九年级同步第20讲：二次函数章节复习-教师版.docx

九年级同步 单元练习：二次函数 内容分析 二次函数是初中数学九年级上学期第三章的内容． 通过本章的学习，我们需要理解二次函数的概念，并学会利用描点法画出二次函数图像，重点在于掌握二次函数的图像性质，包括特殊的二次函数的图像性质和一般的二次函数的图像性质，理解并熟练其平移规律，从而能根据二次函数的解析式指出这个函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标等特征，并知道图像上升和下降的情况． 难点是根据题中的已知条件，灵活地运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能利用二次函数的知识解决相关的实际问题． 此外，经历对二次函数图像的画法及图像特征的研究过程，我们需要从中领略从特殊到一般的研究方法、分解与组合的研究策略以及图形运动、数形结合的数学思想． 知识结构 函数解析式 二次函数 函数定义域 图像的特征 概念 图像 选择题 【练习1】下列各式中，y是x的二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】根据二次函数的概念，形如的函数是二次函数，只有C符合，A不是整式，B是一次函数，D不是函数，故选C． 【总结】考查二次函数的概念，可与一元二次方程方程的概念关联起来：自变量最高次数为2、整式、二次项系数不为0，当然前提是式子本身是函数． 【练习2】下列函数中，是y关于x的二次函数的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧；⑨． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【难度】★ 【答案】B 【解析】根据二次函数的概念，形如的函数是二次函数，①③⑤⑨符合，其它均不符合，②④是一次函数，⑥⑧不是整式，需要注意⑦是函数，但题目未明确说明二次项系数是否为0 ，不能确定为二次函数，即只有4个是二次函数，故选B． 【总结】考查二次函数的概念，可与一元二次方程方程的概念关联起来：自变量最高次数为2、整式、二次项系数不为0，当然前提是式子本身是函数． 【练习3】抛物线（m，n是常数）的顶点坐标是（ ） A．（m，n） B．（，n） C．（m，） D．（，） 【难度】★ 【答案】B 【解析】根据二次函数的顶点式，可知答案为B． 【总结】考查二次函数的顶点式形式，其顶点坐标为． 【练习4】已知抛物线的顶点坐标是（1，），则b、c的值分别是（ ） A．b =，c = 1 B．b = 4，c = 1 C．b =，c = D．b = 4，c = 【难度】★ 【答案】B 【解析】二次函数对称轴所表示的值即为其顶点横坐标，根据二次函数顶点式，可得，解得，顶点在抛物线上，则有，解得，故选B． 【总结】考查二次函数顶点式，也可通过将二次函数化作顶点式代入求解． 【练习5】已知二次函数、、，它们的图像开口大小的顺序是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】对定义域内同一个非零值，易得恒成立，对应越小，开口越大，即对二次函数而言，越小，开口越大，可知题目答案为C． 【总结】考查二次函数二次项系数对开口大小的影响，二次项系数正负影响开口方向，影响开口大小，越小，开口越大． 【练习6】抛物线的顶点坐标为P（1，3），开口向下，若要使函数y随自变量x的增大而减小，则x的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】C 【解析】对二次函数而言，开口方向向下，对称轴右侧函数随自变量的增大而减小，故选C． 【总结】考查二次函数的增减性，由开口方向和对称轴共同决定． 【练习7】将抛物线向下平移2个单位得到的抛物线，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】根据平移原则，先得到，再平移即得． 【总结】考查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则． 【练习8】已知二次函数，则m的值为（ ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【难度】★★ 【答案】B 【解析】根据二次函数定义，可得，解得，故选B． 【总结】考查二次函数的定义，自变量最高次数为2，同时注意二次项系数不能为0． 【练习9】给出下列四个函数：①；②；③；④．当时，y随着x的增大而减小的函数个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★★ 【答案】C 【解析】即可确定函数所在象限，根据函数增减性知识，可知在每一个象限内，y随x值增大而减小的是①③④，故选C． 