几何06简版-勾股定理(教师版).docx

八年级暑假班 勾股定理 知识精讲 1、复习直角三角形的性质 (1) 两锐角互余； (2) 斜边上的中线等于斜边的一半； (3) 30°角所对的直角边等于斜边的一半； (4) 几个基本图形中的常用结论： ① 等腰直角三角形三边比为1:1:； ② 含30°角的直角三角形三边之比为1::2； ③ 边长为a的等边三角形的高为a，面积为. 2、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足a2+b2=c2，那么三角形是直角三角形。 说明：(1) 在古代我国数学家把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦； (2) 勾股定理应用的前提条件是“直角三角形”，揭示的是直角三角形三边之间的关系； (3) 遇到求直角三角形的边时，可想到用勾股定理求解。 3、勾股数组 一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a，b的平方和等于c的平方，那么数组(a，b，c)称为勾股数组。勾股数组是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。勾股数组的整数倍仍是勾股数组。 常用的勾股数组：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10； 7、24、25； 8、15、17… 4、两点间距离公式 如果直角坐标平面内有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么A、B两点的距离AB=. (1) 当AB//x轴时，y1= y2，∴AB=； (2) 当AB//y轴时，x1= x2，∴AB=； (3) 当点A或B为原点时，AB=. 【精解名题】 例1. 在△ABC中，三个角和三条边分别满足下列条件： ① ； ② ； ③ ，； ④ ，，。 其中能判定△ABC是直角三角形的有 ( B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 分析：判定△ABC是直角三角形的方法通常有下列几种： (1) 有一个角为直角( 或者有两个角互余)； (2) 等腰三角形三线合一； (3) 勾股定理的逆定理。 例2.△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是 ( B ) A. BC2 = AB2+AC2； B. AB2 = AC2+BC2； C. AB2 = BC2- AC2； D. AC2 = BC2- AB2. 例3.. 如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，AD=1。求∠DAB的度数. 答案：联结AC，135° 例4. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，D为BC边上的中点. (1) 求BD、AD的长度； (2) 将△ABC折叠，使A与D重合，得到折痕交AB于E，交AC于F，用尺规作出EF； (3) 求AE、BE的长度。 答案：(1) BD=2；AD=； (2) 略； (3) 例5. 直角坐标平面内有点P(4,3)，点Q不在坐标原点，且PQ=5，根据下列条件，求点Q的坐标： (1) 点Q在x轴上； (2) 点Q在y轴上； (3) 点Q在第一三象限的角平分线上； (4) 点Q与y轴的距离等于1. 答案：(1) Q(8,0)； (2) Q(0,6)； (3) Q(8,6)； (4) Q1(-1,3)，Q2(1,7)，Q3(1,-1). 例6.如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程。 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行。大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样。AC之间的最短距离是什么？根据是什么？ 解：如图，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm，根据勾股定理得　 　　 ∴ AC==， =≈10.77(cm)(勾股定理) 答： 最短路程约为10.77cm. 例7. 如图所示，A、B为两个村庄，AB，BC，CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD垂直，现在要从点E处开始铺设通往村庄A、B的一条电缆，共有如下两种方案：1)E→D→A→B；2)E→C→B→A。经测量得AB=4km，BC=10km；CE=6km，∠BDC=45°，∠ABD=15°。已知修建费用为：地下电缆2万元/千米，水下电缆4万元/千米。 (1) 求河宽AD(结果保留根号)； (2) 求公路CD的长； (3) 哪种方案铺设电缆的费用低？ 解：(1) 过B点作BF⊥AD交AD所在直线于F， ∵AD⊥CD，∠BDC=45°， ∴∠1=45°， ∠2=∠1+∠ABD=60°， ∴Rt△AFB中，∠3=30°， ∴AF=AB=2，∴， ∴ Rt△BFD中，∠1=45°，∠FBD=∠3+∠ABD=45°=∠1， ∴FD=FB=6， ∴AD=FD-FA=6-2； (2) 过B点作BG⊥CD于G，则四边形BFDG为正方形， ∴BG=FD=6=GD， Rt△CBG中，CG==8， ∴CD=CG+GD=8+6=14， (3) 方案(1) 所用费用： 2(EG+GD+AB)+4AD =2(2+6+4)+4(6-2) =40(万元) 方案(2) 所用费用： 2(EC+CB+BA) =2(6+10+4) =32+8>40(万元) ∴方案(1)铺设电缆费用低。 