V=0.0588/0.00922=6.38 FF=VF/V=48.157/0.00922=5223.1 2. 查Fα Fα(f，f)= Fα(1，2) 当α=0.05时，查F分布表(p324)得F0.05(1，2)=18.51 当α=0.01时，查F分布表(p326)得F0.01(1，2)=98.50 3. 显著性检验 ∵ FF＞F0.01（1，2） ∴ F因素高度显著（用**表示）； 又∵ F0.05(1，2)＜FA＜F0.01(1，2)， F0.05(1，2)＜FB＜F0.01(1，2)， F0.05(1，2)＜FC＜F0.01(1，2)， ∴ 因素A、B、C均为显著(用*表示)； 又∵ FD＜ F0.05(1，2)， ∴ D因素不显著(不用记号表示). 由 F值大小可知，各因素对试验指标影响的主次顺序为: F A C B D E 4.列出方差分析表 表8-6 方差分析表 方差来源 偏差平方和 自由度 方差 F值 Fα 显著性 A B C D E△ F 误差e 误差e△ 0.367 0.179 0.326 0.0588 0.0125 48.157 0.00594 0.0184 1 1 1 1 1 1 1 2 0.367 0.179 0.326 0.0588 0.0125 48.157 0.00594 0.00922 39.8 19.4 35.4 6.38 5223.1 F0.05(1,2) =18.51 F0.01(1,2) =98.50 * * * ** 总 和 49.107 7 三、最佳条件的确定. 本例中，指标值越大越好，由K1j和K2j的大小，按各因素的主次顺序选优水平如下：F 选F1 ，A 选A1，C 选C2，B 选B1.对于不显著因素D 和E，可视具体情况而定，D 选D2(即不充气)为好，E选E1(10%)可降低成本。所以，最优工艺条件为A1 B1 C2 D2 E1 F1 (或 A1 B1 C2 E1 F1)，即…… 最后，在最优工艺条件下进行验证实验。 8.2.2 三水平正交试验的方差分析（重点讲解！三水平掌握了，二水平自然就会！） 例8-2 自溶酵母提取物是一种多用途食品配料。为探讨外加中性蛋白酶方法中啤酒酵母的最适合自溶条件，安排了三因素三水平试验。试验指标是自溶液中蛋白质含量（％）。试验因素水平表见表8-7，试验方案及试验结果见表8-8。试对试验结果进行方差分析。 表8-7 因素水平表 因素 水平 温度（℃） A pH值 B 加酶量 C 1 2 3 50 55 58 6.5 7.0 7.5 2.0 2.4 2.8 本例是三因素三水平试验(见表8-7)，且不考虑因素间的交互作用，所以用L9(3 4)正交表安排试验最合适.试验方案和试验结果分析见表8-8. 表8-8 试验方案及结果分析 表头设计 A B C 试验指标 Pr ％ 列号 试 验号 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1(50) 1 1 2(55) 2 2 3(58) 3 3 1(6.5) 2(7.0) 3(7.5) 1 2 3 1 2 32.4 1(2.0) 2(2.4) 3(2.8) 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1 6.25 4.97 4.54 7.53 5.54 5.50 11.4 10.9 8.95 K1j K2j K3j 15.76 18.57 31.25 25.18 21.41 18.99 22.65 21.45 21.48 20.74 21.87 22.97 T=65.58 248.38 344.84 976.56 634.03 458.39 360.62 513.02 460.10 461.39 430.15 478.30 527.62 一、 计算 1. 计算各列各水平的Kij值(K1j、K2j 和K3j) 各列各水平对应的试验指标之和K1j、K1j 和K1j及其平方K、K和K，列于表8-8中。 例如： K1C=6.25+5.50+10.9=22.65， K1C2=22.652=513.02 K2C=4.97+7.53+8.95=21.45， K2C2=21.452=460.10 K3C=4.54+5.54+11.4=21.48， K3C2=21.482=461.39 2. 