【总结】考查目前为止所学函数的增减性，一次函数增减性只与值正负相关，需要注意反比例函数有两支，每一个象限内有独立增减性，二次函数与其开口方向和对称轴相关，开口方向向上，对称轴左侧y随x值增大而减小． 【练习10】若抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【难度】★★ 【答案】A 【解析】函数过原点，可知，画出函数大致图像，函数过一、二、三象限，必有函数开口方向向下，且对称轴在原点左侧，由此可得，故，，故选A． 【总结】考查根据二次函数大致图像确定相关系数取值范围知识点，注意观察二次函数的相关特征量，开口方向、对称轴等． 【练习11】将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C 【解析】将化作顶点式，即为，根据二次函数的平移法则，平移后得到的函数解析式即为，整理成一般形式即为，故选C． 【总结】考查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则，前提是将二次函数化作顶点式，左右平移改变，上下平移改变． 【练习12】若抛物线经过点（2，0），则抛物线顶点到坐标原点的距离为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 【解析】函数过点（2，0），代入即得，解得，函数即为，化作顶点式为，其顶点坐标为，根据两点间距离公式即可求得顶点到原点距离为，故选A． 【总结】考查将二次函数一般式化作顶点式的方法，以及两点间距离公式． 【练习13】已知抛物线C：，将抛物线C平移得到抛物线．若两条抛物线C、关于直线x = 1对称，则下列平移方法中，正确的是（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移3个单位 C．向右平移5个单位 D．向右平移6个单位 【难度】★★ 【答案】C 【解析】将C：化作顶点式，即为，其对称轴即为直线，C、关于直线对称，则两个抛物线对称轴关于直线对称，即相应的对称轴应为直线，由变到，相当于向右平移5个单位，故选C． 【总结】考查二次函数的平移，以及函数图像关于直线对称，考虑相应的对称轴即可． 【练习14】函数与函数（）在同一坐标系中的大致图像是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【解析】由，可知二次函数图像开口方向向下，反比例函数图像在二、四象限，即可排除A、B选项，同时由二次函数解析式可求得二次函数对称轴为，即二次函数对称轴在原点左侧，可知C也错误，应选D．实际上，令，可求得方程两根分别为，，即可确定二次函数与轴的两个交点，即可排除A、B、C三项，故选D． 【总结】考查根据二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：开口方向、对称轴、与轴、轴交点，顶点，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围． 【练习15】如图，已知二次函数的图像，则下列结论：①a、b同号；②当 x = 1和x = 3时，函数值相等；③4a + b = 0；④当y = 时，x的值只能取2；⑤当 时，．其中正确的个数是（ ） x y O 2 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【难度】★★ 【答案】B 【解析】根据函数图像，可知二次函数开口方向向上，即有，同时函数对称轴为直线，即有，由此可得，对式子变形可得，①错误，④正确；根据二次函数的对称性，可知到对称轴距离相等的点关于对称轴对称，和到距离相等，②正确；同时函数顶点坐标为，这个点在函数对称轴上，可知时，只能取2，③正确；由函数图像可知时，，根据二次函数对称性可知时，，即在时，部分对应值大于0，⑤错误． 综上所述，可知②③④正确，①⑤错误，故选B． 【总结】考查二次函数图像的对称性，判断相关说法，根据图像特征得出结论． 【练习16】下列说法错误的是（ ） A．二次函数中，当时，y随x的增大而增大 B．二次函数中，当x = 1时，y有最大值 C．二次函数，a越大图像开口越小 D．抛物线（）的顶点一定是坐标原点 【难度】★★ 【答案】C 【解析】两个函数a值相反，开口大小相同，即二次函数开口大小与a的大小和正负都相关，准确来说，即越大，函数图像开口越小，C错误． 【总结】考查二次函数相关特征量，顶点以及函数增减性，以及开口大小． 【练习17】已知二次函数经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限），则直线不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【难度】★★★ 【答案】A 【解析】二次函数经过一、三、四象限，画出二次函数大致图像，易得函数开口方向向下，对称轴在原点右侧，同时与轴交点在原点下方，即有，解得，由此可得，，根据一次函数经过象限的特征，可知直线经过二、三、四象限，即函数不过第一象限，故选A． 