【巩固练习】 一、选择题 1. 若三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满足(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( B ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 2. 将一根木棒截成三段，要使这三段可以搭成直角三角形，则它们的长度之比可以 ( D ) A. 4:3:2； B. 3:4:6 C. D. . 3.下列a、b、c为三角形三边的值，其中，不能构成直角三角形的是 ( B ) A. ，，； B. ，，； C. D. ，，(m>n，m、n是正整数) 4. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图注》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如上图所示). 如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么(a+b)2的值为 ( C ) A.13； B.19； C.25； D.169. 5. 已知x轴上有一点A到点B(-3,4)的距离是5，则点A的坐标是 ( C ) A. (-6,0)； B. (0,0)； C. (-6,0)或(0,0)； D. 以上都不对. 6. 已知点A(-2,0)，B(-1,)，则△ABO是 ( C ) A. 等腰三角形； B. 直角三角形； C. 等边三角形； D. 等腰直角三角形. 7. 两根木棒的长度分别为3cm和5cm，要选择第三根木棒，将它们订成一个三角形，若第三根木棒的长为偶数，则它的长是 4或6 cm；若要求此三角形为直角三角形，则第三根木棒的长为 4 cm。 8. 已知一个三角形的两边长为4和5，如果要使这个三角形成为直角三角形，那么第三边的长应是 3或。 9. 如果点A(-2,4)到点B(a,5)的距离是，则a=_-5或1_； 10. 如图，已知△ABC中，，AC=6，则 9 。 11. 若等腰三角形腰长为10，底边长为12，则这个三角形的面积是 48 。 12. 若等腰直角三角形的斜边长为，则这个三角形的周长为。 13. 如图，在Rt△ABC中，，DE垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点E，且DE=DA. 若AD=1，则AC= 3 。 14. 如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是 30°或150° 。 15. 如图，已知，，，那么下列结论：①，②，③≌，④CD=BN. 其中正确的结论是 ①②③ (将你认为正确的结论的序号都填上)。 16. 如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边上点F处，已知：AB=8cm，BC=10cm，则CF的长为 4 cm。 17. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边上的中点，则= ；若M、N分别是AD、BC边上的距DC最近的n等分点(n≥2，且n为整数)，则= (用含有n的式子表示). 三、解答题 18. 如图，公路l同侧有两村庄A、B，A村到公路l的距离AC=4km，B村到公路l的距离BD=2km，且CD间的距离为8km，要在公路上建一车站P，使AP+BP最小，求该最小值。 解：作B点关于l 的对称点B’，连结AB’交l于P点， 则P点即为所求的车站点。 过B’点作B’O⊥AC交AC的延长线于O， 则四边形CO B’D为矩形，CO= B’D=BD，OB’=CD， Rt△AOB’中，AO=AC+CO=4+2=6，OB’=8， ∴=10， ∴AP+BP=AP+B’P=AB’=10. 19. 在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，P、Q是斜边AB上的两点，且∠PCQ=45°。 求证：PQ2=AP2+BQ2。 证明：将△CPQ沿CQ翻折180°，P点落在P′处， 连结P′B，则P′Q=PQ，P′C=PC. ∴∠PCP′=90°， ∴∠P′CB+∠PCB=90°， 又∵∠ACP+∠PCB=90°， ∴∠P′CB=∠ACP， 又AC=BC，PC=P′C， ∴△P′CB≌△PCA， ∴P′B=PA，∠P′ BC=∠A=45°=∠CBA， ∴∠P′ BQ=90°， ∴Rt△P′ BQ中，， ∴PQ2=AP2+BQ2. 20. 在△ABC中，∠ABC=90°，BC=AB，P是内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，试求∠APB的度数． 解：∵∠ABC=90°，BC=AB， ∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图， ∴BD=BP=2，AD=PC=3，∠PBD=90°， ∴△PBD为等腰直角三角形， ∴PD=PB=2，∠DPB=45°， 在△APD中，AP=1，PD=2，AD=3， ∵12+（2）2=32， ∴AP2+PD2=AD2， ∴△APD为直角三角形， ∴∠APD=90°， ∴∠APB=∠APD+∠DPB=90°+45°=135°． 21. 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 分析：由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH. 如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB， 与地面交于H． 