九年级寒假班第5讲：长方体与三角形-教师版.docx

中考复习 长方体与三角形 知识结构 模块一：长方体的再认识 知识精讲 一、 长方体的元素及特征 1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱． 2、特征： （1）长方体的每个面都是长方形． （2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等． （3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同． 二、 长方体的直观图画法：斜二侧画法 水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤： 第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，．（如图1所示） 第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示） 第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示） 第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示） A B C D A B C D E F G H A B C D E F G H A B C D E F G H 图1 图2 图3 图4 图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等． 三、 长方体中棱与棱的位置关系 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交． 棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行． 棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面． 四、 长方体中棱与平面的位置关系 A B C D P Q A B C D P Q 图5 图6 如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD． 如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD． 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中： 棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象． 棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象． 五、 长方体中平面与平面的位置关系 如图7，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面． 如图8，平面平行于平面，记作平面//平面，读作平面平行于平面． 如图4所示的长方体ABCD-EFGH中： 面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象． 面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象． 例题解析 A B C D E F G H 【例1】 如图，已知长方体ABCD-EFGH． （1）哪些棱与AB平行？ （2）哪些棱与AB垂直？ （3）哪些棱与AB异面？ 【难度】★ 【答案】（1）棱EF、HG、DC与AB平行； （2）棱EA、FB、DA、CB与AB相交； （3）棱EH、GF、DH、CG与AB异面． 【解析】长方体中与一个棱平行的有3条，垂直的有4条，异面的有4条． 【总结】考查长方体中相关基本概念． 【例2】 如图，已知长方体ABCD-EFGH，与平面ADHE平行的平面是____________，与平面ADHE垂直的平面是____________． A B C D E F G H 【难度】★ 【答案】平面BCGF；平面ABFE、平面ABCD、平面DCGH、平面EFGH． 【解析】长方体中与任何一个面平行的面有1个，与任何一个面垂直的 有4个面． 【总结】考查长方体中平面间的关系． 【例3】 下列关于长方体的说法中正确的是（ ） A．长方体中互相平行的棱不一定相等 B．长方体中12条棱的位置关系只有平行和相交 C．长方体中相对的两个面一定平行 D．长方体中6个面的面积都相等 【难度】★ 【答案】C 【解析】A、互相平行的棱一定相等；B、还有异面；D、6个面不一定相等，当棱长都相等 时，六个面的面积都相等． 【总结】考查长方体的基本元素的认知． 【例4】 关于长方体有下列三个结论： 长方体中每个面都是长方形； 长方体中每两个面都互相垂直； 长方体中相对的两个面是全等的长方形． 其中结论错误的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【难度】★ 【答案】B 【解析】正确；‚对面互相平行，错误；ƒ正确． 【总结】考查长方体中每个面的特征及面与面之间的关系． A B C D E F G H 【例5】 如图，已知长方体ABCD-EFGH．这个长方体中与棱HE平行的平面是____________，与棱HE垂直的平面是____________． 【难度】★★ 【答案】平面ABCD、BCGF；平面ABFE、平面DCGH． 【解析】长方体中与任何一条棱平行的面有两个，与任何 一条棱垂直的面也有两个． 【总结】考查长方体中棱与面的位置关系． 【例6】 已知一个长方体的长、宽、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱长的和是72 cm，那么这个长方体的体积是______． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设长、宽、高分别为3x、2x、x，则， 解得：，∴长、宽、高分别为9、6、3， ∴体积为． 