12---基本几何问题-南翔校区-王少峰（教师版）-金桥审核 .docx

专业 引领 共成长 基本几何图形 模块一： 几何图形计数问题 模块一： 容斥原理 知识精讲 知识精讲 几何图形计数问题 能正确计算形体的个数，应做到计数时不重不漏，有条理、有次序地计数。计算个数常用的方法有逐个计数法、分类计数法、直接计数法和间接计数法。 经典例题 【例1】右图中共有多少条线段？ 答案：6 解析：方法一：从左向右，以一个点为起点，数出含这点线段的条数，再相加 方法二：先确定基本线段的个数，如AC，CD，DB，再数含两条基本线段的条数，含三条基本线段的条数，分类进行统计 【例2】下图中，线段上有A1，A2，……，A100共100个点，问图中共有多少条线段？ 答案：99+98+97+……1=4950 解析：同上 【例3】右图中共有多少条线段？ 答案：13 解析：如果一条线段上有4个端点，那么就有4×3÷2=6条， 5个端点那就是5×4÷2=10条，6个端点那就是6×5÷2=15条， 以此类推…… 【例4】右图中共有多少条线段？ 答案：25 解析：同例3 【例5】某列火车从大连到北京，除起点、终点外，还要停靠6个站，问乘这列火车共有多 少种不同的乘车线路？ 答案：28 解析：方法一：从左向右，以一个点为起点，数出含这点的路线的条数，再相加 方法二：共8个点，任取两个点就可以构成一个乘车路线，8×7÷2=28 【例6】图中共有多少个角？ 答案：12 解析：含一个 角的4个，含两个角的4个，含3个角 的也是4个，加起来（周角不算） 【例7】如下图所示，三角形ABC中有几个角？ 答案：7（平角不算） 【例8】下图中一共有多少个三角形？ 答案：21 解析：方法一：从左向右，以一条线段为起点，数出含这 条线段的角的个数，再相加 方法二：以A点为起点的线段有7条，任取两条 就可以构成一个角7×6÷2=21个 【例9】下图中一共有多少个三角形？ 答案：60 解析：同上 【例10】下图中一共有多少个三角形？ 答案：12 解析：分别数出含1个、2个、3个、5个小三角形的三角形 然后加起来 【例11】如图所示，正方形上有5个点：A、B、C、D、E，以其中的任意3点为顶点，可以组成多少个三角形？ 答案：9 解析：任取3个点有10种取法，减去1种不能构成三角形 的情况是9种 【例12】下图中一共有多少个正方形（图中每个小格均为正方形）？ 答案：14 【例13】下图中的长方形、正方形分别被平均分成了若干个相同的小正方形，问两个图形 中各有多少个正方形？ 答案：56， 55 解析：的网格中，正方形的个数 【例14】数一数，右图一共有多少个正方体？ 答案：20 解析：分别数出含1个小正方体、8个小正方体的个数， 然后加起来 随堂检测 【习题1】下图中共有多少条线段？ 答案：12 解析：同例3 【习题2】下图中共有多少条线段？ 答案：48 解析：同例3 【习题3】下图中共有多少条线段？ 答案：107 如果一条线段上有4个端点，那么就有4×3÷2=6条， 5个端点那就是5×4÷2=10条，6个端点那就是6×5÷2=15条， 以此类推…… 【习题4】下图中共有多少条线段？ 答案：27 解析：同上 【习题5】下图中共有多少条线段？ 答案：44 解析：同上 【习题6】下图是5条相交直线，问图中有多少条直线、多少条射线、多少条线段？（注： 直线没有端点，射线只有一个端点，线段有两个端点） 答案：5， 24， 9 【习题7】如下图所示，有一正方体铁丝架，用铁丝将侧面各棱的中点连接，问这个正方形铁丝架上共有多少条线段？ 答案：60 【习题8】如下图所示，图中共有多少条线段？ 答案：84 解析：有3条线段含7个端点，每条线段21条， 3×21=63，有7条线段3个端点，每条线段3条， 7×3=21， 63+21=84 【习题9】下图中有几个角？ 答案：17（平角不算） 【习题10】下图中有多少个三角形？ 答案：15 解析：分别数出含1个小三角形、2个、3个、4个、6个的三角形， 然后加起来 【习题11】下图中有多少个三角形？多少个正方形？多少个长方形？ 答案：2， 9， 27 【习题12】右图中共有多少个三角形？ 答案：44 分别数出含1个、2个、4个、8个小三角形的三角形， 然后加起来 【习题13】两条直线相交可得一个交点，在同一平面上，6条直线最多可得多少个交点？ 答案：15 解析：2条1个，3条3个，4条6个，……n条条. 【习题14】下图中共有多少个长方形？ 答案：150 解析：在长和宽上任取一条线段就可以构成一个长方形， 宽有10条线段，长有15条线段，10×15=150 【习题15】右图中有多少条线段？多少个三角形？ 答案：59条，10个 【习题16】下图中共有多少个正方形？ 答案：105 【习题17】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形？ 