九年级同步第1讲：相似形与比例线段.docx

九年级同步 相似形与比例线段 内容分析 放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础． 比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习． 知识结构 模块一：相似形的概念及性质 知识精讲 1、 相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、 相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 例题解析 【例1】 相似的图形，它们的形状________相同，它们的大小________相同．（选填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形． B A B C D A C 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 下列给出的图形中，不是相似形的是（ ） A．由同一张底片印出来大小不同的照片 B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D．五星红旗上的大五角星和小五角星 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】 下列说法不一定正确的是（ ） A．所有的等边三角形都相似 B．有一个角是的等腰三角形都相似 C．所有等腰直角三角形都相似 D．所有的直角三角形都相似 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】 下列各组中的两个图形一定相似的有（ ） （1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形； （5）两个矩形； （6）两个菱形； （7）两个正方形； （8）两个等腰梯形； （9）两个圆． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例6】 已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B E D C 【例7】 如图，和是相似形，顶点、、分别与点、、对应，已知，，，，，．求、的长和的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例8】 已知的三边长分别是、、，与其相似的的最大边长是，求的最小边长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例9】 已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中一边的长为，求乙三角形的另外两边的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例10】 如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式． N C B A D E H G F M 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块二：比例的性质 知识精讲 1、 比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、 比例的性质 （1） 基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2） 合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3） 等比性质： 如果，那么． 例题解析 【例11】 下列各组线段中，成比例的一组是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例12】 （1）求，，的第四比例项； （2）若，，的第四比例项是，求． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例13】 （1）是和的比例中项，则______； （2）是和的比例中项，则______； （3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例14】 （1）若，则______； （2）若，则 ______； （3）若，则______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例15】 （1）已知：，求的值； （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例16】 设线段、、满足，求、、的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例17】 设，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 若，求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例19】 已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块三：比例线段 知识精讲 1、 比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． A P B 例题解析 【例20】 在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地的实际距离是_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例21】 东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图的比例尺是（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例22】 （1）若，，则________； （2）若，，则________； （3）若，，则_______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例23】 小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为厘米，则它的宽约为__________．（精确到百分位） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例24】 如图，已知在四边形中，点、分别在、上，． 求证：（1）；（2）． A D E B F C 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例25】 如果和面积相等，且，那么边与边上的高的比为（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例26】 已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例27】 在中，点、分别在边、上，且，则______，若的周长为厘米，则的周长为______厘米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例28】 如图，在梯形中，//，对角线、相交于点． （1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？ （2）求证：． 【难度】★★ A B C D O 【答案】 【解析】 【例29】 如图，在中，，垂足为，是边上的一点，，垂足为，，求的值． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例30】 已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例31】 （1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例32】 如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长． 【难度】★★ A B C D 【答案】 【解析】 【例33】 如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，，求的长． A B C D N M 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例34】 如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． A B C D E F M P （1）求线段、的长； （2）求证：； （3）请指出图中的黄金分割点． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 【习题1】 对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（ ） A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变 B．图形中线段的长度与角的大小都会改变 C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变 D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 在下图中，画出四边形的相似四边形，使． 【难度】★ A B C D 【答案】 【解析】 【习题3】 已知：、、、是四条线段，它们的长度分别是，，，，它们是不是成比例线段？ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题4】 已知甲、乙两地之间的距离为千米，画在一张地图上的距离为厘米，那么在这张地图上量得的距离为厘米的、两地的实际距离为______千米． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题5】 已知点是边上一点，且与是相似形，点、、分别与点、、对应，，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题6】 若，则______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题7】 直线上顺次有四点、、、，且，则 ______； ______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题8】 点是线段的黄金分割点，求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 举出日常生活中相似的图形的实例． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 若，则 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 下列各组四边形中是相似多边形的是（ ） A．一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形 B．有一个内角为的两个菱形 C．边长分别为厘米和厘米的两个菱形 D．两个高相等的等腰梯形 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业4】 已知的三边长分别是4、5、6，与其相似的的最小边长是12，求的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 ，，，求线段、、的第四比例项． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业6】 舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走______米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业7】 若，求直线经过的象限． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业8】 已知、、是非零实数，且满足,求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 15 / 16