【总结】考查长方体的体积的计算． 模块二：相交线与平行线 知识精讲 一、 邻补角 1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．如图，与有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则与互为邻补角． A D O B 1 2 2、若与互为邻补角，则． 3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角． 二、 对顶角 1、对顶角的概念： 两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角．如图，与有一个公共顶点O，并且的两边OB、OC分别与的两边OA、OD互为反向延长线，则与互为对顶角． 3 4 A B C D O 2、对顶角相等． 三、 垂线 1、垂线的概念： 如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号： 记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”． 注：垂直是特殊的相交． 3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条． 简单地说：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直． 4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 5、点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离． 如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零． 四、 同位角、内错角、同旁内角 若直线a，b被直线l所截： （1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．如：和． a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．如：和． （3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．如和． 注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系． 五、 平行线 1、平行线的定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“//”表示． 2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 3、平行线的判定： （1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，同位角相等，两直线平行． （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单地说，内错角相等，两直线平行． （3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单地说，同旁内角互补，两直线平行． 4、平行线的性质： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； 简单地说：两直线平行，同位角相等． （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； 简单地说：两直线平行，内错角相等． （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； 简单地说：两直线平行，同旁内角互补相等． （4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离． 例题解析 【例7】 如图，的邻补角为______，的对顶角为______；在图中，找出一对同位角，可以是______和______，找出一对同旁内角，可以是______和______． 【难度】★ 【答案】∠CEA、∠BED；∠AED；∠CBE和∠FEA；∠CBE和∠FEB等． A B C D E F 【解析】同位角像字母F，同旁内角像字母U． 【总结】考查三线八角的基本概念． 【例8】 在同一平面中，如果直线，，那么直线a与c的位置关系是______；如果直线a // b，，那么直线b与c的位置关系是______． 【难度】★ 【答案】平行；垂直． 【解析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 【总结】考查同一平面内直线间的位置关系． 【例9】 如图，已知AB // CD，BF与CD相交于点E，如果，那么______． A B C D E F 【难度】★ 【答案】134°． 【解析】∵∠BEC=∠DEF=46°（对顶角相等） 又∵AB∥CD， ∴∠B=180°∠BEC=180°46°=134°． 【总结】考查平行线的性质及对顶角性质的综合运用． 【例10】 下列说法正确的是（ ） A．直线外一点到这条直线的距离是这点到这条直线的垂线段 B．同位角相等 C．如果两个角互补，那么这两个角是邻补角 D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【难度】★★ 【答案】D 【解析】A、直线外一点到这条直线的距离这点到这条直线的垂线段的长度，故错误； B、两直线平行，同位角相等，错误； C、邻补角不仅互补而且有公共边，错误； 故选D． 【总结】考查基本概念及直线间的位置关系． 【例11】 已知直线//，直线分别与直线、直线相交；点A在直线上，点B在直线上，点A、B在直线的同侧；点C在直线上，且点C不在与上．设直线AC与所夹的锐角为，直线BC与所夹的锐角为．