七年级同步第9讲：乘法公式（二）-教师版.docx

七年级暑假班 乘法公式（二） ） 内容分析 平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也是后继知识因式分解，分式等的基础，对整个知识体系也起到了承上启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位．两个公式都可以由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想．它在本章中起着举足轻重的作用，是前面知识的继承和发展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依据，起着承前起后的作用． 知识结构 知识精讲 1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）、可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 3、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．．． 4、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 一、选择题 1. 下列可以用平方差公式计算的是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】B 【解析】B选项可以变形为． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号． 2. 若，括号内应填代数式（ ）． A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意符号． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】A选项应为：；B选项应为：； D选项应为：． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用． 4. 的运算结果是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用． 5. 计算的结果是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】解析如下： ． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意指数的变化． 6. 下列各式计算正确的是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】． 【总结】本题主要考查平方下的符号变化． 7. 等于（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用，注意系数和指数的变化． 8. 如果，那么M等于（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意合并同类项． 9. 运算结果为的是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式的逆用． 10. 已知是一个完全平方式，则等于（ ）． A．8 B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】理由如下：． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，注意一个正数的平方根有两个． 11. 代数式可化为形式，其中为常数，则的值为（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】因为，所以，所以． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用． 12. 如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为． 【总结】面积割补法转换和公式转换之间的联系． 13. 如果，，是三边的长，且，那是（ ） A．等边三角形． B．直角三角形． C．钝角三角形． D．形状不确定． 【难度】★★★ 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以． 即．所以．即是等边三角形． 【总结】本题主要考查完全平方公式的逆运用，如何配成完全平方． 二、填空题 14. 填空：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】 【总结】本题主要考查平方差公式的运用． 15. 如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】左图的计算方式为；右图的计算方式为． 【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式． 16. 计算：___________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 ． 【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用． 17. 如果，那么的值是________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】因为，所以． 即，所以，所以． 【总结】本题主要考查完全平方公式和平方差公式的综合运用． 18. 计算：． 【难度】★★ 【答案】1 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用． 19. 计算：的值是___________． 【难度】★★ 【答案】-5050． 【解析】解：原式 ． 【总结】本题主要考查平方差公式的综合运用． 20. 已知，那么___________． 【难度】★★ 【答案】±4 【解析】因为，所以，所以． 【总结】本题主要考查平方差公式与待定系数法． 21. 已知，，则的值是___________． 【难度】★★ 【答案】-66． 【解析】． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力． 22. 已知，求___________． 【难度】★★ 【答案】2 【解析】∵，∴，即． ∴． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力． 23. 已知，，则___________． 【难度】★★ 【答案】50 【解析】∵，∴， ∴． 【总结】本题主要考查对完全平方公式的变形转换的能力． 24. 若，则__________；___________． 【难度】★★ 【答案】14；194． 【解析】；． 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累的变化方式． 25. 已知，则=___________． 【难度】★★ 【答案】24． 【解析】 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形转换的能力以及注意积累形如的变化方式． 26. 如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于、的恒等式___________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】割补法和面积公式． 【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式． 27. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值为___________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式与待定系数法． 28. 设，为有理数，且，设的最小值为，的最大值为，则___________． 【难度】★★★ 【答案】400． 【解析】∵，∴，若使最小， 则的值要最大． ∵，∴．∴． 即的最大值为100，所以，所以． 【总结】本题主要考查完全平方公式的变形以及最大值和最小值的确定． 三、简答题 29. 计算：； 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用． 30. 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用． 31. ． 【难度】★ 【答案】0 【解析】． 【总结】本题主要考查平方差公式的运用以及合并同类项． 32. 计算：（1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）；（2）． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用． 33. 计算：． 【难度】★ 【答案】． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用，此题也可减号两边一起展开，但计算量较大． 34. 计算：（1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2）． 【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用． 35. 简便计算：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）9996． 【解析】（1）； （2）． 【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用． 36. 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】原式 ． 【总结】本题主要考查平方差公式在实数运算中的运用以及添项使其变成平方差公式． 37. 计算：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2） ． 【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用． 38. 计算：（1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）； （2）． 【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用． 39. 计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】原式． 【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用． 40. 利用乘法公式计算：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用． 41. 计算：． 【难度】★★ 【答案】100． 【解析】． 【总结】本题主要考查完全平方公式在实数运算中的运用． 42. 解方程：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解方程的解． 43. 解不等式：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查如何利用乘法公式求解不等式． 44. 先化简，再求值：，其中． 【难度】★★ 【答案】13 【解析】原式． 当时，原式． 【总结】本题主要考查完全平方公式与平方差的综合运用以及合并同类项，注意先化简会 比直接展开简便． 45. 若是完全平方式，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由，可得 解得：． 【总结】本题主要考查完全平方公式的运用以及待定系数法． 46. 已知，，，比较三者大小． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】化简可得： ； ； ． 即得：． 【总结】本题主要考查如何利用平方差公式进行计算，解题时注意分数的化简． 47. 已知三个数满足方程，求． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】因为． 所以． 所以． 【总结】本题主要考查完全平方公式以及整体代入法的运用． 48. 已知，，为有理数且： 求：的值． 【难度】★★★ 【答案】1． 【解析】因为 所以． 即 ． 所以． 所以． 即． 所以，所以． 【总结】本题主要考查如何合理运用整式的乘法公式，进行适当的拆项便于整体计算． 四、解答题 49. 如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， 然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）图2中阴影部分的面积为______________________________； （2）观察图2，请你写出三个代数式、、之间的等量关系式： ______________________________； （3）根据（2）中的结论，若，则_______________． （4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图3，它表示了： ． 试画出一个几何图形，使它的面积能表示． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）如解析所示（图形不唯一）． 【解析】（1）利用割补法或直接面积公式；（2）； （3）因为，所以； （4）． 【总结】本题主要考查面积公式和割补法求面积的表达形式以及对乘法公式的举一反三． 50. 杨辉是我国南宋时著名的数学家，他发现了著名的三角系数表，它的其中一个作用是指导按规律写出形如（其中为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数． = （1）仔细观察右边的图和左边的式子，写出=___________________； （2）直接在横线上填数字：+____+____+____+____； （3）请根据你找到的规律写出下列式子的结果： ______________________________； ______________________________． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）4、6、4、1； （3）； ． 【解析】（1）； （2）； （3）利用杨辉三角往下继续写系数的值即得． 其中． 【总结】本题主要考查对于新定义的乘法公式的运用能力，结合前面所学的整式的计算． 19 / 19