计算各列的偏差平方和Sj 及其自由度fj 根据式(8-4)可知， Sj=-CT， r=n/m=9/3=3 CT=T2/n=65.582/9=477.86 SA=S1=(K+ K+ K)/r-CT =(248.38+344.84+976.56)/3-477.84=45.4 同理可知，SB=S2=6.49， SC=S3=0.31，Se=S4=0.83 ∵fj=m-1， ∴fA=fB=fC=fe=3-1=2 验算: 1. QT==6.252+4.972+……+8.952=530.89 ST= QT-CT=530.89-477.86=53.03 另外， ST= =SA + SB + SC + Se =45.4+6.49+0.31+0.83=53.03 fT=n-1=9-1=8 另外， fT= =fA +fB + fC +fe =2×4=8 ∴计算正确无误。 3. 计算方差 VA= SA /fA=45.4/2=22.7， VB= SB /fB=6.49/2=3.25， VC= SC /fC=0.31/2=0.155， Ve= Se /fe=0.83/2=0.415， ∵ VC＜2 Ve ∴ 因素C的偏差平方和SC是由于随机误差引起的，说明因素C对试验结果的影响可忽略，故将SC并入Se中，得 Se△=Se+Sc=0.83+0.31=1.14 fe△=fe+fc=2+2=4， Ve△= Se△/fe△=1.14/4=0.285 二、显著性检验 1．计算Fj 22.7/0.285=79.6 3.25/0.285=11.4 2．查Fα 当α=0.05时，查F分布表得Fα(f因，f)=F0.05(2，4)=6.94 当α=0.01时，同理查得F0.01(2，4)=18.00. 3.显著性检验 ∵FA＞F0.01； ∴因素A高度显著，用**表示之。 又∵F0.05＜FB＜F0.01； ∴因素B显著，用*表示之。 当然，因素C是不显著的。 因素作用的主次顺序为：A B C 4．方差分析表 表8-9 方差分析表 方差来源 偏差平方和 自由度 方差 F值 Fα 显著性 A B C△ 误差e 误差e△ 45.4 6.49 0.31 0.83 1.14 2 2 2 2 4 22.7 3.25 0.155 0.415 0.285 79.6 11.4 F0.05(2,4) =6.94 F0.01(2,4) =18.0 ** * 总 和 53.03 8 三、最优工艺条件 本例试验的指标值越大越好。对因素A和B，通过比较Kij可知，优水平为 A3和B1，对因素C，取C1有利于节省原料。故最优水平组合为A3B1C1，即…… 最后，在最优工艺条件下进行验证实验。 因为因素 C对试验指标几乎无影响，且因素C为加酶量，而酶的价格通常较高。所以最好在加酶量更低时，再次进行正交试验，以便确定最经济合理的加酶量。 8.3 考虑交互作用的正交试验设计的方差分析 8.3.1 考虑交互作用的二水平正交试验的方差分析（重点讲解！二水平掌握了，三水平自然也会！） 如前所述，因素间的交互作用在多因素试验设计中是经常碰到的，在一般试验中，在采取一些措施后，多数交互作用可略去。但为了使试验做得更精确，表头设计得更合理，收到更好的效果，在正交试验设计的方差分析中也要考虑因素间的交互作用。现在实例说明之。 例8-3 试对例7-4（p150～154）的试验结果进行方差分析。 表8-10 试验方案及结果分析 试验号 A B A×B C A×C B×C 吸光度 xi 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 1(300) 1 1 1 2(700) 2 2 2 1(1800) 1 2(2400) 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1(8) 2(10) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2.42 2.24 2.66 2.58 2.36 2.40 2.79 2.76 K1 K2 9.9 10.31 9.42 10.79 10.21 10.0 10.23 9.98 10.24 9.97 10.12 10.09 10.19 10.02 å=20.21 98.01 106.30 88.74 116.42 104.24 100.00 104.65 99.60 104.86 99.40 102.41 101.81 103.84 100.40 Sj 0.021 0.0235 0.00551 0.00781 0.00911 0.000113 0.00361 一、计算 书上为了便于计算，将试验数据x。放大10倍，即令x`=10xi，变换后的数据如表8-10所示。（这种变换实际上是没有必要的，因为大家现在都用计算器或是计算机进行计算，而不是用对数计算尺进行计算！） 1.计算各列各水平的Kij值（K1j，K2j） 各列各水平对应的试验数据之和 K1j和K2j，以及（K1j-K2j）列于表8-10中 2.