试问、、之间有怎样的数量关系？证明你的结论． 图1 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）当点C在直线与之间时，如图1， 过点C作CE∥， 则， ， 又， 图2 ∴； （2）当点C不在直线与之间时． ①当点C接近时，如图2， 过点C作CE∥，则，， 又， ∴； ②当点C接近时， 同理可得：． 【总结】本题综合性较强，注意考查平行线的性质及角的和差的综合性运用，注意要分类讨 论． 模块三：三角形 知识精讲 一、 三角形的边与角 1、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2、三角形的高、中线、角平分线： ①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高； ②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线； ③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180°． ※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角． 4、三角形的外角： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）三角形的外角和定义：对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于360°． 5、三角形的分类 三角形（按角分）； 三角形（按边分）． 二、 全等三角形 1、全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形． 2、全等三角形的性质和判定方法： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（S．A．S．） 角边角（A．S．A．） 角角边（A．A．S．） 边边边（S．S．S．） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（H．L．） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等． 3、证明题的思路： 三、 等腰三角形 1、等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角． 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：等腰三角形三线合一． 3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线． 4、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形．简称：等角对等边． 四、 直角三角形 1、直角三角形全等的判定： 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（H．L．）． 2、直角三角形的性质： （1）两个定理 定理1：直角三角形的两个锐角互余； 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （2）两个推论 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°． 3、勾股定理 （1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么三角形是直角三角形． 例题解析 【例12】 （2014学年·杨浦区二模·第4题）下列命题中，真命题是（ ） A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 【难度】★ 【答案】D 【解析】A、B、C不一定全等，D、周长相等的等腰直角三角形可以由“SSS”判断出全等． 【总结】考查全等三角形的概念及判定方法的运用． 【例13】 （2015学年·闸北区二模·第5题）如图，已知，则不一定能使 ≌的条件是（ ） A． B． C． D． C D A B 【难度】★ 【答案】B 【解析】A、可以通过“SAS”判断出全等；C、可以通过“AAS”判断出； D、可以通过“ASA”判断出． 【总结】考查全等三角形的判定． 【例14】 （2015学年·徐汇区二模·第6题）下列命题中假命题是（ ） A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【难度】★ 【答案】A 【解析】可通过画图举出反例． 【总结】考查全等三角形的判定，注意当出现三角形边上的高时，通常都要分两种情况讨论． 【例15】 （2014学年·静安区、青浦区二模·第6题）三角形的内心是（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【难度】★ 【答案】B 【解析】A是外心；C是垂心；D是重心． 【总结】考查三角形中四心的基本概念． 【例16】 （2015学年·静安区二模·第15题）在中，，、的平分线相交于点E，那么的度数是______． 【难度】★ 【答案】135°． 【解析】∠AEB=180°∠BAE∠ABE=180°=180°45°=135°． 【总结】考查三角形内角和及其外角性质的综合应用． 【例17】 （2014学年·静安区、青浦区二模·第13题）如图，在中，，AB = 2 AC，点E在中线CD上，BE平分，那么的度数是______． A B C D E 【难度】★ 【答案】45°． 【解析】∵AB=2AC，， ∴∠ABC=30°． 又∵CD为中线 ，∴BD = CD ∴∠BDC=120°． 又∵BE平分∠ABC ， ∴∠DBE=15°， ∴∠DEB=180°∠BDC∠DBE=45°． