六年级秋季班-第14讲：比和比例章节复习.docx

六年级同步 比和比例章节复习 内容分析 比和比例是六年级数学上学期第三章的内容．本章的学习的重点是理解比和百分比的有关概念和性质，以及百分比与小数、分数间的关系，同时了解生活中一些有关百分比的基本常识和等可能事件．难点是运用比和百分比的意义和性质解决日常生活中有关问题，并学会用百分比来看待问题． 知识精讲 基本内容 注意点 3.1 比的意义 1、比和比值的概念、联系与区别； 2、比、分数和除法三者之间的关系； 3、比值的计算． 3.2 比的基本性质 1、比的基本性质； 2、最简整数比的求法； 3、三连比的性质及求法． 3.3 比例 1、比例的相关概念； 2、比和比例的联系与区别； 3、比例的基本性质； 4、比例的应用． 3.4 百分比的意义 1、百分比的概念及意义； 2、百分数与分数、小数的互化． 3.5 百分比的应用 1、常见百分率的理解及应用； 2、增长率和下降率的理解及应用； 3、盈利率和亏损率的理解及应用； 4、利息和利率的理解及应用． 3.6 等可能事件 1、等可能事件的概念； 2、可能性大小的求法． 例题解析 【例1】 求比值： （1）______； （2）0.625 : 1.125 = ______； （3）1.15小时 : 1小时15分 = ______． 【难度】★ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）带分数化为假分数；（2）小数化为整数再约分；（3）单位统一． 【总结】注意比值和比的区别，比值是一个数． 【例2】 求最简整数比： （1）42 : 36 = ______； （2）0.75吨 : 400千克 = ______； （3）______； （4）= ______． 【难度】★ 【答案】（1）7:6； （2）15:8； （3）12:15:16； （14）175:16:120． 【解析】单位要统一，分数与小数相互转换． 【总结】考查学生比的化简及单位换算，注意三连比的化简方法． 【例3】 比的后项是，比值是，那么比的前项是______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】根据比的定义列式即可算出，前项：后项=比值． 【总结】考查学生对比的相关概念的认识及计算． 【例4】 已知x : 2y = 3 : 4，则x : y =______． 【难度】★ 【答案】3:2． 【解析】根据内项积等于外项积可得4x=6y，即可得出最终的比． 【总结】考查比的性质的灵活运用，注意结果要化成最简． 【例5】 选择适当的比组成比例：（ ） A．5 : 9 B．5 : 4 C．4 : 5 D．9:5 【难度】★ 【答案】B 【解析】可求出原比值为5:4． 【总结】考查比的概念，会求比值． 【例6】 4是9和______的比例中项． 【难度】★ 【答案】． 【解析】比例中项的平方等于内项乘外项的积． 【总结】考查比例中项的概念及其有关计算． 【例7】 若a、b、c的第三比例项为x，那么x =______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由题意， 可推出x =． 【总结】考查比例中第三比例项的概念． 【例8】 一段电线，原长17米，用去5.1米，剩下的电线长与原来电线长的比是______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 【总结】考查比在实际问题中的简单运用，注意结果化到最简． 【例9】 抛掷一枚骰子，偶数点朝上的可能性大小为______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】骰子总共六面，其中偶数有三面，所以． 【总结】考查比的简单运用． 【例10】 下列四个数不能组成比例的是（ ） A．2、6、4、12 B．、2、、3 C．0.2、、2.5、1.2 D．4.5、2.5、5、9 【难度】★★ 【答案】C 【解析】A、2：4 = 6：12， B、:2 = :3， D、4.5：9 = 2.5：5． 【总结】考查比例的概念． 【例11】 以下说法中正确的有（ ）个 ① 4米和2米的比值是2米； ② 0.5 :化简后的比是1； ③ 百分数都小于1； ④ 比的前项和后项同时乘以一个相同的数，比值不变； ⑤ 若a : b = 4 : 7，则a = 4，b = 7； ⑥ 若a : b = 5 : 8，则（a + 2）:（b + 2）= 7 : 10； ⑦ 若a、b、c、d成比例，则2a、b、2c、d也成比例． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【难度】★★ 【答案】B 【解析】①中比值是2，因为比值是一个数；③200%大于1；④同时乘一个不为零的数； ⑤a可能等于8，b可能等于14；⑥比没有这个性质，所以②⑦正确，故选B． 