九年级春季班第8讲：等腰三角形的存在性问题-学生版-张于.docx

中考复习 等腰三角形的存在性问题 内容分析 知识结构 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB = BC；（2）BC = CA；（3）CA = AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 模块一：以函数为背景的等腰三角形问题 知识精讲 1、 知识内容： 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种： （1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边； （2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边 （3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： ． 2、 解题思路： （1） 利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2） 根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3） 解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之． 例题解析 A B C D E 【例1】 如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y． （1）当D为BC的中点时，求CE的长； （2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果为等腰三角形，求x的值． y x O K A C H G D E B 【例2】 已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求证：GH = HK； （3）当是等腰三角形时，求m的值． 模块二：与圆有关的等腰三角形问题 知识精讲 1、 与圆有关知识内容： 在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有： （1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件； （2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形 2、 解题思路： 与模块一类似； （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）； （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 例题解析 【例3】 如图，在中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点． （1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写 出定义域； （2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径； A B C D E P Q （3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP 的长． 【例4】 如图，已知在中，，AB = 5，，P是BC边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D． （1）求AD的长； （2）设CP = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰 B C A P E Q D 三角形，求CP的长． 模块三：与角有关的等腰三角形问题 知识精讲 有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形． 例题解析 【例5】 如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，∠C＝30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE＝x，EF＝y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的 值； （3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线 AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数． A B C D E F A B C D E E’ M 图1 图2 随堂检测 【习题1】 已知：如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，∠BCD=90º， BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF//AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上． （1）求线段CF的长； （2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长． （图1） A C B D E F （图2） A C B D E F N M （备用图） A C B D E F A B C D E F G P 【习题2】 如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G． （1）当圆C经过点A时，求CP的长； （2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长； （3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长． 课后作业 【作业1】 如图，在中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒． （1）当t =____秒时，点P与点Q相遇； （2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？ A B C P Q 【作业2】 在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上． （1）如图1，已知OA = 5，AB = 6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE 的长； （2）已知OA = 5，AB = 6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且 是等腰三角形，求AF的长； （3）如果OD // AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值． O A B C A B C D E O 图1 图2 11 / 11