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质定理的推论及三角形内角和的综合运用． A B C M H 【例18】 （2014学年·徐汇区二模·第4题）如图，已知中，，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【解析】A、勾股定理，正确；B、射影定理，正确； C、直角三角形斜边中线等于斜边一半，正确；D、只有当∠A=30°时才成立，错误． 【总结】考查三角形的基本性质及其推论的运用． 【例19】 （2014学年·徐汇区二模·第16题）如图，DE为的中位线，点F在DE上，且为直角，若AB = 8，BC = 10，则EF的长为______． B A E F C D 【难度】★★ 【答案】1 【解析】∵DE为中位线，∴． ∵DF为直角三角形ABF斜边AB上的中线， ∴DF=， ∴EF=DEDF=1． 【总结】考查直角三角形的性质及中位线定理的综合运用． 【例20】 如图，网格中小正方形的边长均为1，的三个顶点在格点上． A B C 求证：是等腰直角三角形． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】由图易知：，， ∴，∴△ABC为等腰直角三角形． 【总结】考查勾股定理及其逆定理的综合运用． 【例21】 如图，已知中，，AD平分，交边BC于点D，AB = 10， A B C D E AC = 6，求点D到边AB的距离． 【难度】★★ 【答案】3． 【解析】过D作DE⊥AB于点E， 则DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等） 所以AE=AC=6， 设DC=DE=x，则DB = 8x，BE=4， 在中，由勾股定理得： ， 解得：x=3， ∴点D到边AB的距离为3． 【总结】考查角平分线性质定理及勾股定理的综合运用． A B C D E P 【例22】 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD、CE相交于点P，BP = 10 cm，求PD的长． 【难度】★★ 【答案】5cm． 【解析】∵△ABC为等边三角形，CE平分∠ACB ∴∠ACE=30°， 又∵BP=10cm， ∴CP=10cm ∴PD=（直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半） 【总结】考查等边三角形及直角三角形的性质的综合运用． A B C E F D 【例23】 （2014学年·崇明县区二模·第15题）如图，已知和均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB = 9，BD = 3，那么CF的长度为______． 【难度】★★ 【答案】2 【解析】∵， ∴△ABD∽△DCF， ∴， 即，∴CF=2． 【总结】考查利用一线三等角证明相似． 【例24】 （2014学年·虹口区二模·第14题）在中，，点G是的重心，如果CG = 6，那么斜边AB的长等于______． 【难度】★★ 【答案】18． 【解析】延长CG交AB于点D，则CD=，所以AB=2CD=18． 【总结】考查重心的性质及直角三角形的性质的综合运用． 【例25】 如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个三角形的顶角的度数为______． 【难度】★★ 【答案】30°或150°． 【解析】直角三角形中30°对应的边等于斜边的一半． 【总结】考查直角三角形的性质，注意要分类讨论． 【例26】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第21题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；②联结MN，直线MN交的边AC于点D，联结BD．如果此时测得，BC = CD． 求与的度数． 【难度】★★ 【答案】∠ABC=102°，∠C=44°． 【解析】由题意知MN为AB的垂直平分线，∴∠DBA=∠A=34°， ∵BC=DC ∴∠CBD=∠CDB=∠DBA+∠A=68°， ∴∠ABC=34°+68°=102°，∠C=44° 【总结】考查垂直平分线的性质定理及三角形内角和的综合运用． 【例27】 已知中，，AC = 4，BC = 3．以的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点D在的斜边AB上，求这个等腰三角形的周长． 【难度】★★★ 【答案】9或． 【解析】（1）当AC为底边时， 由勾股定理，得：AB=5， ∵点D在边AB上且△ACD为等腰三角形， ∴D为AB中点， ∴=AD+CD+AC=AB+AC=5+4=9； （2）当AC为腰时，利用勾股定理的等面积，可得， ∴． 【总结】考查等腰三角形性质及勾股定理的运用，注意分类讨论． 【例28】 已知中，，AB = AC，D为BC的中点． （1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE = AF，求证：是等腰直角三角形． A B C D E F （2）如果E、F分别是AB和CA的延长线上的点，且BE = AF，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】（1）连接AD， ∵ABC为等腰直角三角形且D为BC中点， ∴AD=BD，∠B=∠CAD=45° 在△ADF与△BDE中， ∵AF=EB，∠B=∠CAD，AD=BD ∴△ADF≌△BDE（SAS） ∴DE=DF，∠BDE=∠ADF 又∵∠ADE+∠BDE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°， ∴△DEF为等腰直角三角形 （2）仍是等腰直角三角形，证明方法同（1）． 【总结】考查等腰三角形的性质及三角形全等的证明． 