【总结】考查二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：开口方向、对称轴、与轴、轴交点，顶点，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围，同时考查根据一次函数一次项系数和常数项与零的大小关系确定一次函数经过象限的知识． 【练习18】在小智的一次投篮中，若以地平面为x轴，以球的最高点所在的铅垂线为y轴，球的运动路线是抛物线的一部分，若篮圈的高度为3.05米，小智起跳出手时篮球聚地面2.25米，若小智的投篮想命中篮圈中心，则他与篮底的水平距离l是（ ） A．4.6米 B．4.5米 C．4米 D．3.5米 【难度】★★★ 【答案】C 【解析】令，解得，即篮圈中心与篮球最高点水平距离为，令，解得，即小智与篮球最高点水平距离为，由此可知小智与篮底的水平距离即为，故选C． 【总结】考查与二次函数结合的运动问题，看清题意，找准题目中的初始位置和末位置与最高点的相互关联即可解决问题． 【练习19】抛物线中，b = 4a，它的图像如图，有如下结论：①； ②；③；④；⑤；⑥，其中正确的为（ ） A．①② B．①④ C．①②⑥ D．①③⑤ x y O 【难度】★★★ 【答案】C 【解析】根据函数图像与轴交点在轴正半轴，可知①正确；同时根据函数图像，可知时，，即，，②正确，③错误；函数与轴有两个交点，即关于的方程有两个不相等的实数根，则，④错误；由，即得，根据函数开口方向向上，可知，则有，得，⑥正确；此时，⑤错误．综上所述，①②⑥正确，③④⑤错误，故选C． 【总结】考查二次函数相关特征判断图像大致形状，从以下几个角度出手：开口方向、对称轴、与轴、轴交点，顶点，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围． 【练习20】定义[a，b，c]为函数的特征数，下面给出的特征数为[2m，，]的函数的一些结论： ① 当时，函数图像的顶点坐标是（，）； ② 当时，函数图像截x轴所得的线段长度大于； ③ 当时，函数在时，y随x的增大而减小； ④ 当时，无论m取何值函数图像都会经过同一个点． 其中正确的结论是（ ） A．①、②、③、④ B．①、②、④ C．①、③、④ D．②、④ 【难度】★★★ 【答案】B 【解析】根据特征数的定义，函数解析式即为， ①当时，，化为顶点式即为，顶点坐标为，故①正确；②令，解得，，函数图像截轴所得线段长度即为，时，，②正确；③函数对称轴为直线：，时，，函数开口方向向下，在对称轴右侧随的增大而减小，的范围不一定在右边，故不能确定其增减性，③错误；④，可整理为，令，解得，，即函数恒过定点和，④正确；综上所述，故选B． 【总结】考查二次函数的相关特征量，把握好二次函数的性质即可进行求解解决问题，本题难度较大，注意要认真分析． 填空题 【练习21】抛物线是由抛物线先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到的． 【难度】★ 【答案】右，4，下，2． 【解析】水平方向由变到，相当于，即先向右平移4个单位，竖直方向由变到，相当于，即向下平移2个单位． 【总结】考查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则． 【练习22】把函数的图像沿x轴翻折，得到的图像的解析式是___________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】函数图像沿x轴翻折，其函数图像的形状，与x轴交点、函数图像对称轴都不发生变化，只有函数的开口方向和顶点纵坐标发生变化，则其二次项系数变为原函数二次项系数的相反数，顶点纵坐标也要关于x轴对称，即变为原纵坐标相反数，变化后的函数即为，整理成一般形式即为． 【总结】考查二次函数的翻折变化，主要体现在对称轴、顶点坐标、开口方向等相关特征量的变化，找准变化方向，即可进行准确解题，得出结论． 【练习23】二次函数的顶点坐标是____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】将二次函数整理成顶点式，即为，则其顶点坐标为． 【总结】考查二次函数的顶点式和顶点坐标的求法，也可直接采用公式法，但公式法记忆相对繁琐． 【练习24】如果函数的图像的顶点的横坐标为1，则a的值为______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． 【总结】二次函数顶点横坐标即为． 【练习25】函数的最______（填“小”或“大”）值是______． 【难度】★ 【答案】小，． 【解析】将化作顶点式，即为，由此可知函数有最小值． 