第19课齐次型微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程.doc

齐次型微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程 第 课 19 课题 齐次型微分方程、一阶线性微分方程、伯努利方程 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握齐次型微分方程的定义和解法。 （2）掌握一阶线性微分方程的定义和解法。 （3）了解伯努利方程的解法。 思政育人目标： 通过学习齐次型微分方程和一阶线性微分方程的相关知识，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点：齐次型微分方程和一阶线性微分方程的定义 教学难点：齐次型微分方程和一阶线性微分方程的解法 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解齐次型微分方程，并通过例题介绍其应用 定义2 一阶微分方程中，若能写成的函数，即 ， 则称 （5-13） 为齐次型微分方程，简称齐次方程． 齐次方程不是可分离变量的微分方程，通过变量代换，可变成关于新变量的可分离变量的微分方程．下面我们来讨论具体的解法． 令，则有，因此， ， 代入式（5-13）中得 ， 再分离变量可得 ， 两边积分，得 ． 求出积分后，再以代替，就可以得齐次方程（5-13）的通解． 例5 求微分方程的通解． 解 将方程整理后得 ， 这是一个齐次方程，令，则方程可化为 ， 分离变量后得 ， 积分得 ， 于是有 ， ， 代回原变量得原方程的解为 ． 当时，，即也是原方程的解．此解可从上述解中取得到．因此， (C为任意常数) 是原方程的通解． 例6 求方程通解． 解 将方程整理后得 ． 令，将代入上式，得 ， 即 ， 分离变量得 ， 积分得 ， 即 ． 将代入得 ， 即 ． n 【学生】掌握齐次型微分方程的解法 学习齐次型微分方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （20 min） n 【教师】讲解一阶线性微分方程，并通过例题介绍其应用 定义3 形如 （5-14） 的方程称为一阶线性微分方程（因为它对于未知函数及其导数是一次方程），其中，是的已知连续函数． 当时，式（5-14）称为一阶线性非齐次微分方程，称为自由项或非齐次项．当时，式（5-14）变为 ， （5-15） 称为对应于式（5-14）的一阶线性齐次微分方程． 下面讨论一阶线性微分方程的解法．通过本节例4可知一阶线性齐次微分方程即式（5-15）的通解为 ． （5-16） 显然，它不是线性非齐次方程即式（5-14）的解．这两个方程的区别在于式（5-14）的右端为自由项．因此，可以设想将齐次方程通解中的常数C换成的未知函数，即 ， （5-17） 则有可能为式（5-14）的解．将及其导数 代入式（5-14）中得 ， 化简得 ， 积分后得 ， 再代入式（5-17），便可得非齐次线性方程即式（5-14）的通解为 （5-18） 或 ． （5-19） 式（5-19）等号右端第一项恰好是齐次线性方程即式（5-15）的通解，第二项是非齐次方程即式（5-14）的一个特解（式（5-18）中令）．由此可知： 一阶线性非齐次微分方程的通解等于该方程的一个特解及与其对应的线性齐次微分方程的通解之和．这就是一阶线性非齐次微分方程通解的结构． 上面所采用的方法，即将齐次方程的通解中的任意常数项C换成的未知函数代入方程，求非齐次方程通解的方法，称为常数变易法．用常数变异法求解非齐次线性方程通解的步骤如下： （1）先求对应齐次方程的通解； （2）将齐次方程的通解中的常数C换成的未知函数，并把代入非齐次方程求出，然后写出非齐次方程的通解． 例7 求方程的通解． 解法一 常数变易法． 先求的通解，当时，分离变量得 ， 两边积分得 ， 其中为非零任意常数，化简得 ． 由于也是该方程的解，可由上式得到，所以齐次方程的通解就是 ， 其中为任意常数． 用常数变易法把常数换成得 ， 两边求导可得 ， 代入原方程得 ， 即 ， 两边积分得 ， 所以原方程的通解为 ． 解法二 公式法． 根据式（5-15），设，，代入式（5-18），有 ． 例8 求微分方程的通解． 解 该方程不是未知函数的线性方程，也不是我们前面介绍过的任何一种．但如果把自变量和因变量互相转换，把看作自变量，看作是关于的未知函数，则原方程可变型为 ， 即 ． 这是一个以为自变量、为未知函数的非齐次线性微分方程，可设，，代入式（5-18）得 ， 故原方程的通解为． n 【学生】掌握一阶线性微分方程的定义和解法 n 【教师】讲解伯努利方程，并通过例题介绍其应用 定义4 方程 （5-20） 称为伯努利（Bernoulli）方程．当或时，方程就是线性微分方程． 伯努利方程是非线性的，它与线性方程的区别就在于等式右端的自由项．在式（5-20）的两端同除以可得 ， （5-21） 可以看出，上式左端第一项与只差一个常数因子，因此，设，则有 ， 将式（5-21）两端同时乘以，再通过上述变量代换便得到线性方程 ， 求出该方程的通解后，以代便可得到伯努利方程的通解． 例9 求方程的通解． 解 该方程是伯努利方程，等式两边同时除以得 ． 令，那么 ， 则上式可化为 ． 设，，代入式（5-18）求得 ， 故原方程的解为 或 (，为任意常数)． 显然，也是原方程的解，所以原方程的解为 或 (为任意常数)． n 【学生】了解伯努利方程 学习一阶线性微分方程和伯努利方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论 （10 min） n 【教师】组织学生讨论以下问题 1．一阶线性齐次微分方程与齐次方程是否相同？ 2．一阶线性非齐次微分方程有哪些解法？ *3．伯努利方程和线性非齐次微分方程有何区别？ n 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了齐次型微分方程和一阶线性微分方程的相关知识及其应用，了解了伯努利方程。课后大家要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题5.2 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课发现部分学生缺乏练习，无法将所学知识很好地应用到题目中。在今后的教学中应更加注重课堂练习环节的作用，将其与平时成绩紧密结合，让学生自主参与，消除学生的惰性，培养学生良好的学习习惯。 11 目 录