【例29】 如图，在形外作等腰和等腰，使，，作于H，延长HA，交DE于M，求证：DM = ME． A B C D E M H 【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】∵AB=AD，，AC=AE ∴△BAC≌△DAE， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB． 又∵∠ABC=∠CAH=∠MAD，∠ACB=∠BAH=∠MAE ∴∠ADE=∠MAD，∠AED=∠MAE ∴AM=DM，AM=EM ∴DM=ME 【总结】本题综合性较强，考查的知识点比较多，包含等腰直角三角形的性质、同角的余角 相等、等角对等边等，说理时要认真分析，找到其中的联系． 【例30】 如图，在菱形ABCD中，，M、N分别为BC、CD上的点，求证：若有一个内角等于60°，则是正三角形． A B C D N M 【难度】★★★ 【答案】略． 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD为菱形且∠BAD=120°， ∴△ABC、△ADC是等边三角形 ∴AC=AD，∠ACM=∠D=60° 又∵∠MAC+∠CAN=60°=∠CAN+∠NAD， ∴∠MAC=∠NAD 在△ACM与△ADN中， ∵AC=AD，∠ACM=∠D=60°，∠MAC=∠NAD ∴△ACM≌△ADN，∴AM=AN， 又∵△AMN有一个内角等于60°， ∴△AMN是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及菱形性质的综合运用． 随堂检测 【习题1】 （2015学年·奉贤区二模·第5题）下列说法中，正确的是（ ） A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等 B．两个全等三角形一定关于某条直线对称 C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称 D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称 【难度】★ 【答案】A 【解析】B、C、D都不一定． 【习题2】 （2014学年·长宁区、金山区二模·第7题）如图，已知AD是的边BC上的高，下列能使≌的条件是（ ） D C B A A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】若AB=AC，在直角三角形ABD和直角三角形ACD中， ∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（HL） 【总结】考查直角全等三角形的判定． 【习题3】 画一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、2.5 cm的长方体的直观图． 【难度】★ 【答案】图略 【解析】先画出一个平行四边形是关键，注意正面看不到的边要用虚线联结． 【总结】考查基本作图能力，利用斜二测法画长方体． A B C D E P 【习题4】 如图，已知等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上，AD = BE，那么______． 【难度】★★ 【答案】60°． 【解析】在△ABE与△CAD中， ∵AD=BE，∠B=∠BAC，AB=AC, ∴△ABE≌△CAD（SAS） ，∴∠ACD=∠BAE ∴∠CPE=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60° 【总结】考查全等三角形的性质及三角形外角性质的综合运用． 【习题5】 （2015学年·崇明县二模·第14题）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ① 分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； D N A B C M ② 作直线MN交AB于点D，连接CD． 若，，则的度数为______． 【难度】★★ 【答案】105°． 【解析】由题意知MN为线段BC的垂直平分线， ∴∠B=∠BCD，∵CD=AC，∠A=50°， ∴∠CDA=50°，∠ACD=180°50°50°=80°， 又∵∠B+∠BCD=∠CDA， ∴∠BCD=25°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=105°． 【总结】考查线段垂直平分线的性质及三角形内角和的综合运用． A B C I 【习题6】 已知中，和两角的平分线相交于点I，，，求的度数． 【难度】★★ 【答案】112.5°． 【解析】由题意知AI为∠BAC的角平分线， ∴∠BAI==， ∴∠AIB=180°30°37.5°=112.5° 【总结】考查角平分线性质及三角形内角和的运用，注意三角形的三条角平分线交于同一点． 【习题7】 已知：如图，在四边形ABCD中，BC > BA，AD = DC，BD平分． A B C D E 求证：． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】在BC上取点E，使得BE=AB，连接DE 则△ADB≌△EDB． ∴AD=DE，∠A=∠BED， ∵AD = DC， ∴DE = DC， ∴∠DEC=∠C． ∵∠BED+∠DEC=180°， ∴∠A+∠C=180°． 【总结】考查截长补短法辅助线的添加． 【习题8】 已知：如图，在四边形ABCD中，，BD = DC，BC = 2AB． A B C D H 求证：点D在的角平分线上． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】过点D作DH⊥BC于点H， ∵BD=CD， ∴H为BC中点， 又∵BC=2AB， ∴BA=BH 在△ABD与△HBD中， ∵∠A=∠BHD=90°，BA=BH，BD=BD， ∴△ABD≌△HBD ∴点D在∠ABC的角平分线上 【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的证明． 