3.4 向量组的极大线性无关组.PPT

,3.4 向量组的极大线性无关组,(内容的先后顺序作了较大调整),一、极大线性无关组的概念,上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其,中线性无关也称为线性独立。,系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实,反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。,本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，,(1)该向量组中到底有多少个向量是独立的？,(2)具体哪些向量是独立的？,(3)其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？,如果以线性方程组中各方程的,一、极大线性无关组的概念,定义,如果向量组 中的一个部分组,满足:,(1)线性无关；,(2)向量组 中的每一个向量都可由,线性表示，,(即在 中再加一个向量就相关.),则称 为 的(一个)极大线性,无关组。,则 是一个极大线性无关组；,等都是极大线性无关组。,由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。,需要讨论的问题,(1)一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？,(2)如何求出向量组的一个极大线性无关组？,如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？,设有两个向量组,1.向量组之间的线性表示,定义,若向量组()中的每个向量都能由向量组(I)线性表示，,则称向量组()能由向量组(I)线性表示。,二、向量组的秩,若记,即有,其中 n 为向量的维数。,则所谓的向量组()能由向量组(I)线性表示意味着,1.向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,1.向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,则有,1.向量组之间的线性表示,定理,设向量组 可由 线性表示，,二、向量组的秩,换句话说，若 线性无关，则,1.向量组之间的线性表示,2.向量组之间的等价,定义,若向量组 与向量组 能够相互,线性表示，,此时,若记,其中 n 为向量的维数。,则存在矩阵 和 使得,二、向量组的秩,则称这两个向量组等价。,1.向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,性质,(1)反身性，,(2)对称性，,(3)传递性，,即向量组自己与自己等价；,2.向量组之间的等价,1.向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,定理,两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量,2.向量组之间的等价,个数相等。,证明,