【总结】考查二次函数的最值，根据开口方向判断，开口方向向上有最小值，开口方向向下有最大值，将解析式配方化作顶点式即可得其最值． 【练习26】把函数的图像向左平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的图像的解析式是_____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】先将配方化作顶点式，即为，根据平移法则，可知平移后解析式为，化作一般式即为． 【总结】查函数图像的平移，遵循“上加下减，左加右减”的原则． 【练习27】二次函数的最小值是，则b等于______． 【难度】★ 【答案】． 【解析】，，根据二次函数顶点坐标公式，即有，解得． 【总结】考查二次函数的最值，最值在其取对称轴所表示的值处取得，即为其顶点纵坐标，可直接由公式代值计算即可得出． 【练习28】若抛物线与x轴的一个交点为（m，0），则代数式的 值为_______． 【难度】★★ 【答案】2018． 【解析】抛物线与x轴的一个交点为（m，0），则有，可得， 故． 【总结】二次函数与x轴交点横坐标即二次函数对应的一元二次方程的解，可将二次函数与相应的一元二次方程关联起来，同时考查一元二次方程解的应用． 【练习29】已知抛物线的图像如图所示，则a的值是_______． x y 【难度】★★ 【答案】． O 【解析】由图像可知抛物线过原点（0，0），可得，解 得，同时函数图像开口向下，故，得． 【总结】考查根据二次函数图像确定相关字母取值题型，注意 观察二次函数的相关特征值，包括开口方向、对称轴等． 【练习30】已知二次函数的图像经过原点，则m的值为_________． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】二次函数过原点（0，0），可得，同时二次函数二次项系数必不能为0 ， 即，由此可得． 【总结】考查根据二次函数上的一点确定相关取值，注意二次函数二次项系数不能为0的隐含条件． 【练习31】如图所示，是二次函数的图像，则点P（a，bc）在第_____象限． x y O 【难度】★★ 【答案】三 【解析】根据二次函数图形可知函数开口方向向下，即有， 同时二次函数对称轴在原点左侧，即有，可得， 同时二次函数与轴交点在原点上方，可知，由此， 可知点P（a，bc）在第三象限． 【总结】考查根据二次函数大致图像确定相关字母系数的取值范围相关知识，只需要观察二次函数几个相关特征量即可． 【练习32】已知抛物线的部分图像如图所示，则图像再次与x轴相交时的 交点坐标是______． x y 1 O 【难度】★★ 【答案】（7，0）． 【解析】根据抛物线解析式可知抛物线对称轴为直线， 则抛物线与x轴两交点应关于直线对称，其中一个 交点坐标为（1，0），可知另一个交点坐标为（7，0）． 【总结】考查二次函数图像的对称性，二次函数图像关于其对称轴对称，与轴两交点也关于对称轴对称． 【练习33】二次函数，当x _____时，，且y随x的增大而减小． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】令，解得，，函数开口方向向下，由此可知在对称 轴右侧y随的增大x而减小，，可知x对应取值范围为． 【总结】考查二次函数的增减性，同时函数值的正负取决于函数图像在x轴上方还是下方即可确定． 【练习34】若抛物线的对称轴为直线x = 2，且经过点（1，4）和（5，0），则该抛物线的解析式为_________________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】抛物线对称轴为直线，且与x轴有一交点（5，0），可知二次函数与x轴另一 交点坐标为（，0），可设抛物线解析式为，抛物线过点（1，4）， 代入则有，解得，则，化作一般式即为 ． 【总结】考查二次函数解析式三种表示方法之间的关联，可利用相关知识进行简单转化，得出相应结论． 【练习35】若抛物线的顶点为A，与x轴的交点为B、C，则的面 积是__________． 【难度】★★ 【答案】81． 【解析】将抛物线化作顶点式，即为，可知， 令，解得，，即，，则， ． 【总结】考查二次函数特征量的综合应用，可用特殊点坐标求解相应形成图形面积． 【练习36】汽车刹车距离s（米）与速度v（千米/时）之间的函数关系式是，在 一辆车速为100千米/时的汽车前方80米处，发现停着一辆故障车，此时刹车______ （选填“会”或“不会”）有危险． 【难度】★★ 【答案】会． 【解析】根据刹车距离与速度之间函数关系式，可知时速时对应的刹车 距离为，，可知刹车会有危险． 【总结】考查二次函数的实际应用问题，把握题意，根据题意进行相关计算得出结论． x y O 2 1 【练习37】如图，是抛物线和一次函数的图像，观察图像写出 时，x的取值范围_______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】函数值较大，即对于同一个值而言，图像在上方 的即为较大，由此可知对二次函数和一次函数而言， ，即一次函数图象在二次函数上方，由此可知相 应的取值范围是． 