计算各列的偏差平方和（Sj）和自由度（fj） 对于二水平正交试验，由式（8-5）可知 Sj=Qj-CT=- 或Sj=(K1j-K2j)2 , r=n/m=8/2=4, SA=S1=0.021； 同理 SB=S2=0.235； SA×B=S3=0.00551 SC=S4=0.00781 SA×C=S5=0.00911， SB×C=S6=0.000113， Se=S7=0.00361 fj=m-1=2-1=1 即fA=fB=fA×B=fC=fA×C=fB×C=fe=2-1=1 验算： ① ST的验算 CT==×20.212=51.056 QT==2.422+2.242+…+2.762=51.337 ST=QT-CT=51.337-51.056=0.281 另外ST==0.021+0.235+…+0.00361=0.281 ② fT的验算 fT=n-1=8-1=7 另外fT=∑fj=7×1=7 ∴计算无误。 3．计算方差 VA=SA/fA=0.021/1=0.021， VB=SB/fB=0.235/1=0.235， VA×B=SA×B/fA×B=0.00551/1=0.00551， VC=SC/fC=0.00781， VA×C=SA×B/fA×C=0.00911， VB×C=SB×C/fB×C=0.00013， Ve=Se/fe=0.00361， fe=1＜2，F检验的灵敏度低！ VA×B/Ve=0.00551/0.00361=1.53， VC/Ve=0.00781/0.00361=2.16 VA×C/Ve=0.00911/0.00361=2.52， VB×C/Ve=0.000113/0.000361=0.0313 ∵VA×B＜2Ve， VB×C＜2Ve ∴交互作用A×B和B×C对试验指标的影响可以忽略， SA×B和SB×C主要是由于随机误差而引起的。因此，将SA×B和SB×C并入Se中，得 S=Se+SA×B+SB×C =0.00361+0.00551+0.000113 =0.00923 f=fe+fA×B+fB×C=1+1+1=3 V=S/f=0.00923/3=0.00308 二、显著性检验 1. 计算Fj Fj=Vj/V， j=A、B、C、A×C FA=VA/V=0.021/0.00308=6.82， FB=VB/V=0.235/0.00308=76.3 FC=VC/V=0.00781/0.00308=2.54， FA×B=VA×C/V =0.00911/0.00308=2.96 2.查Fα［f因（或f交），f］=Fα(1，3) 当α=0.05时，查F分布表及F0.05(1，3)=10.13； 当α=0.01时，查F分布表及F0.01(1，3)=34.12. 3.显著性检验 ∵FB＞F0.01 ∴因素B高度显著（**）； 又∵FA，FC，FAXC均小于F0.05，∴因素A和C及其交互A×C对试验指标的影响均不显著。 根据上述计算所D得到的方差分析表，如表8-11所示，F值的大小，可知各因素的主次顺序为：B、A、A×C、C、A×B、B×C。 表8-11 方差分析表 方差来源 偏差平方和 自由度 方差 F值 Fα 显著性 A B A×B△ C A×C B×C△ 误差e 误差e△ 0.021 0.235 0.00551 0.00781 0.00911 0.000113 0.00361 0.0923 1 1 1 1 1 1 1 3 0.021 0.235 0.00551 0.00781 0.00911 0.000113 0.00361 0.00308 6.98 78.07 2.59 3.03 F0.05(1,3) =10.13 F0.01(1,3) =34.13 ** 总 和 0.281 7 三、最优条件确定 ` 因为交互作用A×B和B×C的影响可忽略，而A×C的影响又不显著，所以确定因素的优水平时可不考虑交互作用的影响（注：当交互作用影响显著时，应根据因素之间的搭配表即二元表选取优水平）。通过比较试验数据和K1j和K2j可知，B应取B2水平，A应取A2水平。C为次要因素，可取C1或C2，视具体情况而定。这样，最优水平组合为A2B2C1或A2B2C2，即…… 最后，在最优工艺条件下进行验证实验。 讨论： 通过极差分析与方差分析的比较，可以看出方差分析的优点： （1）可以分析出试验误差的大小，从而知道试验的精度。 （2）不仅可以给出各因素及交互作用对试验指标的影响的主次顺序，而且可以分析出哪些因素的影响显著，哪些因素的影响不显著。因为主要因素不一定是显著因素，次要因素也不一定是不显著因素，所以，极差分析法不能对各种因素的主要程度给予精确的定量的估计。 对于显著因素，我们在试验中取其最优水平，进行严格控制；对于不显著因素，可以视具体情况，综合考虑试验成本和操作的难易等方面确定其最适宜水平。