九年级秋季班-第11讲：圆的补充练习及正多边形与圆-张于.docx

九年级同步 圆的补充练习及正多边形与圆 内容分析 本讲一方面对前两讲的内容补充了一些练习，另一方面讲解了正多边形与圆的相关知识，重点是正多边形与圆的相关概念的理解，中心角和边心距的计算． 知识结构 模块一：圆的基本性质补充练习 知识精讲 1、 圆的相关概念 圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形． 圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作． 半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长． 圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧． 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 等弧：能够重合的两条弧称为等弧． 等圆：半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆． 2、 点与圆的位置关系 设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论： 点P在圆外d > R；点P在圆上d = R；点P在圆内． 3、 定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆 三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多 边形叫做这个圆的内接多边形． 4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心 距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等． 6、 垂径定理 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 7、 垂径定理的相关结论 （1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧． （2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧． （4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦． （5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立． 例题解析 【例1】 在平面直角坐标系内，的半径为5，圆心P的坐标为（1，2），分别判断点A（2，），B（，6），C（1，）与的位置关系． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 下列判断中，正确的是（ ） A．平分一条弦多对的弧的直线必垂直于这条弦 B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分 C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径 D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 如图，C是以AB为直径的半圆弧上一点，已知所对的圆心角为120°，BC的弦心距与直径AB的比为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C O 【例4】 如图，AB是直径，E是弦CD中点，若，则______，______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D O P 【例5】 如图，OA、OB是的两条半径，P是的中点，点C是OA的中点，点D是OB的中点． 求证：PC = PD． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例6】 如图，AB是的直径，CB是弦，于E，交于D，联结AC． A B C D E O （1）请写出两个正确结论； （2）若CB = 8，ED = 2，求的半径． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例7】 如图，的直径AB和弦CD相交于点E，若AE = 2厘米，BE = 6厘米，，求： （1）CD的长； O A B C D E （2）点C到AB的距离与点D到AB的距离之比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 O N M A B C D 【例8】 如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA = 3，AC = 2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N． （1）求线段OD的长； （2）若，求弦MN的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【例9】 如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 A B C O 【例10】 如图，某休闲公园有一圆形人工湖，湖中心O处有一喷泉．小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个观测点，在A处测得，在AB延长线上C处测得．若，，BC = 50米，求人工湖的半径． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块二：直线与圆、圆与圆的位置关系补充练习 知识精讲 1、 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交 如果的半径长为R，圆心O到直线l的距离为d，那么： 直线l与相交； 直线l与相切； 直线l与相离． 2、 切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3、 相关概念 圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线． 4、 圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 如果两圆的半径长分别为和，圆心距为d，那么： 两圆外离； 两圆外切； 两圆相交； 两圆内切； 两圆内含． 5、 相关定理 （1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． （2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点． 例题解析 【例11】 下列直线中，必为切线的是（ ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆的半径外端的直线 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例12】 正方形ABCD中，AB = 1，分别以A、C为圆心作两个半径为R、r（R > r）的圆，当与有两个交点，R、r满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例13】 已知两圆的半径分别为2和5，当两圆相切时，圆心距为______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例14】 的半径为6，的一条弦AB长为，以3为半径的同心圆与AB的关系是______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例15】 两圆有多种位置关系，如图中不存在的位置关系是______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例16】 设圆心O到直线l的距离为d，半径为R，当d、R是方程的两个根，则直线与圆的位置关系是______；当d、R是方程的两个根，且直线与圆相切，则m =______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例17】 已知A点为（0，3），的半径为1，点B在x轴上． （1）若B点为（4，0），半径为3，试判断与的位置关系； （2）若过点M（2，0），且与相切，求B点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 已知与相切，两圆的圆心距为9厘米，的半径为4厘米，求的半径． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例19】 如图，的直径为，的直径为，的直径为2，和外切，和外切，，求BC的长度及的正弦值． A B C 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例20】 如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，并且以10千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？并说明理由； （2）如果A市受这次台风的影响，那么受台风影响的时间有多长？ A B F 东 北 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D O P 【例21】 如图，，，AD交BC于P，作使其与AB相切．试问：以AB为直径作出的与是相交？是内切？还是内含？请作出判断并加以证明． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例22】 如图，已知，的半径为2，圆心O在射线BC上，与射线BA相交于E、F两点，． （1）求BO的长； A B C D E F G O （2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使得同时与和射线BA相切，求所有满足条件的的半径． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块三：正多边形与圆 知识精讲 1、 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 有n条边的正多边形（n是正整数，且）就称作正n边形． 2、 正n边形的对称性 正n边形是轴对称图形，对称轴的条数 = n． 当n为偶数时，正n边形是中心对称图形，对称中心是它的两条对称轴的交点． 3、 正多边形的外接圆和内切圆 任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，外接圆和内切圆的圆心都是这个正多边形的对称轴的交点． 正多边形外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 正多边形内切圆的半径长叫做正多边形的边心距． 正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角． 例题解析 【例23】 正十边形有______条对称轴，它不仅是______对称图形，还是______对称图形，它的中心角是______°． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例24】 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则的度数是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例25】 下列命题中，假命题是（ ） A．各边相等的圆内接多边形是正多边形 B．正多边形的任意两个角的平分线如果相交，则交点为正多边形的中心 C．正多边形的任意两条边的中垂线如果相交，则交点为正多边形的中心 D．一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例26】 如图，已知正六边形ABCDEF的半径为a，中心为O，求它的周长和面积． A B C D E F O 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例27】 正三角形的边心距、半径和高的比是_________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例28】 正多边形的面积是240平方厘米，周长是60厘米，则边心距是______厘米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例29】 如图，已知等边的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积． A B C D E F G O 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例30】 如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于点M． A B C D E （1）求证：四边形CDEM是菱形； （2）设，若AB = 4，求BE的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 【习题1】 两个等圆只有一个公共点，则这两圆的位置关系可以是（ ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 已知圆O的弦AB = 10，相应的弦心距OC = 3，则圆O的半径等于______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题3】 下列语句中，正确的个数是（ ） 直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则外接圆半径为； 已知两圆的直径为10厘米，6厘米，圆心距为16厘米，则两圆外切； 过三点可以确定一个圆； 两圆的公共弦垂直平分连心线． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题4】 一个正六边形和一个正三角形的周长相等，则它们的面积之比是______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题5】 在中，BC = 6，，，以A为圆心，当半径多长时所作的与BC相切、相交、相离． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O N M 【习题6】 如图，在中，弦AB、CD相交于E，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距． （1）如果OM = ON，求证：； （2）如果，求证：EO平分． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题7】 如图，P是的直径AB延长线上的一点，PC与分别相交于点E和点C，过点C作，交于点D，联结PD． （1）求证：PC = PD； （2）如果PE的长等于的半径OC，求证：． A B C D E O P 【难度】★★ 【答案】 【解析】 80厘米 20厘米 【习题8】 某小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80厘米，水面到管道顶部距离为20厘米．修理工应准备内直径为多少厘米的管道？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题9】 如图，已知和相交于A、B两点，若，，且，求AB的长． A B C 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 如图1，已知中，，BC = 5．过点A作，且AE = 15，连接BE交AC于点P． （1）求PA的长； （2）以点A为圆心，AP为半径作，试判断BE与是否相切，并说明理由； （3）如图2，过点C作，垂足为点D．以点A为圆心，r为半径作；以点C为圆心，R为半径作．若r和R的大小可变化，并且在变化过程中保持和相切，且使D点在的内部，B点在的外部，求r和R的变化范围． A B C D E P A B C E P 图1 图2 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 下列说法正确的是（ ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线经过圆心且平分弦所对的弧 D．半径都相等 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 正九边形的中心角等于______°． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 等边三角形的外接圆的面积是内切圆面积的______倍． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D E F O 【作业4】 如图，中，AB是直径，CD与AB交于点E，，，OF = 2厘米，ED = 3厘米，则CD =______厘米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 在中，若OA = OB = 2，的半径为1，当的度数在何范围内，直线AB与相切、相交、相离． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 O A B C D 【作业6】 如图，AB是的弦，点D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线与点C．求证：AD = DC． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F O 【作业7】 如图，已知的半径为5，弦AB的长等于8，于点D，DO的延长线与相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与相交于点F，．求：（1）CD的长；（2）EF的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业8】 如图，等腰内接于半径为5厘米的，AB = AC，．求： A B C O （1）BC的长； （2）AB边上高的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业9】 AB是的直径，点P在BA的延长线上，弦于点E，PC是切线，若OE : OA = 1 : 2，PA = 6，求： （1）的半径 （2）的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业10】 如图，已知AB = 2，AD = 4，，AD // BC．点E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点． （1）设BE = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； A B C D E M （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 17 / 18