【总结】本题主要考查“数形结合”的思想，函数值较大，即其对应函数图像在上方． 【练习38】函数中，当k ______ 时，图像是直线；当k ______ 时， 图像是抛物线；当k ______ 时，图像经过原点． 【难度】★★★ 【答案】或2或，，． 【解析】（1）函数图像是直线，即为一次函数或常值函数，由此可知 中项次数为1或0，即有或，解得或 或； （2）函数图像是抛物线，项次数为2，即有，解得； （3）图像过原点，则易得． 【总结】考查不定项函数，需要根据题意进行分类讨论，注意不要遗漏一些特殊情形，也要舍去一些不合题意的数值． 【练习39】二次函数图像的顶点为点A，且与一次函数的图像相交 于点B和点C，则的面积为______． 【难度】★★★ 【答案】3． 【解析】将抛物线化作顶点式，即为，可知，令 ，解得，，即，，设直线与直线 交于点，则可得，则， 所以． 【总结】求不规则图形的面积，采用“割补法”进行分割，分割成同底的两部分，且两部分的高之和是定值，即较易确定其面积计算公式，求最值即可． 【练习40】已知二次函数的图像的对称轴在y轴的右侧，且图像与y轴交于 点D（0，3），与x轴交于A、B两点，顶点为C，的面积为8，则二次函数的解 析式为_________________． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】二次函数过点D（0，3），可得，函数顶点为，面积为8， 即，令，得，，则 ，故，整理即得，由此可解 得，故，函数对称轴在轴右侧，则有，可得，故 ，则二次函数解析式为． 【总结】考查二次函数面积相关应用知识，只需用题目中的相关待求未知数把题目中的面积表示出来即可，再结合题目相关条件，即可进行求解确定最终结果． 解答题 【练习41】已知二次函数的顶点坐标为（3，），且其图像经过点（4，1），求此二次函 数的解析式． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设，函数过点（4，1），则有，解得，故二次函数解 析式为，整理成一般式即为． 【总结】考查二次函数的三种表示方法，一般式、顶点式、二根式，求解析式时根据题目所给条件设对应解析式的形式即可． 【练习42】已知一抛物线与x轴的交点为A（，0）、B（2，0），且过点C（1，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设，函数过点C（1，8），则有，解得， 故二次函数解析式为，整理成一般式即为； （2）将化作顶点式，即为，则抛物线顶点坐标为． 【总结】考查二次函数的三种表示方法，一般式、顶点式、二根式，求解析式时根据题目所给条件设对应解析式的形式即可，同时可将三种形式进行相互转化． A B O x y 1 1 2 2 【练习43】如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，将绕点O顺时 针旋转90°得到． A1 （1）在图中画出； （2）求经过A、A1、B1三点的抛物线的解析式． 【难度】★★ B1 【答案】（1）如图；（2）． 【解析】（1）略； （2）是由旋转得到的，由此可得，，即得， ，，设抛物线解析式为，抛物线过点，则有 ，解得，代入整理得抛物线解析式为． 【总结】考查二次函数的二根式求解相关函数解析式． 【练习44】已知二次函数的图像的对称轴是直线x = 2，且最高点在 直线上，求这个二次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】二次函数对称轴为直线x = 2，即有，整理即为，解得 或，二次函数有最高点，可知，由此可得，二次函数最 高点在其对称轴上取得，且最高点在直线上，由此可得二次函数最高点坐标 为，在二次函数上，即有，解得，代入 即得二次函数解析式为． 【总结】二次函数的最值在其对称轴上取得，同时根据题目中最大值、最小值即可确定函数的开口方向． 【练习45】已知抛物线与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）． （1）求b、c的值； （2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求的周长． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）抛物线与x轴只有一个交点，即为其顶点，由此可得，解得，且 有，解得； （2）抛物线解析式为，可知，根据两点间距离公式，可得， ，，故． 【总结】二次函数与x轴只有一个交点，则这个交点是这个二次函数的顶点． 【练习46】某商场以800元/套的价格购进西服1000套，已知每套售价为1000元时，可全 部售出．