九年级秋季班-第17讲：一模复习之平面向量与相似三角形.docx

九年级同步 平面向量与相似三角形 内容分析 在九年级数学上学期第一章中，我们学习了相似三角形和平面向量的线性运算两个方面的内容，这两部分的知识点是一模考中的重点部分，除去填空题和选择题，在大部分区县的解答题中，相关分值大约在20分~30分，题型分布为1题关于向量的，1-2题关于相似三角形，位于解答题19题~23题之间，也是同学们必须要取得满分的题目．我们整理了近两年解答题中的相关题目，希望同学们勤加练习． 知识结构 模块一：平面向量 考点分析 平面向量主要考察向量加法、实数与向量相乘的有关规律，以及向量的线性运算和化简．难点是向量的线性表示． 例题解析 【例1】 （2015学年·杨浦区一模·第19题）如图，已知两个不平行的向量、． 先化简，再求作：． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例2】 （2015学年·闸北区一模·第21题）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC的中点，联结DE交AC于点G．设=，=． A B C D E O G （1）试用、表示向量； （2）试用、表示向量． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【例3】 （2014学年·长宁区一模·第20题）如图，已知O为内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且，．设，，试用，表示． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】 （2015学年·徐汇区一模·第21题）如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，，，，． （1）求的长； A B C D E （2）过点D作DF // AC交BC于F，设，=，求向量（用向量、表示）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例5】 （2015学年·普陀区一模·第19题）已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，，点M是边BC的中点，，． （1）填空： ， ．（结果用、表示） A B C D M （2）直接在图中画出向量．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例6】 （2015学年·崇明县一模·第20题）已知：如图，□ ABCD中，E是AD中点，BE交AC于点F，设、． （1）用，的线性组合表示； A B C D E F （2）先化简，再直接在图中求作该向量：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例7】 （2014学年·奉贤区一模·第21题）如图，在中，AB = AC = 12，DC = 4，过点C作CE // AB交BD的延长线于点E ，，． （1）求；（用向量、的式子表示） A B C D E （2）求作向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例8】 （2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第20题）如图，已知在中，AD是边BC上的中线．设，． （1）求（用向量、的式子表示）； A B C D E （2）如果点E在中线AD上，求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D P Q R 【例9】 （2015学年·闵行区一模·第21题）如图，已知四边形ABCD中，点P、Q、R分别是对角线AC、BD和边AB的中点，设，． （1）试用、的线性组合表示向量；（需写出必要的说理过程） （2）画出向量分别在、方向上的分向量． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 模块二：相似三角形 考点分析 相似三角形主要考察平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质，以及其综合应用．难点是灵活运用相关定理解决有关问题． 例题解析 A B C D E F G 【例10】 （2015学年·浦东新区一模·第21题）如图，梯形中，AD // BC，点是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，交AC于点G． （1）若，，求线段DC的长； （2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例11】 （2014学年·徐汇区一模·第22题）如图，MN经过的顶点A，MN // BC， AM = AN，MC交AB于D，NB交AC于E． （1）求证：DE // BC； A B C D E N M （2）联结DE，如果DE = 1，BC = 3，求MN的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例12】 （2014学年·虹口区一模·第21题）A B C E F G 1 2 如图，在中，点D在边AC上，AE分别交线段BD、边BC于点F、G，，． 求证：． D 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例13】 （2015学年·崇明县一模·第21题）如图，已知AD // BE // CF，它们依次交直线l1，l2于点A、B、C和点D、E、F，，． （1）求AB、BC的长； （2）如果，，求BE的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G H 【例14】 （2015学年·虹口区一模·第21题）如图，DC // EF // GH // AB，AB = 12，CD = 6，DE : EG : GA = 3 : 4 : 5．求EF和GH的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例15】 （2015学年·嘉定区一模·第20题）如图，已知中，，，边上的高，直角梯形的底在边上，，点、分别在边、上，且//，，垂足为，设的长为，直角梯形的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域． A B C D E F G N 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例16】 （2015学年·普陀区一模·第22题）如图，已知有一块面积等于1200的三角形铁片ABC，已知底边BC与底边上的高的和为100（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形铁片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、 AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长． A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C P 【例17】 （2014学年·金山区一模·第20题）如图，中，平分，． （1）求证：∽； （2）若，，求的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C P 【例18】 （2015学年·长宁区、金山区一模·第21题）已知中，，为内一点且，求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例19】 （2015学年·奉贤区一模·第23题）已知：在梯形ABCD中，AD // BC，，． （1）求证：∽； （2）联结EC，若，求证：． A B C D E 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E 【例20】 （2015学年·普陀区一模·第23题）已知：如图，在四边形中，，延长、相交于点，求证： （1）∽； （2）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E 【例21】 （2015学年·虹口区一模·第23题）如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，． （1）求证：； （2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例22】 （2015学年·徐汇区一模·第23题）如图，在中，，点在边上，，，且，与交于点． 求证：（1）；（2）． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例23】 （2015学年·静安区一模·第23题）已知：如图，在中，点D、E分别在边BC、AB上，BD = AD = AC，AD与CE相交于点F，． （1）求证：； （2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G 【例24】 （2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第23题）已知：如图，D是的边AB上一点，DE // BC，交边AC于点E，延长DE到点F，使得EF = DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【例25】 （2014学年·普陀区一模·第23题）如图，已知在中，，点D在边BC上，，，E、F分别是垂足． （1）求证：； （2）联结EF，求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G 【例26】 （2014学年·徐汇区一模·第23题）已知菱形ABCD中，AB = 8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F． （1）求证：； （2）如果，且，求cos F． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例27】 （2014学年·闸北区一模·第23题）如图，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC， AD = 1，BC = 3，AB = CD = 2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，． A B C D E F （1）求证：∽； （2）求的值； （3）求线段BF的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D 【例28】 （2015学年·宝山区一模·第23题）如图，D为边AB上一点， 且CD分为两个相似比为的一对相似三角形．（不妨如图假设左小右大） 求：（1）与的面积比；（2）的各内角度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C E F G 【例29】 （2014学年·虹口区一模·第23题）如图，在与中，，，AC与EF相交于点G，BC = 15，AC = 20． （1）求证：； （2）若AE = 7，求AF的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例30】 （2014学年·宝山区一模·第24题）如图，正方形ABCD中， （1）E为边BC的中点，AE的垂直平分线分别交AB、AE、CD于G、F、H，求的值； （2）E的位置改为边BC上一动点，且，其它条件不变， 求的值． A B C D E F G H 【难度】★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 A B C D E N M 【习题1】 （2014学年·宝山区一模·第20题）如图已知M、N分别是平行四边形ABCD边DC、BC的中点，射线AM和射线BC相交于E，设，，试用，表示，． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题2】 （2014学年·黄浦区一模·第19题）如图，已知两个不平行的向量、． （1）化简：； （2）求作，使得． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D O 【习题3】 （2014学年·普陀区一模·第20题）如图，已知//，与相交于点，且． （1）求的值； （2）如果，请用表示． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题4】 （2015学年·崇明县一模·第20题）已知，□ABCD中，点E在DC边上，且，AC与BE交于点F． A B C D E F （1）如果，，那么请用，来表示； （2）在原图中求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【习题5】 （2015学年·杨浦区一模·第21题）如图，梯形ABCD中，AD // BC，BC = 2AD，点E为边DC的中点，BE交AC于点F． 求：（1）AF : FC的值；（2）EF : BF的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【习题6】 （2015学年·黄浦区一模·第22题）如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且，． （1）求证：∽；（2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G P Q 【习题7】 （2014学年·长宁区一模·第22题）如图，在中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作于点E，过点Q作于点F．设AD = 80，BC = 120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正方形的边长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E G 【习题8】 （2014学年·黄浦区一模·第23题）已知：如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且，BE、CD交于点G． （1）求证：∽； （2）如果BE平分，求证：DE = CE． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F M 【习题9】 （2014学年·闵行区一模·第23题）如图，已知在中，AB = AC，点D为BC边的中点，点F在边AB上，点E在线段DF的延长线上，且，点M在线段DF上，且． （1）求证：； （2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C E F G 【习题10】 （2015学年·闸北区一模·第23题）如图，在中，AC = BC，，点E是斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），作交边BC于点F，联结AF、EC交于点G． （1）求证：∽； （2）若BE : EA = 1 : 2，求的余弦值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 （2014学年·长宁区、金山区一模·第19题）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果，求作并写出的模．（不要求写作法，但要指出所求作向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业2】 （2014学年·闸北区一模·第21题）如图，已知点E在平行四边形ABCD的边AD上，AE = 3ED，延长CE到点F，使得EF = CE，设=，=，试用、分别表示向量和． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D O 【作业3】 （2014学年·徐汇区一模·第20题）如图，在等腰梯形ABCD中，AD // BC，AB = DC，AC与BD交于点O，． （1）设，，试用、表示； （2）先化简，再求作：．（直接作在右图中） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业4】 （2015学年·奉贤区一模·第20题）A B C D E F 如图，已知AB // CD // EF，AB : CD : EF = 2 : 3 : 5，． （1） ；（用来表示） （2）求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业5】 （2015学年·黄浦区一模·第20题）如图7，已知中，点D、E分别在边AB和AC上，DE // BC，点F是DE延长线上的点，，联结FC，若，求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E O 【作业6】 （2015学年·嘉定区一模·第23题）已知，如图，已知与均为等腰三角形，BA = BC，DA = DE，如果点在边上，且，点为与的交点． （1）求证：∽； （2）求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F 【作业7】 （2015学年·浦东新区一模·第23题）如图，在中，D是BC边的中点，交AB于点E，AD = AC， EC交AD于点F． （1）求证：∽； （2）求证：FC = 3EF． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F G 【作业8】 （2015学年·杨浦区一模·第23题）已知：如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE // BC，点F在边AB上，，CF与DE相交于点G． （1）求证：； （2）当点E为AC中点时，求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业9】 （2014学年·崇明县一模·第23题）如图，在梯形ABCD中，AD // BC，，，E与F分别为边AD与DC上的两点，且有． A B C D E F （1）求证：； （2）当F为DC中点时，求的比值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业10】 （2015学年·崇明县一模·第23题）如图1，中，，，垂足为D． （1）求证：∽； 图1 A B C D A B C D 图2 E F G （2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作，垂足为F，AF交CD于点E． 求证：． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 19 / 19