11---计数问题-南翔校区-王少峰（学生版）-金桥审核.docx

专业 引领 共成长 计数问题 模块一： 容斥原理 知识精讲 容斥原理是解决两个或多个不同集合相交后数量的问题 1、二元容斥原理：。 用文字叙述：A或B的数量=A的数量+B的数量既是A又是B的数量 2、三元容斥原理： 用文字叙述：A或B或C的数量=A的数量+B的数量+C的数量－既是A的数量又是B的数量－既是B又是C数量－既是A又是C的数量＋既是A又是B又是C的数量。 经典例题 3、学会画出图形来表示两个或者三个对象之间的关系，利用田字格方块图来表示两个对象的容斥原理，掌握对应数在图形中的特定位置，利用三圆环交叉画来理解三个对象的容斥原理。 【例1】一个班有学生42人，参加体育代表队的有30人，参加文艺队代表队的有25人，并且每一个都至少参加一个队，这个班两队都参加的有多少人？ 【例2】李老师出了两道题，全班40人，第一题有30人对，第二题有12人未做对，两题都做对的有20人， （1）第二题对第一题不对的有几个人？ （2）两题都不对的有几个人？ 【例3】在1，2，3……，1998这1998个数中，即不能被8整，又不能被12整除的数共有多少个？ 【例4】如图，A、B、C分别表示面积为16、18、22平分厘米的三张不同形状的纸片，把它们部分重叠在一起后，覆盖的面积为36平方厘米，已知A与B，B与C，C与A的公共部分面积分别是6、10、8平方厘米，求A、B、C的公共部分面积是多少。（阴影部分） 【例5】分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和。 随堂检测 【习题1】六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 人. 【习题2】有40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会击剑，有10人击剑、摔跤都不会，问既会摔跤又会击剑的有__________人. 【习题3】如图所示，两个长方形A和B的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C的面积为4平方厘米，这两个长方形盖住桌面的面积是多少？ 【习题4】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，能教英、法、日语的只有2人。只能教法语的教师有多少人？ 【习题5】50名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左到右顺序报数：1，2，……50，报完后，老师让所报数是4的倍数的同学向后转，接着又让所的数是6的倍数的同学向后转，问现在仍然向老师的有多少名同学？ 【习题6】如图，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们叠放在一起露在外面的总面积为38。若A与B、B与C、C与A的公共部分的面积分别为8、7、6，求A、B、C三张纸片的公共部分的面积（图中阴影部分）。 【习题7】如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9 平方厘米。求阴影部分的面积。 【习题8】把1~200这200个自然数中，既不是3的倍数又不是5的倍数的数排成一排，其中第97个数是多少？ 模块二： 抽屉原理 知识精讲 三个苹果放进两个抽屉，总有某个抽屉中的苹果数不止一个，这个结论很明显的，但这当中却蕴含着一个有趣的数学现象，这个现象称为抽屉原理。 原理Ⅰ 将n+1个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。 原理Ⅱ 将mn+1个苹果放入n个抽屉中，则必有一个抽屉中至少有m+1个苹果。 在第二种形式中，如果m =1，就是第一种形式，也就是说（Ⅰ）包括在（Ⅱ）中。 抽屉原理是一种特殊的思维方法，我们可以根据它来做出许多有趣的推理和判断。在利用抽屉原理进行判断时，要注意把握“苹果”和“抽屉”的个数，往往要从“最不利的情况”来考虑，思考问题的角度较为独特，因此，常常可以利用它来解决一些较为复杂的问题。 经典例题 例题解析 【例1】五（1）班有43名同学，班上的“图书角”至少要准备多少本课外书，才能保证有一个同学可以同时借两本书？ 【例2】停车场上有40辆客车，各种座位数不同，最少的有26座，最多的有44座，那么 在这些客车中，至少有几辆的座位数是相同的？ 【例3】篮子里有苹果、梨、桃和橘子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少 有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？ 【例4】体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让11名同学往操场拿球，每人最 多拿两个。试证明：至少有2个同学拿球的情况完全一样。 【例5】育英小学六年级的同学要从10名候选人中投票选举三好学生，规定每位同学必须 从这10人中任选2名，问：至少有多少人参加投票，才能保证必有不少于5个同学投了相 同两个候选人的票？ 【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 【例7】某班组织全班45人进行体育比赛，项目有A、B、C三项，规定每人至少要参加一 项，最多参加两项，问：至少有几个人参加的项目完全相同？ 【例8】从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定： （1）有2个数互质； （2）有2个数的差为50； （3）有8个数，它们的最大公约数大于1。 