如果定价每提高1%，则销售量就下降0.5%，则如何定价可使获利最大（总利 润 = 总收入-总成本）？ 【难度】★★ 【答案】定价1500元时可使总获利最大． 【解析】西服定价每提高，则销量下降，即定价每提高元，销量下 降件，设西服定价为元，总利润为元，依题意则有 ，整理即为，化为顶点 式即为，时有最大值，即利润最大，即定价为1500 元时可使获利最大． 【总结】利润问题，根据题意找出其销量与定价之间的关系，即可将总利润表示为一个二次函数，在符合题意的定义域求其最大值即可，一般来说即为其顶点坐标． 【练习47】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面建一根石柱，石柱上 的A处安装一个圆形喷头向外喷水，连喷头在内，柱高为0.8米，如图建立平面直角坐 标系，在y轴右侧，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为 ． （1）求喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ O A B x y （2）水池的半径至少为多少，才能使喷出的水流都落在水池内？ 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）将化作顶点式， 即为，由此可知当时， 有最大值，即水流距水平面的最大高度是； （2）令，则，解得，，又，即可确定 ，即可确定水池半径至少为． 【总结】考查与二次函数结合的运动问题，看清题意，找准题目中的初始位置和末位置与最高点的相互关联即可解决问题，确定好二次函数相关特征量在实际问题中所表示的意义． 【练习48】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴的公共点 为点A（5，0），与y轴交于点B，C点在二次函数图像上，且横坐标为3． x y O A B C （1）求这个二次函数的解析式； （2）求的正切值． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）点A（5，0）在二次函数上， 即有，解得， 即二次函数解析式为； （2）易得，，由，连结，根据两点间距离公式， 可得，， ，则有，根据勾股定理逆定理，可知 ，由此可得． 【总结】考查二次函数综合应用中结合勾股定理和勾股定理逆定理知识的应用． 【练习49】如图，对称轴为直线x =的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角 线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； A B E F O x y （3）当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？ 【难度】★★★ 【答案】（1）抛物线解析式，顶点坐标；（2）；（3）时，是菱形；时，不是菱形． 【解析】（1）设抛物线解析式为，依题意则 有，解得，即抛物线解析式为，化为顶点式即，可知顶点坐标； （2） ，点在第四象限，可知，则，即，令，解得，，由此可知x取值范围是； （3） 令，解得，，时，，此时，即是菱形；时，，此时，，，即不是菱形． 【总结】考查二次函数的应用知识，充分利用数形结合的思想，将坐标转化为长度，简化解题过程，注意分类讨论思想． 【练习50】如图，已知抛物线与x轴交于A（，0）、B（2，0），与y轴 交于点C（0，）． （1）求此抛物线的函数解析式，写出它的对称轴； （2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使的周长最小，求点M的坐标； （3）若点P（0，k）为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD//CM交x轴交于点D，连接MD、MP．设的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？ x y A B C D O P M 【难度】★★★ 【答案】（1）抛物线解析式 ，对称轴是直线； （2） ； N （3），即中点 【解析】（1）可设抛物线解析式为 ，抛物线过点， 则有，解得，代入整理得 抛物线解析式为，对称轴 为直线； （2） 点关于直线的对称点坐标为，，可知、、在 同一直线上时周长最小，求得直线解析式为：，由此可得； （3） 可求得直线解析式为：，则解析式为：，则，设 直线与抛物线对称轴交点为，则，，则 ，由此可知当，即点 运动到中点时有最大值． 【总结】考查二次函数的综合应用，求周长用对称，求不规则图形的面积，采用“割补法”，将所求图形面积转化为等底且高之和为定值的两部分，可较易将其面积表示为二次函数，求最值即可．本题综合性较强，难度较大，要注意引导学生进行分析． 25 / 26