【总结】考查比的运算，比值的概念及比的性质． 【例12】 已知、、配上一个数能组成比例，那么这个数可能为____________． 【难度】★★ 【答案】或或． 【解析】设这个数为，则： ①由，解得：； ②由，得：； ③由，解得：． 故这个数可能是或或． 【总结】考查比例的概念，注意分类讨论． 【例13】 ． 【难度】★★ 【答案】0.5625． 【解析】原式=2.25×（27.4%+22.6%-25%）=2.25×25%=0.5625． 【总结】考查分数与小数的混合运算，注意巧算的运用． 【例14】 某校举行合唱比赛，已知参加比赛的学生人数的是不参加的学生人数的，那么参加合唱比赛的学生人数与全校学生人数之比是_______． 【难度】★★ 【答案】5:14． 【解析】设参加与不参加的人数分别为x、y，则，可推出， 所以参加合唱比赛的学生人数与全校学生人数之比是5:14． 【总结】考查比在实际问题中的运用． 【例15】 根据下列条件，求a : b : c． （1）如果，那么a : b : c =_____________； （2）如果，，那么a : b : c =_____________． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）由，得：；由，得：， 所以； （2）由题意得，，，所以． 【总结】考查三项比的化简． 【例16】 若，则______． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】设，则． 【总结】考查比的计算，利用设k法将问题变的简单，这也是一种常用的计算方法． 【例17】 火车从A地到B地，原来要5小时，现在只要4小时，速度提高了（ ） A．20% B．25% C．10% D．80% 【难度】★★ 【答案】B 【解析】设距离为“1”，则原来速度为，现在的速度为， 则速度提高了：，故选B． 【总结】本题中先表示出速度，然后再算提高的百分比． 【例18】 实际相距400千米的A、B两城市，在地图上的距离为8毫米，在这张地图上量得A、C两城市的距离为1.2厘米，则A、C两城市的实际距离为______千米． 【难度】★★ 【答案】600． 【解析】由1.2:0.8 = x：400，解得：x=600，即A、C两城市的实际距离为600千米． 【总结】考查比的应用，解决有关比例尺的问题． 【例19】 已知，求x的值． 【难度】★★ 【答案】2.5． 【解析】由题意得：10:3 = 2x:(x-1)，所以10（x-1）=6x，解得：x=2.5． 【总结】考查比的计算，相当于解方程． 【例20】 三角形三条高之比为2 : 3 : 4，对应的三边之比为____________． 【难度】★★ 【答案】6:4:3． 【解析】设三条高对应的边分别为x、y、z，则2x = 3y = 4z，可得：x : y : z=6:4:3． 【总结】本题主要是考查对等面积的理解及运用，将等积式转化为等比式． 【例21】 某商品先涨价25%，欲恢复原价，必须降价______%． 【难度】★★ 【答案】20%． 【解析】设原价为a，则涨价25%后，售价为：，因此要想恢复原价， 则须降价：． 【总结】本题中要注意涨价和降价的两个比较量是不同的，然后根据相应公式计算即可． 【例22】 小方将新年得到的压岁钱6000元存入银行，存期1年，年利率为2.5%，到期后需支付20%的利息税，那么一年后小方实际可取回______元． 【难度】★★ 【答案】6120元． 【解析】6000+6000×2.5%×1×（1-20%）=6120元． 【总结】考查利率问题在实际问题中的运用． 【例23】 三批货物共值152万元，第一、二、三批货物的重量比是2 : 4 : 3，每千克的价值比为6 : 5 : 2，则第二批货物的总价为______万元． 【难度】★★ 【答案】80万元． 【解析】三批货物的总价比为6:10:3，所以第二批货物总价为152×=80（万元）． 【总结】本题应先根据总量比和价值比先确定出总价比，然后再算出第二批货物的重量． 【例24】 一车间生产一批零件，上午生产40个，下午比上午多生产10%，全天的产量占这批零件总数的25%，这批零件还需要生产多少个？ 【难度】★★ 【答案】252个． 【解析】下午生产：40×（1+10%）=44个，则总数为：（40+44）÷25%=336个， 故还需要生产： 336-84=252个． 【总结】本题主要考查求一个数的百分之几是多少和已知一个数的百分之几是多少，求 这个数的综合运用． 【例25】 一批进口商品，价值126.8万元，其中40%的价额按照税率5%计算，其余按照税率8%计算，这批商品共应纳税多少元？ 【难度】★★ 【答案】86224元． 【解析】1268000×40%×5%+1268000×60%×8%=25360+60864=86224元． 【总结】考查税率的应用，注意本题中不同的税率对应的纳税金额也不同． 