随堂检测 【习题1】在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的，试说明：他们中至少 有2个人是在同一天出生的。 【习题2】有210名同学参加数学竞赛，能否保证有18名或18名以上的同学在同一个月出 生？为什么？ 【习题3】一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有三张牌的花色情况是相同的？ 【习题4】一副扑克牌（去掉两张王牌），最少摸出几张，才能保证有六张牌的花色情况是相同的？ 【习题5】学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两 个（可以不参加）。问：至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习 班的情况完全相同？ 【习题6】学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本，那么， 至少几个学生中一定有两人所借的图书属于同一种？ 【习题7】口袋里放有足够多的红、白、蓝三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球， 每人各取三个球。证明：至少有4个人取出的球的颜色完全相同。 【习题8】有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请你 证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【习题9】有一批红、黄、蓝三种颜色的信号旗，任意取出三面排成一行表示各种信号。那 么，在500个信号中至少有多少个信号完全相同？ 【习题10】库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。问：在61个搬运 者中至少有几个搬运的球完全相同？ 【习题11】证明：在任取的5个自然数中，必有3个数，它们的和是3的倍数。 【习题12】证明：任取10个自然数，必有两个数的差是9的倍数。 模块三： 加乘原理 知识精讲 加法原理：做一件事，完成它可以有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，这就是加法原理。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： 例题解析 种不同的方法，这就是乘法原理。 【例1】学校四年级有2个班，各班分别有男生18人、20人，从中任选一人当旗手，有多少种选法？若每班各选一人有多少种选法？ 【例2】学校文艺小组有9名男生，8名女生，那么 （1）从中任选一名女生当领唱，有多少种选法？ （2）从中任选一名学生当领唱，有多少种选法？ （3）从中任选一名男生、一名女生当领唱，有多少种选法？ 【例3】从甲地到乙地，每天有2班轮船，4班火车，6班汽车，那么这一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种走法？ 【例4】从A到D可以经过B也可以经过C，已知A到B有三条路，B到D有2条路，那么从A到D有几种走法？ 【例5】如图，其中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过，问：这只甲虫最多有几种不同走法？ 【例6】在A、B、C、D 4个城市中间，有如图所示的一些道路，由A市通向D市的路线有多少条？（不准由C市回到B市）。 【例7】如图，甲乙两人在方格中各放一枚不同的棋子。要求两枚棋子不在同一行，也不在同一列，共有多少种放法？ 【例8】沿着下图的实线走，从A点到B点的最短线路共有几种？ 【例9】用数码0、1、2、3、4可以组成多少个 （1）三位数； （2）没有重复数字的三位数； （3）没有重复数字的三位偶数； （4）小于1000的自然数。 【例10】如下图，分别用四种颜色中的一种对图中的A、B、C、D、E五个区域染色。要求相邻的区域染不同的颜色，问共有多少种不同的染色方法？ 随堂检测 【习题1】题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张小试卷，问该题库共可组成这样的小试卷多少张？ 【习题2】在一个圆周上有十个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条或多少个不同的线段？ 【习题3】书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书。 （l）从中任取一本，有多少种不同取法？ （2）从中任取一本数学书与语文书，有多少种不同取法？ 【习题4】一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次就能配好全部的钥匙和锁？ 【习题5】用一张10元、一张5元、一张2元、一张1元，可组成多少种不同的币值？ 【习题6】把下图4个正三角形板，各涂上红、蓝、白、黑四色，其方法共有几种？ 【习题7】某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、二面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号？ 【习题8】（1）有五本不同的书，分别借给了3名同学，每人借一本，有多少种不同借法？（2）有三本不同的书，5名同学来借，每人最多借一本，借完为止，有多少种不同借法？ 【习题9】两个学校进行围棋比赛，双方各出5名男队员和3名女队员，每一方的一名队员都要和另一方的每一个队员进行一场比赛，一共要进行多少场比赛？