答案：42 解析：在下面一条边上任取两个点有10种方法，再在上面一条边上 任取一点（顶点除外）有3种方法，三个点构成三角形有10×3=30； 再在上面一条边上取两个点（顶点除外）有3种方法，再在下面 取一个点有4个方法（顶点除外），构成12个三角形，总共 30+12=42 【习题18】找出图中从A点出发，经过C点和D点的最短路线，共有多少条？ 答案：6×10=60 解析：从A到C的最短路线有6条，从C到D的最短路线 有10条，6×10=60 *【习题19】数数图中共有多少个三角形？ 答案：170 解析：分别算出以第一行、第二行、第三行、……第八行为边的 的三角形，然后加起来。（注意：朝上的三角形和朝下的三角形） 模块二： 角度问题 知识精讲 1、三角形的内角和 三角形的内角和等于180°；（ ※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角。） 2、余角补角问题 1）如果两个角的度数的和是90度，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。其中一个角叫做另一个角的余角。 2）如果两个角的度数的和是180度，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。其中一个角叫做另一个角的补角。 3）同角（或等角）的余角相等； 4）同角（或等角）的补角相等； 经典例题 【例1】已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2＝90° ∠1=60°，求∠3是多少度？这个三角形是什么三角形？∠2是∠3的几倍？ 答案：30°，直角三角形，3倍 【例2】已知∠1、∠2、∠3是三角形中的三个内角，∠2+∠1=∠3，求∠3是多少度？如果∠3是∠1的2倍，则∠1，∠2分别是多少度？这个三角形是什么三角形？ 答案：90°，分别为45°、45°，等腰直角三角形 【例3】已知等腰三角形的一个角是38°，它的一个底角是多少度? 答案：38°或71° 【例4】如右图，已知∠1＝60°，∠4＝25°，求∠3的度数 答案：55° 【例5】如图，∠1=70°，∠2=45°，∠3=28°，则∠4=（ ）∠5=（ ） 答案：37°，73° 【例6】已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=（ ）， ∠C=（ ）. 答案：60°，100° 例题解析 【例7】如图：在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC， BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数. 答案：36°，72° 【例8】发现规律： A、三角形的内角和是：（ ）； B、正方形的内角和是：（ ）、长方形的内角和是：（ ）、 平行四边形的内角和是：（ ）、梯形的内角和是：（ ）； C、五边形的内角和是：（ ）； D、六边形的内角和是：（ ）； …… 你发现了什么规律？（提示：将多边形分割成几个三角形。） 答案：180°，360°，360°，360°，360°，540°，720° 【例9】若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，求这个角的邻补角． 答案：126° 【例10】一个角的补角比它的2倍大30°，求这个角. 答案：50° 【例11】如图，已知点O是直线AD上的点，∠AOB，∠BOC，∠COD三个角从小到大依次相差25°，求这三个角的度数。 答案：35°，60°，85° 【例12】一个角的余角比它的补角还多，求这个角。 答案：63° 随堂检测 【习题1】在一个等腰三角形中，已知一个底角为65°，求顶角？ 答案：50° 【习题2】在一个等腰三角形中，已知一个角为68°，求另两个角？ 答案：68°、44°或56°、56° 【习题3】已知：如图∠2＝58°，∠3＝37°，∠4＝55°，求∠1的度数? 答案：150° 【习题4】在三角形ABC中，已知∠A＝2∠C，∠B＝2∠C，求∠A、∠B、∠C？ 答案：72°、72°、36° A B C D O 【习题5】如图，∠AOC与∠BOD都是90°，且∠AOB：∠AOD=2：11，求∠AOB与 ∠BOC的度数． 答案： 20°、70° 【习题6】一个角的补角的余角等于这个角的，求这个角的度数． 答案：150° 【习题7】一个角的补角减去20°后，等于这个角的余角的2倍，求这个角的度数。 答案：20° 【习题8】如图所示，已知射线OE平分∠BOC，射线OD平分∠AOB． （1）若∠AOC=90°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOC=50°，求∠DOE的度数； （3）若∠AOC=x°，求∠DOE的度数． 