【习题9】 已知，在中，AB = AC，点P在直线BC上，PDAB于点D，PEAC于点E，BH是的高． （1）当点P在边BC上时（如图），求证：； A B C D E P H （2）当点P在边BC的延长线上时，试探索PD、PE、BH之间的数量关系． 【难度】★★★ 【答案】略 【解析】（1）连接AP， ∵， 又 = ∴PD+PE=BH； （2）证法同（1）． 【总结】考查利用三角形面积相等证明线段间的等量关系． A B C D E F G 【习题10】 （2014学年·徐汇区二模·第23题）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边上，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交AF于点G，联结BG． （1）求证：≌； （2）如果E为CD的中点，求证：． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】（1）∵∠ADG =∠CDF = 90°∠GDC， ∠DAG = 90°∠DEA，∠DCF = 90°∠CEF， 又∵∠DEA=∠CEF， ∴∠DAG=∠DCF． 在△ADG与△CDF中， ∵∠ADG=∠CDF，AD=CD，∠DAG=∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（ASA） （2） 设正方形边长为a，由△ADE∽△CFE得，AG=CF=， 由，∠BAG=∠AED，得：△ABG∽△EAD， 即∠AGB=90°，∴BG⊥AF． 【总结】考查全等三角形的证明及相似证明的综合运用． 课后作业 B A D C E F 【作业1】 （2015学年·徐汇区二模·第3题）如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于E，如果，，那么的大小是（ ） A．24° B．30° C．32° D．36° 【难度】★ 【答案】C 【解析】由题意，知：∠ABE=∠EBF=∠BCE， ∴∠BCE==32°． 【总结】考查线段垂直平分线及角平分线的性质及三角形内角和的综合运用． 【作业2】 （2014学年·金山区二模·第5题）如图，AB // CD，，，那么等于（ ） A B C D E A．13° B．14° C．15° D．16° 【难度】★ 【答案】C 【解析】∵AB∥CD ∴∠BCD=∠B=28°（两直线平行内错角相等） 又∵∠BCD=∠D+∠E， ∴∠E=∠BCD∠D=28°13°=15°． 【总结】考查平行线的性质及三角形内外角的关系． 【作业3】 （2014学年·虹口区二模·第6题）下列命题中，真命题是（ ） A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 【难度】★ 【答案】D 【解析】A、“SSA”不能判断全等，错误；B、见例14，错误； C、有形内高和形外高两种，错误；D、正确． 【总结】考查三角形全等的判定． A B C D E F G H 【作业4】 已知长方体ABCD-EFGH的直观图如图所示，图中AD = 2 cm，那么长方体中棱AD的实际长度是______cm． 【难度】★ 【答案】． 【解析】立体图形中比例斜着是， ∴AD的实际长度是． 【总结】考查长方体立体图形实际长度与直观图的长度比． A B C D E F G P Q H 【作业5】 已知：如图，DE // FG，和的平分线交于点C，过点C的直线交射线AE于点P，交射线BG于点Q． 求证：． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】过点C作CH∥DE交AB于点H， ∵CH∥DE， ∴∠EAC=∠ACH． 又∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAB， ∴∠ACH=∠CAB，∴AH=CH． 同理BH=CH，∴AH=HB，∴H是AB中点 又∵HC∥DE∥FG， ∴AP+BQ=2CH， 又∵AB=AH+BH=2CH， ∴AP+BQ=AB． 【总结】考查角平分线性质及平行线性质的综合运用． A B C D E F 【作业6】 已知，中，，D是边BC上一点，，垂足是点E，，DF交边AC于点F，，求的度数． 【难度】★★ 【答案】70° 【解析】∵∠CFD=180°∠AFD=20°， 又∵∠B=∠C，∠BED=∠CDF， ∴∠BDE=∠CFD=20°， ∴∠EDF=90°∠BDE=70°． 【总结】考查三角形外角性质的综合运用． 【作业7】 已知：如图，在中，AB = AC，ADBC，垂足为点D，BE = CF． A B C D E F 求证：DE = DF． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，BD=CD 在△BDE与△CDF中， ∵BE=CF，∠B=∠C，BD=CD， ∴△BDE≌△CDF（SAS） ∴DE=DF 【总结】考查等腰三角形的性质及全等三角形的证明． 【作业8】 如图，已知AD // BC，点E是DC的中点，AE平分，求的度数． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】90°． 【解析】过E作EF∥AD，则F为AB中点，∠AEF=∠DAE． 又∵∠FAE=∠DAE，∴∠FAE=∠AEF，∴AF=EF． 又∵AF=BF，∴EF=BF，∴∠FEB=∠FBE 又∵∠FEB=∠EBC，∴∠FBE=∠EBC ∵∠DAB+∠ABC=180°， ∴∠EAF+∠FBE=（∠DAB+∠ABC）=90°， ∴∠AEB=90° 【总结】考查平行线的性质及角平分线性质的综合运用． 【作业9】 已知三角形的两边长分别为17 cm和10 cm，第三条边上的高为8 cm，求这个三角形的面积． 【难度】★★★ 【答案】或． 【解析】由勾股定理得第三边长度为：cm