选修1-2教案.doc

第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编　号 　1 　2 　3 　4 　5 　6 　7 　8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. （分析思路教师演示学生整理） 　第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③ 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备： 1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响. 2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课： 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和： （1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即. 残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即. （2）学习要领：①注意、、的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题： 例2 关于与有如下数据： 　　 　　2 　　4 　　5 　　6 　　8 　　 　　30 　　40 　　60 　　50 　　70 为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，试比较哪一个模型拟合的效果更好. 分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：，，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.） 3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏. 第三课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备： 1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立与之间的回归方程. 温度 　21 　23 　25 　27 　29 　32 　35 产卵数个 　7 　11 　21 　24 　66 　115 　325 （学生描述步骤，教师演示） 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=的周围（其中是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得，再令，则，而与间的关系如下： X 　21 　23 　25 　27 　29 　32 　35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 观察与的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得，与间的线性回归方程为，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习： 为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/个 6 12 25 49 95 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为.） 第四课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数和温度间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？ 441 529 625 729 841 1024 1225 7 11 21 24 66 115 325 2. 讨论：能用二次函数模型来拟合上述两个变量间的关系吗？（令，则，此时与间的关系如下： 观察与的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线来拟合与之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课： 1. 教学残差分析： ① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即. ② 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析. ③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2. 例3中的残差分析： 计算两种模型下的残差 一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好. 　　由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果） 3. 小结：残差分析的步骤、作用 三、巩固练习：练习：教材P13　第1题 第一课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量的含义. 教学过程： 一、复习准备： 回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤. 二、讲授新课： 1. 教学与列联表相关的概念： ① 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”. 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 　7775 　42 7817 吸　烟 　2099 　49 2148 总　计 　9874 　91 9965 ② 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为. 如吸烟与患肺癌的列联表： 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念： 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论） 3. 独立性检验的基本思想： ① 独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. ② 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似）： 　　　　反证法 　　　　　　　假设检验 要证明结论A 备择假设H 在A不成立的前提下进行推理 在H不成立的条件下，即H成立的条件下进行推理 推出矛盾，意味着结论A成立 推出有利于H成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味着H成立的可能性（可能性为（1－））很大 没有找到矛盾，不能对A下任何结论，即反证法不成功 推出有利于H成立的小概率事件不发生，接受原假设 ③ 上例的解决步骤 第一步：提出假设检验问题　　H：吸烟与患肺癌没有关系 H：吸烟与患肺癌有关系 第二步：选择检验的指标　　（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论 P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 第二课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二） 教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量的含义. 教学过程： 一、复习准备： 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课： 1. 教学例1： 例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ ① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论； 第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果； 第三步：由学生计算出的值； 第四步：解释结果的含义. ② 通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例2： 例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表： 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 　　总　计 　　　男 　　　37 　　　85 　　　122 　　　女 　　　35 　　　143 　　　178 　　总　计 　　　72 　　　228 　　　300 由表中数据计算得到的观察值. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？ （学生自练，教师总结） 强调：①使得成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确； ②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义； ③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习： 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？ 不健康 健　康 总计 不优秀 41 626 667 优　秀 37 296 333 总　计 78 922 1000 第二章 推理与证明 第一课时 2.1.1 合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii)观察等式：，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： ① 出示例题：已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列） ② 思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系） ③ 练习：已知 ，推测的表达式. 3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习： 1. 练习：教材P38 1、2题. 2. 作业：教材P44 习题A组 1、2、3题. 第二课时 2.1.1 合情推理（二） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：已知 ，考察下列式子：；；. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列的通项公式是 . 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. ② 类比练习： (i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？ (ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表） 小结：平面→空间，圆→球，线→面. ③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题： ① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格） 类比角度 实数的加法 实数的乘法 运算结果 若则 若则 运算律 逆运算 加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解 乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解 单位元 ② 出示例2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边； →3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和 3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. 三、巩固练习：1. 练习：教材P38 3题. 2. 探究：教材P35 例5 3.作业：P44 5、6题. 第三课时 2.1.2 演绎推理 教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。. 教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习： ① 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？ ②在平面内，若，则. 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若，则；或在空间中，若. 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？ 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入：① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ； ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； ③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 . （填空→讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？→课题：演绎推理） 二、讲授新课： 1. 教学概念： ① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。 要点：由一般到特殊的推理。 ② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？ 合情推理；演绎推理：由一般到特殊. ③ 提问：观察教材P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？ 所有的金属都导电 铜是金属 铜能导电 已知的一般原理 特殊情况 根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提 小前提 结论 “三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题： ① 出示例1：证明函数在上是增函数. 板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论. ② 出示例2：在锐角三角形ABC中，，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等. 分析：证明思路 →板演：证明过程 → 指出：大前题、小前题、结论. ③ 讨论：因为指数函数是增函数，是指数函数，则结论是什么？ （结论→指出：大前提、小前提 → 讨论：结论是否正确，为什么？） ④ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确） 3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.） 三、巩固练习：1. 练习：P42 2、3题 2. 探究：P42 阅读与思考 3.作业：P44 6题，B组1题. 第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 已知 “若，且，则”，试请此结论推广猜想. （答案：若，且，则 ） 2. 已知，，求证：. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点 ② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证. ④ 出示例2：在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列. 求证：为△ABC等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点. → 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. 练习： ② 为锐角，且，求证：. （提示：算） ② 已知 求证： 3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习： 1. 求证：对于任意角θ，. （教材P52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2. 的三个内角成等差数列，求证：. 3. 作业：教材P54 A组 1题. 第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题： ① 出示例1：求证. 讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式） → 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法 ② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，周长为l的正方形边长为，截面积为，问题只需证：> . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习： 1. 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：. 略证：正弦、余弦定理代入得：， 即证：，即：，即证：（成立）. 2. 作业：教材P52 练习 2、3题. 第三课时 2.2.2 反证法 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。 但 ∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： ① 练习：仿照以上方法，证明：如果a>b>0，那么 ② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： ① 出示例1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB、CD被P平分，∵P不是圆心，连结OP， 则由垂径定理：OP^AB，OP^CD，则过P有两条直线与OP垂直（矛盾），∴不被P平分. ② 出示例2：求证是无理数. （ 同上分析 → 板演证明，提示：有理数可表示为） 证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数）， 从而：，，可见m是3的倍数. 设m=3p（p是正整数），则 ，可见n 也是3的倍数. 这样，m, n就不是互质的正整数（矛盾）. ∴不可能，∴是无理数. ③ 练习：如果为无理数，求证是无理数. 提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材P54 1、2题 2. 作业：教材P54 A组3题. 第三章数系的扩充与复数的引入 第一课时 3.1.1 数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。 教学难点：复数及其相关概念的理解 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？ （让学生感受数系的发展与生活是密切相关的） 2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）： （1） （2） （3） （4） 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。 讨论：若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？ 实数与相乘、相加的结果应如何？ 二、讲授新课： 1. 教学复数的概念： ①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为（复数的代数形式），其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。 出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。 规定：，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。 ②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？ ③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。 ④ 数集的关系： 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？ 2.出示例题2： （引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论） 练习：已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。（讨论中，k取何值时是实数？） 小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习： 1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。 2．判断① 两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大。 ②　复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。 3若，则的值是？ 4．．已知是虚数单位，复数，当取何实数时，是： （1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4）零 作业：2、3题。 第二课时 3.1.2 复数的几何意义 教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学过程： 一、复习准备： 1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。 2．复数，当取何值时为实数、虚数、纯虚数？ 3. 若，试求的值，（呢？） 二、讲授新课： 1. 复数的几何意义： ① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。 ②复平面：以轴为实轴， 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。 复数与复平面内的点一一对应。 ③例1：在复平面内描出复数分别对应的点。 （先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标