【例26】 苹果公司2014年第四季度的中国区销售额（单位万元）如图所示，（1）求十一月份的销售额增长率；（2）十二月份的销售额增长率比十一月份降低5个百分点，则十二月份的销售额是多少万元？ 【难度】★★ 【答案】（1）20% ； （2）2070万元． 【解析】（1）（1800-1500）÷1500=20% ； （2）1800×（1+20%-5%）=2070万元． 【总结】考查增长率的应用及与条形统计图相关的知识． 【例27】 盒子里有64粒除了颜色之外没有其他区别的扣子，其中36粒是蓝扣子，28粒是绿扣子，小智已经随机地取出了9粒扣子，其中6粒蓝扣子和3粒绿扣子．现在，他闭上眼睛在盒子里余下的扣子中再取出第10粒扣子，那么这时余下的每粒扣子被取到的可能性是多少？绿扣子被取到的可能性是多少？蓝扣子被取到的可能性是多少？ 【难度】★★ 【答案】，，． 【解析】64-9=55，每个扣子被取到的可能性为，绿扣子被取到的可能性为， 蓝扣子被取到的可能性为． 【总结】考查等可能性的应用，注意找出事件发生的总可能性． 【例28】 如图，四边形ABCD是梯形，E是AB的中点，甲、乙两部分的面积比为10 : 7，则梯形上底AD与下底BC的长度比为（ ） A B C D E 甲 乙 A．7 : 10 B．3 : 10 C．3 : 7 D．3 : 14 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】因为E是AB的中点，所以△CBE的面积等于△ACE的 面积，因为△CBE的面积：四边形ADCE的面积=7：10， 所以△CBE的面积：△ADC的面积 =7：3， 所以△ACB的面积：△ADC的面积=14：3， 又因为△ACB与△ADC的高相同，所以AD：BC=3：14，故选D． 【总结】考查常见图形面积的求法及转换的思想． 【例29】 某数学竞赛学校选拔考试，参加的男生与女生人数之比为4 : 3，结果录取91人，其中男生与女生人数之比为8 : 5，在未被录取的学生中，男生与女生人数之比为3 : 4，问：共有多少名学生参加了选拔考试？ 【难度】★★★ 【答案】119人． 【解析】设参加考试的男女人数分别为4x、3x，录取的男、女生人数分别为： 91×=56人、9156=35人，因为未被录取的学生中，男生与女生人数之比 为3 : 4，则(4x56):(3x35)=3:4，解得：x=17，所以共有（4+3）×17=119人． 【总结】本题综合性较强，一方面考查对比的理解，另一方面考查比例的基本性质． 【例30】 甲用1000元购买了一幅字画，随即他将这幅字画卖给了乙，获利10%，而后乙又将这幅字画返卖给了甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给他的价格的九折卖给了乙，请问甲在这场交易中赚了还是亏了？赚了或者亏了多少元？ 【难度】★★★ 【答案】赚了1元． 【解析】甲第一次卖给乙的价格为：1000×（1+10%）=1100元，第二次乙卖给甲的价 格为：1100×（110%）= 990，第三次甲卖给乙的价格为：990×90% = 891元， 1100+8911000990=1元，所以甲赚了1元． 【总结】本题中要理解清楚每次获利与亏损时的本金的区别，解题时注意相关公式的准确 运用． 【例31】 一段路分为上坡、平坡、下坡三段，各段路程之比依次为1 : 2 : 3，某人走各段路程所用的时间之比为4 : 5 : 6，已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长为50千米，问此人走完全程用了多少时间？ 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题意，可得：上坡的路程为千米，则上坡的时间为， 所以总时间为：小时． 【总结】本题主要是考查比的相关计算，注意认真分析题意． 【例32】 一只猎狗发现距它18米的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去．已知，猎狗跑2步的路程狐狸要跑3步，而猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，则猎狗跑多少米能追上狐狸？ 【难度】★★★ 【答案】270米． 【解析】猎狗与狐狸的速度比为（3×5）：（2×7）=15:14， 即狐狸的速度是猎狗速度的， 设猎狗追上狐狸时行了x米，则狐狸行了x米， 可得方程， 解得：x=270， 即猎狗跑270米能追上狐狸． 【总结】本题综合性较强，主要是算出猎狗与狐狸的速度之比． 甲 乙 【例33】 如图，圆与正方形的公共部分甲的面积占圆面积的，占正方形的，三角形与正方形的公共部分乙的面积占三角形的，占正方形的．求：（1）圆、正方形、三角形的面积比是多少？（2）若甲部分面积比乙部分面积少10厘米，求：圆、正方形、三角形的面积之和． 【难度】★★★ 【答案】（1）24:20:45； （2）890． 