九年级同步第6讲：相似三角形的性质.docx

九年级同步 相似三角形的性质 内容分析 相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合． 知识结构 模块一：相似三角形性质定理1 知识精讲 1、 相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 例题解析 【例1】 已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，,的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】 求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例6】 如图，和中，AD和BE是的高，和是的高，且，． A B C D E A1 E1 D1 C1 B1 求证： 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例7】 如图，D是的边BC上的点，，BE是的角平分线，交AD于点F，，，求BF：BE． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G H K 【例8】 如图，在中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若，，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例9】 如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域． A B C E F G D H P 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例10】 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）． A B C D E F A B C D E F G 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块二：相似三角形性质定理2 知识精讲 1、 相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 例题解析 【例11】 若∽，与的相似比为1:2，则与的周长比为( ) （A）1:4 （B）1:2 （C）2:1 （D） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例12】 ∽，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例13】 已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且，，求BC和A1B1的长． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例14】 如果两个三角形的最长边分别为35厘米和14厘米，它们的周长相差60厘米，那么大三角形的周长是 ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例15】 如图，在中，，，，AD是BC边上的高．将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D P 【例16】 如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C P Q 【例17】 如图，在中，，，，点P在AC上（与点A、C不重合），点Q在BC上，PQ//AB．当的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 如图，等边三角形ABC边长是7厘米，点D、E分别在AB和AC上，且，将沿DE翻折，使点A落在BC上的点F上． A B C D E F （1）求证：∽； （2）求BF的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块三：相似三角形性质定理3 知识精讲 1、 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 例题解析 【例19】 （1）如果把一个三角形的三边的长扩大为原来的100倍，那么这个三角形的面积扩大为原来的 倍； （2）如果一个三角形保持形状不变但面积扩大为原来的100倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的 倍． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例20】 两个相似三角形的面积分别为5cm2和16cm2，则它们的对应角的平分线的比为（ ） （A） （B） （C） （D）以上都不对． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D E 【例21】 如图，点D、E分别在的边AB和AC上，DE//BC，，，．求的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D 【例22】 如图，在中，D是AB上一点，若，，，，求的面积． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D E 【例23】 如图，在中，点D、E在AB、AC上，DE//BC，和四边形BCED的面积相等，求AD:BD的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例24】 如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（ ） A B C D E F （A）1:3 （B）2:3 （C） （D） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例25】 如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例26】 如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DE，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例27】 如图，在矩形ABCD中，AB = 2cm，BC = 4cm，对角线AC与BD交于点O，点E在BC边上，DE于AC交于点F，．求： A B C D E F O （1）BE的长； （2）的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G 【例28】 如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【例29】 如图，在中，于点D，于点E，EC和BD相交于点O，联结DE．若，，求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例30】 如图，，于点F，，，且CE = 5，求：（1）BC的长；（2）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 【习题1】 已知∽，AD、分别是和的角平分线，且，，则 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 若一个三角形三边之比为，与它相似的三角形的最长边的长为21厘米，则其余两边长的和为 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题3】 两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们的对应角的平分线的比为（ ） （A） （B） （C） （D）以上都不对 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题4】 已知：D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点． 求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E N M 【习题5】 如图，DE是的中位线，N是DE的中点，CN的延长线交AB于点M，若= 24，求． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G H P 【习题6】 如图，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，AH是的高，BC = 60厘米，AH = 40厘米，求正方形DEFG的边长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题7】 如图，在中，点D在边BC上，DE//AB，DE交AC于点E，点F在边AB上，且． （1）求证：DF//AC； （2）如果BD:DC = 1:2，的面积为18cm2，求四边形AEDF的面积． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题8】 梯形ABCD的面积为S，AB//CD，AB = b，CD = a（a < b），对角线AC、BD相交于点O，的面积为，求a:b的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题9】 在锐角中，矩形DEFG的顶点D在AB边上，顶点E、F在BC边上，顶点G在AC边上．如果矩形DEFG的长为6，宽为4，求的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 如图，在中，，BC = 10，的面积为25，点D为AB边上任意一点（点D不与点A、B重合），过点D作DE//BC，交AC于点E．设DE = x，以DE为折线将翻折（使落在四边形DBCE所在的平面内），所得的与梯形DBCE重叠部分的面积记为y． A B C D E A’ （1）用x表示的面积； （2）求出时y与x的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 ∽且，，DE边上的中线长为10，则AB边上的中线长为 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 3 周长的比 面积的比 100 0.01 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形的面积为 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 A B C D O 【作业4】 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 如图，在中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，． （1）写出图中所有与相似的三角形（不必证明）； A B C D E （2）如果CD = 20cm，BC = 30cm，的面积为18cm2，求的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业6】 如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是腰AB上的一点，过点E作BC的平行线交CD于点F，已知AD = 2，BC = 6． （1）如果，试求EF的长； （2）如果，试求EF的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业7】 中，AB = 5，BC = 6，AC = 7，点D、E分别在边AB、AC上，且DE//BC． （1）如果的面积与梯形BCED的面积相同，求DE的长； （2）如果的周长与梯形BCED的周长相同，求DE的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【作业8】 如图，在中，，．若，，求的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业9】 如图，在等边中，点D、E分别在BC、AC上，BD = CE，AD与BE交于点F．如果AB = 12，BD = 4，求． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业10】 如图，梯形ABCD中，AD//BC，BC = 3AD，E是腰AB上的一点，连接CE． （1）如果，AB = CD，BE = 3AE，求的度数； A B C D E （2）设和四边形AECD的面积分别为S1和S2，且2S1 = 3S2，试求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 17 / 17