7---应用题-综合（一）-松江校区-刘燕（教师版）-嘉定审核.doc

专业 引领 共成长 应用题综合---（1） 模块一： 植树问题 知识精讲 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题． 数量关系 线形植树     棵数＝距离÷棵距＋1              环形植树     棵数＝距离÷棵距                                      先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式． 另外生活中可以用植树问题解决：锯木头，敲钟、爬楼．关键是找到对应的量总长、间隔长、棵树、段数． 例题解析 例1：城中小学在一条大路边从头至尾栽28棵树，每隔6米栽一棵，这条大路长多少米？  答：题中已知栽了28棵树，28棵树之间有28-1＝27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27＝162米．综合算式：6×（28-1）＝162(米) ． 变式训练： 一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植树多少棵？  答：这是一个不封闭图形，公式是棵树＝总距离÷间隔长+1  棵树＝段数+1 ．  例2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？  答：这是一道封闭线路上的植树问题，植树的棵数和段数相等． 综合算式：240÷5＝48（棵）．  变式训练： 1、在一块长80米、宽60米的长方形地的周围种树，每隔4米种一棵，一共要种树多少棵？  答：这是一条封闭线路，棵树＝段数＝周长÷间隔长，综合算式：（80+60）×2 ÷4＝280÷4＝70(棵)． 2、在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？ 答：分析：这是一条封闭线路，段数＝棵树＝周长÷间隔长，60棵＝60段每隔3米种一棵树，60×3＝180（米） ． 例3：在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等．求相邻两盏彩灯之间的距离？  答：大桥两边共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2＝101（盏），101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1＝100（段），所以相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100＝8（米）利用的公式是：间隔长＝总距离÷（棵树-1）;段数＝棵树-1  ，综合算式：800÷（202÷2-1）＝8（米）． 变式训练： 六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米，求六年级有学生多少人？ 答：这是一个不封闭图形，人数＝段数+1；每一路纵队的段数＝20÷1＝20（段），每一路纵队的人数＝段数+1＝20+1＝21人，因为有5路纵队：21×5＝105（人） ． 例4：一位木工锯一根长19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条，每根木条长多少米？  答：把长19-1＝18（米）的木条锯了5次，可以锯成5+1＝6段，所以每根木条长18÷6＝3(米) ，综合算式：(19-1) ÷(5+1) ＝3(米)．  变式训练： 有一位工人把12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟，共需要多少分钟？ 答：段数＝12÷3＝4（段）次数＝段数-1＝4-1＝3（次），锯断一次要5分钟共需要5×3＝15（分） ． 模块二： 盈亏问题 知识精讲 基本数量关系： 份数＝(盈+亏)÷两次分配的差．物品数可以由其中一种分法的份数和盈亏数求出． 解答盈亏问题的关键： 求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配者人数，进而求出物品的数量． 盈亏问题的特点： 问题中每一同类量都要出现两种不同的情况． 还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．      盈亏问题的基本关系式：  一盈一亏的解法：(盈+亏) ÷两次分得之差＝人数或单位数      双盈的解法：(盈-盈) ÷两次分得之差＝人数或单位数      双亏的解法： (亏-亏) ÷两次分得之差＝人数或单位数  物品数可由其中一种分法和人数求出．也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”． 除了以上比较常见的只给一种变量直接给出条件的问题外，还有一些需要将题目类型进行转化的问题，这类题型中会出现两种物品，一般两者之间还存在数量关系，如和差关系、倍数关系等，我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系，再根据基本盈亏问题的解法计算． 例题解析 例1：四年级的同学分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒就少6粒．问：有多少位同学分多少糖果？ 答：由题目条件可知，学生人数与糖果的粒数不变，比较两种分配方案，一种盈一种亏，相差9+6＝15（粒），相差的原因在于分配数不同，两次分配之差为5-4＝1（粒），每人相差一粒，15人相差15粒，所以参与分配糖果的学生数是15÷1＝15（人）， 因此粒数为4×15+9＝69（粒），人数是15人． 变式训练： 1、五年级三班的一部分同学去野餐，如果每张餐布周围坐4名同学，就有6名同学没有座位；如果每张餐布周围多坐一名同学，就会余出4个位置，问：参加野餐的一共有多少名同学？他们一共带了多少张餐布？ 答：是盈亏问题，6+4＝10（人），所以餐布有10÷1＝10（张），学生有10×4+6＝46（人） 2、 用一根绳子测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如绳子3折时，差4米，求绳子的长度和井的深度． 答：井深为份数，绳长为总数，即2折时多出5×2＝10（米），3折时绳子少3×4＝12（米），所以直接将问题转化成“盈亏”型问题，所以井深为（10+12）÷（3-2）＝22（米），绳子长度为（22+5）×2＝54（米）． 例2：老猴子给小猴子分桃，每只小猴10个桃子，就多出9个桃子；每只小猴分11个桃子，就多出来两个桃子，那么一共有多少只小猴？老猴子一共有多少个桃子？ 答：老猴子第一种方案盈9个桃子，第二种方案盈2个，所以盈亏总和为9-1＝7个，两次分配之差是11-10＝1（个），因此有小猴7÷1＝7（只），一共有桃子7×10+9＝79（个） 变式训练： 1、军队分配宿舍，如果每间住3人，则多出20人没有房间可以住；如果每间住4人，那么有10人没有房间可以住，现在每间住6人，可以空出多少个房间？ 答：这是“盈盈”问题，两次分配方案人数相差20-10＝10（人），每间房间相差4-3＝1（人），所以共有房间10÷1＝10（间），共有人数10×3+20＝50（人），现在6人一间，50÷6＝8…2（人），因此用掉9个房间，还空出1间． 2、食堂管理员带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元，已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：食堂管理员带了多少钱？ 答：因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所有买10千克猪肉应该还剩下3×10-6＝24（元），这样问题就转化成普通盈亏问题中的“盈盈”问题了，猪肉价钱是（24-4）÷（12-10）＝10（元），食堂管理员带了12×10+4＝124（元）． 