【解析】（1）设正方形的面积为20x， 则甲、乙的面积分别为4x、5x， 所以圆的面积为4x÷=24x，三角形的面积为5x÷=45x， 所以圆的面积：正方形的面积：三角形的面积； （2）由题意，得：，解得：， 所以圆、正方形、三角形的面积之和为：（24+20+45）×10=890． 【总结】本题中主要是根据题意舍出正方形的面积，从而算出圆与三角形的面积． 课后作业 【作业1】 若，则a与b的比是（ ） A．1 : 6 B．6 : 1 C．3 : 2 D．2 : 3 【难度】★ 【答案】B 【解析】等式两边同时乘以2，得：，所以． 【总结】考查等式的基本性质，以及等积式与等比式的互化． 【作业2】 将等式改写成比例式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】A． 【解析】两内项之积等于两外项之积． 【总结】考查比例的基本性质． 【作业3】 长江的长度约为6300千米，黄河的长度约为5460千米，黄浦江的长度约为113千米，请写出长江、黄河、黄浦江的长度的最简整数比是____________． 【难度】★★ 【答案】6300:5460:113． 【解析】6300:5460:113． 【总结】考查最简整数比的化简． 【作业4】 如果，，那么a : b : c = _____________． 【难度】★★ 【答案】4:12:27． 【解析】第一个式子内项乘外项得：，第二个式子内项乘外项，得：， 所以a : b : c = 4:12:27． 【总结】考查三连比的化简． 【作业5】 若，则x + y =______ 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由，可得：x=1，由，得：y=， 所以． 【总结】考查比例的基本性质的运用及其相关计算． 【作业6】 修建一栋大楼，实际投资880万元，比原计划节约了20%，则原计划投资______万元． 【难度】★★ 【答案】1100万元． 【解析】880÷（1-20%）=1100万元． 【总结】考查对实际比原计划解决百分之几的运用． 【作业7】 两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是1 : 2，另一个瓶子中酒精与水的体积比是4 : 1.若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积比是（ ） A．5 : 3 B．17 : 30 C．5 : 8 D．17 : 13 【难度】★★ 【答案】17:13． 【解析】设瓶子的容积为单位1，则第一个瓶子中酒精和水分别为，第二个瓶子中 酒精和水分别为，所以混合溶液中酒精：水=． 【总结】本题中注意先确定每一瓶的酒精量和水的量，从而求出最后的比． 【作业8】 已知甲校学生人数是乙校学生人数的40%，甲校女生人数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分之几？ 【难度】★★★ 【答案】50%． 【解析】设甲校总人数为a，则甲校女生人数为0.3a，乙校人数为2.5a，因为乙校男生 数是乙校学生数的42%，所以乙校男生人数为：，则乙校女生 人数为：，所以两校女生总数为，两校总人 数为3.5a，所以两校女生人数占总人数：． 【总结】本题主要考查求一个数的百分之几是多少的综合运用． 【作业9】 某车间有51名工人，本月接到加工两种轿车零件的生产任务，每个工人每天能加工甲种零件16个，或加工乙种零件21个，而一辆轿车只需要甲种零件5个和乙种零件3个，为了使每天能配套生产轿车的零件，问：应该如何安排工人？ 【难度】★★★ 【答案】35人生产甲种零件，16人生产乙种零件． 【解析】因为一辆车需要5个甲和3个乙配套，也就是说一辆车需要甲和乙的比例是5:3 设生产甲为x人，乙为y人，则x+y=51，且16x:21y=5:3， 解得：x=35，y=16． 【总结】本题主要考查按比例分配问题，注意认真审题，找出关键的比． 【作业10】 利民商店购进一批蚊香，然后按预期获得的纯利润和所需缴纳的税金，每袋加价40%作为定价出售，但当卖出这批蚊香的90%时，夏季即将过去，为加快资金周转，商店以定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出．这样，实际所得纯利润比预期获得的利润少了15%，按规定，不论按什么价钱出售，卖我这批蚊香必须上缴营业税360元（税金与买蚊香用的钱一起作为成本），利民商店购进这批蚊香用了多少元？ 【难度】★★★ 【答案】3000元． 【解析】设购进这批蚊香共有x元，那么纯利润为元．把进的总数看成单位 “1”，那么优惠销售的就占总数的，这一部分计划的售价为， 实际售价比计划售价少了，则根据题意，可得： 化简，得： 解得：． 答：利民商店购进这批蚊香用了3000元． 【总结】本题综合性较强，主要是考查对利润、打折等基本概念的理解及运用，解题时 注意认真分析，找出题目中的等量关系． 15 / 16