若每一方的男队员和另一方的男队员都比一场，每一方的女队员和另一方的女队员都赛一场，而男女队员之间不比赛，一共要比赛多少场？ 【习题10】王芳有六件不同上衣，九条不同裤子，八双不同皮鞋，她能有多少种不同的装束？ 【习题11】某校六年级学生毕业时，30名同学相互赠送各自的照片一张留作纪念，请你统计一下全班共要赠送多少张照片？ 【习题12】某市电话号码自2004年1月1日起由7位升至8位，假设电话号码首位不能为0，其余每一位的数码可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任一数字，而且不同的数字可以重复使用，那么这座城市这次扩容，可以增加了多少个电话号码？ 【习题13】5名毕业班的同学互赠照片留念，他们一共交换了多少张照片？ 【习题14】由数字2、4、6、8可以组成多少个没有重复数字的数 【习题15】正方形上有5个点A、B、C、D、E，以其中任意3个点为顶点，可以组成多少个不同的三角形？ 【习题16】甲袋有5张不同的红色卡片，乙袋有4张不同的白色卡片，丙袋有3张不同的黑色卡片； （1）从这三个袋子中任取一张卡片有多少种取法？ （2）任取红、白、黑色卡片各一张，共有多少种取法？ 【习题17】如图在4×4的小方格中共有多少个正方形？ 课后作业 1、面积为1平方米的正方形桌面上放着两本书A和B，A和B的面积分别为294平方厘米、 234平方厘米，两本书重叠部分的面积为100平方厘米。求桌面没被两本书盖住的面积。 2、四年级一班有48人，其中会游泳的有21人，会滑冰的有12人，既会游泳又会滑冰的有6人，问两样都不会的有几人？ 3、一个班有学生45人，参加数学兴趣小组的有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个小组。这个班两组都参加的有多少人？ 4、某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生；参加语文竞赛的有120名女生，80名男 生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么只参 加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？ 5、在一次检测中，某班数学得A的有17人，语文得A的有13人，语文、数学都得A的有7人，那么语文、数学中至少有一科得A的有多少人？全班45人中两科都不得A的有多少人？ 6、在1~100的自然数中，是5的倍数或3的倍数的数有几个？ 7、如下图所示，A、B、C分别代表12、13、17平方厘米的三张不同形状的纸片，并且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别为5、4、6平方厘米，A、B、C三个图形公共部分面积是2平方厘米，求它们重叠在一起盖住的面积是多少平方厘米。 8、幼儿园大班有25名小朋友，老师给他们分80颗糖，试说明至少有一名小朋友分到了不 少于4颗糖。 9、小红家来了5位客人，她拿出糖果来招待他们。要保证有的客人能吃到6颗糖，她至少 要准备多少颗糖？ 10、光明小学每天共有560人在学校吃中餐。某天中午，学校食堂共准备了4个荤菜、3个素菜和2种汤，每个同学都打了一个荤菜、一个素菜和一个汤。问至少有多少个同学吃的菜是一样的？ 11、六（2）班共有52人。在某次数学考试中，最高分是100分，最低分是79分，且成绩都是整数分，问最少有几个同学的分数是相同的？ 12、某希望小学五年级举行春游活动，共有130名学生参加，租用了3辆载客量为45人的大客车前往目的地。其中有一辆车至少要坐多少名同学？ 13、试证明：任取6个正整数，其中必有两数之差（大数减小数）为5的倍数。 14、一副扑克牌有54张，除去大、小王外还剩四种花色，每种花色各有13张，从中任意抽牌，问：至少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？ 15、从1、2、3、…、10这10个数中，任取6个数，说明：其中必有2个数，它们的和 是11. 16、把1、2、3、4、…、10这十个自然数按任意顺序排成一圈。求证：在这一圈中，一定有相邻的三个数之和不小于17。 17、求证：对于任意的8个不同自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得 （a-b）(c-d)(e-f)是105的倍数。（做减法时是用大数减小数） 18、某信号兵用红、蓝、绿三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂一面、两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 19、A队的李明、王华、张红与B队的王刚、刘胜、赵艳举行乒乓球友谊比赛。要求每个队员都要和对方的队员赛一场，采用“五局三胜制”，整个友谊赛至少要打多少局比赛？ 20、架上有4本不同的漫画书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不分开，一共有多少种排法？ 21、由数字0，2，4，8可以组成多少个四位数？ 22、由数字0，1，3，9可以组成多少个没有重复数字的数？ 23、某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停站点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？ 24、冷饮店里有果味雪糕5种，奶油雪糕3种，巧克力雪糕2种。小明想买果味雪糕、奶油雪糕、巧克力雪糕各一根，有多少种选法？ 16 / 16