例3：学校新进一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10本，还差9本；如果每人发9本，还差2本．请问有多少老师？多少本书？ 答：盈亏总和为9-2＝7（本），两次分配之差是10-9＝1（本），因此有7÷1＝7（人），共有7×10-9＝61（本） 变式训练： 红领巾小队的同学去栽树，如果每人栽8棵则少27棵，如果每人栽6棵则少5棵．红领巾小队有多少个同学？他们要栽多少棵树？  答：根据题目中条件可知，第一种方案要比第二种方案多27-5＝22棵，为什么会多22棵呢？因为第一种方案比第二种方案每人多栽了8-6＝2棵，每人多栽2棵，多少人就栽22棵呢？22÷2＝11人．这就是这个小队的人数，再用6×11-5或者8×11-27就可以求出一共要栽多少棵树了． 模块三： 年龄问题 知识精讲 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化． 数量关系：年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点． 解题思路和方法：可以利用“差倍问题”的解题思路和方法． 年龄问题的三大规律： 1、两人的年龄差是不变的； 2、两人年龄的倍数关系是变化的量； 3、随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量． 解答年龄问题的一般方法是： 　　几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差-小年龄， 　　几年前年龄＝小年龄-大小年龄差÷倍数差． 例题解析 例1：母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 答：（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？    37－7＝30（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年） 列成综合算式  （37－7）÷（4－1）－7＝3（年）             变式训练：  小东今年12岁，五年前爷爷的年龄是小东年龄的9倍，爷爷今年多少岁？ 答：68岁 例2：三年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 答：今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁，今年二人的年龄和为  49＋3×2＝55（岁），把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于（4＋1）倍，因此， 今年儿子年龄为 55÷（4＋1）＝11（岁），今年父亲年龄为11×4＝44（岁）             变式训练： 一家4口，父亲、母亲、儿子、女儿．他们的年龄和是71岁，父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁．4年前，全家的年龄之和为56岁．现在每个人的年龄分别是多少岁？        答：现在全家年龄应比4年前多16岁，但71-56＝15（岁），假设四年前弟弟没有出生，设弟弟今年3岁，那么姐姐就是3+2＝5（岁），设母亲的年龄为x岁，由题意得，解得，那么父亲的年龄应该是30+3＝33（岁），检验四年前三人年龄和为33+30+5-12＝56（岁），验证结果正确，因此现在父亲的年龄是33岁，母亲30岁，姐姐5岁，弟弟3岁． 例3：甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”．求甲乙现在的岁数各是多少？ 答：这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年．列表分析：         过去某一年 　   今年　   将来某一年          甲   □岁 　　 △岁       61岁          乙   4岁　　   □岁      △岁            表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数． 因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为   （61－4）÷3＝19（岁） 甲今年的岁数为             △＝61－19＝42（岁） 乙今年的岁数为             □＝42－19＝23（岁） 变式训练：甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？  答：   过去某一年 　    今年　   将来某一年          甲   □岁 　　 2×△岁       63－2×△岁           乙   △岁　　  □岁      2×△岁      表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数． 因为两个人的年龄差总相等：□－△＝2×△－□＝63－2×△－2×△，得到□＝21，△＝14，因此现在甲是28岁，乙是21岁． 模块四：鸡兔同笼问题 知识精讲 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设的那部分置换出来． 基本思路： （1） 假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或乙和甲一样）； （2） 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； （3） 每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； （4） 再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差． 基本公式： （1） 假设全都是兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数） （2） 假设全都是鸡：兔子数＝（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差． 除此之外，还可以设兔子或者鸡的个数是，然后用解方程的方法来进行求解 经典例题 例1：鸡、兔同笼头共20个，脚共62只，求鸡与兔各有多少只 ？ 答：假设全是鸡，那么应该有20×2＝40（只）脚，但现在多出42-40＝22（只），每只兔子比每只鸡多2条腿，因此有兔子22÷2＝11（只），鸡20-11＝9（只） 变式训练： 1、 在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆．其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子．求汽车和摩托车各有多少辆？ 答：假设全是汽车，那么摩托车有（32×4-108）÷（4-3）＝20（辆），汽车有32-20＝12（辆）． 2、 全班46人去划船，共乘12只船，其中大船每只坐5人，小船每只坐3人，恰好全部坐完且不留空位置，求大船和小船各有多少只？ 答：假设全是大船，那么小船有（12×5-46）÷（5-3）＝7（只），小船有12-5＝5（只）． 例2：鸡与兔共有200只，鸡的脚比兔的脚少56只，问鸡与兔各多少只 ？ 答：设兔子有只，那么鸡有（200）只，兔子有4只脚，鸡有2×（200）＝400-2（只），所以4-400+2＝56， 解得76，那么鸡有124只，兔子有76只． 变式训练：1、鹤、龟同池，鹤比龟多12只，鹤和龟足共72只，求鹤 、龟各有多少只？ 答：鹤有20只，龟有8只．