答案：（1）45° ；（2）25°；（3） 【习题9】如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数. 答案：24° 课后作业 一、图形计数 1. 沿图1所示的方向，从M到N共有________种不同的走法。 答案：9 2. 以图2七边形中的任意3个顶点为顶点的三角形一共有________个。 答案：35 3. 图3是由24个小长方形组成的立方体图形，其中由2个小长方体组成的长方体有____个。 答案：45 4. 如图4，在连接正六边形的3个顶点而成的三角形中，与正六边形有公共边的三角形有________个。 答案：18 5. 如图5中，有________个正方形。 答案：23 6. 如图6，由A地到B地，若规定只能往右或往下走，共有________种不同的路线。 答案：23 7. 如图7中4个等圆的圆心连线正好是正方形。图7有（ ）条对称轴。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 8. 平面上10条直线相交，最多能有（ ）个交点。 A.10 B.20 C.45 D.55 答案：C 9. 如图8中，含有A的长方形共有（ ）个。 A.16 B.15 C.14 D.13 答案：A 10. 如图9中，平行四边形的个数有（ ）个。 A.49 B.51 C.53 D.55 答案：B 11. 如图10是一个长方形，四周边上每隔2米有一点，共14个点，以这些点为顶点的三角形中，面积为12平方米的三角形有（ ）个。 A.36 B.28 C.46 D.41 答案：C 12. 如图11，用125块体积相等的黑、白两种正 方体，黑白相间地拼成一个大正方体，那么，露 在表面上的黑色正方体的个数有（ ）个。 A.74 B.76 C.50 D.56 答案：C 13. 如图12中有A、B、C、D、E、F、G这7个点，以这7个点中 的4个为顶点，可以画出多少个不同的四边形？ 答案：23 解析：任取4个点有35种方法，35-12=23 14. 如图13所示的七巧板中，用包含④的两块可以拼成若干个不同 的梯形，请画图表示不同的拼法。 答案：共①②③⑤⑦都可以 15. 如图14，大三角形由9个形状相同的等边三角形组成，共有10 个顶点。以这些顶点构成的三角形中，面积与阴影部分面积相等的三 角形共有多少个？ 答案：36 16. 如图15是由49根火柴棒搭成的图形。 （1）这个图形中共有大大小小的正方形多少个？ （2）至少要拿掉多少根火柴棒，才能使图形中没有正方形？请画出 拿掉火柴棒后的图形。 答案：（1）40个；（2）略 二、角度问题 1、在△ABC中，已知∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，则∠ABE、∠ACF、∠BHC的度数分别为______________________. 答案：30°，30°，120° 2、如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且 ∠ADE=∠AED，则∠CDE=_______． 答案：20° 3、如图5，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在△ABC的形内，已知∠1+∠2=102°， 则∠A的大小等于________度． 答案：51° 4、若∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∠1=40°，则∠3=　_________　°，依据是　_________　． 答案：50°，同角的余角相等 5、如果∠α=n°，而∠α既有余角，也有补角，那么n的取值范围是________________. 答案：0 < n < 90 6、如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走50m至点B，乙从A出发向南偏西15°方向走80m至点C，则∠BAC的度数是___________. 答案：125° 7、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边的F处，若∠BAF=60°，则∠DAE等于_____________. 答案：15° 8、如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°， 则∠BPC的度数是___________. 答案：115° 9、如果一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角． 答案：45° 10、一个角的余角比它的补角的 还少40°，求这个角． 答案：30° 11、如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？ 答案：互余 互补 13 / 13