解：OC=1米　(大门宽度一半)， OD=0.8米(卡车宽度一半) 在Rt△OCD中，由勾股定理得 CD===0.6米， CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米)． 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门. 22. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长。 解：过点M作MN⊥AC交AC于N，则N点即为所求。由题意有， ∠MAC=60°-30°=30°， ∠MCA=90°-60°+30°=60°， ∴△AMC中，∠AMC=90°， 设NC=x米，则AN=(2000-x)米， Rt△MCN中，∠CMN=30°， ∴MC=2CN=2x， ∴MN==， Rt△AMN中，AM=2MN=， ∴AN==3x， ∴3x=2000-x， x=500， ∴AN=500米. 【自我测试】 一、选择题 1. 若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为 ( B ) A. 13； B. 13或； C. 13或5； D. 15. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是 ( C ) A. 2,3,4 ； B. 3,4,6 ； C. 5,12,13； D. 4,6,7. 3. 放学以后萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家。若她俩行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为 ( C ) A. 600米； B. 800米； C. 1000米； D. 不能确定. 4. 在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边的比是13：5，则这个三角形三边长分别是 ( D ) A.5,4,3； B.13,12,5； C.10,8,6； D.26,24,10. 5. 有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm、BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于 ( B ) A.2 cm； B.3 cm； C.4 cm； D.5 cm. 6. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 (　C　) A. 450a元； B. 225a 元； C. 150a元； D. 300a元. 7. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为 (　A　) A. 6cm2； B. 8cm2； C. 10cm2； D..12cm2. 8. 已知如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 (　D　) 北 南 A 东 第8题图 A. 25海里； B. 30海里； C. 35海里； D. 40海里. A B E F D C 第7题图 150° 20m 30m 第6题图 二、填空题 9. 如果长方形的对角线长为12cm，它与长方形一边的夹角是30°，那么它的面积为_____cm2； 10. 等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 3 ，面积为 12 ； 11. 若直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 30 cm2； 12. 在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为 54 ； 13. 能够成为直角三角形三条边长的三个整数，称为勾股数，试写出两组勾股数 3、4、5；5、12、13； 14. 有一长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱。请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm； 15. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高___15___米。 16. 如图，已知点A(4,3)，在x轴正半轴上有点C，使得△AOC为直角三角形，则C的坐标为_或. D B C A 第15题图 三、解答题 17. 如图，四边形ABCD中，AB=4、BC=3、AD=13、CD=12、∠B=90°，求该四边形的面积。 答案：36 (提示：连结AC) 18. 如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB与E，求证：AE2=BE2+AC2 提示：连结AD，证明略. 19. 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在26秒内从A爬到B？ 答案：不能。展开图如右. . 20. 如图所示，图(1)是某立式家具(角书橱)的横断面，请你设计一个方案(角书橱高2米，房间高3米，所以不必从高度方面考虑方案的设计)，按此方案，可使该家具通过图(2)中的长廊搬入房间，在图(2)中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由。(注：搬运过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁，此房间无门)(参考数值：≈1.414) 答案：将家具逆时针旋转45°搬入. MN=1.414<1.45. 故可搬入. 11 / 11