九年级春季班第20讲：几何证明及通过几何证明进行说理问题-教师版-张于.docx

中考复习 几何证明及通过几何证明进行说理问题 内容分析 较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关证明和说理，解题中一般是先根据图形间的几何关系，利用全等、相似等性质进行相关的说理和计算． 例题解析 【例1】 如图，二次函数的图像与轴交于点A，且过点B（3，6）． （1）试求二次函数的解析式及点A的坐标； （2）若点关于二次函数对称轴的对称点为点， 试求的正切值； A B C O x y H （3）若在轴上有一点，使得点关于直线的对称点在轴上， 试求点的坐标． 【解析】（1）将点B（3，6）代入解析式， 可得：，解得：， ∴二次函数解析式为，点A的坐标为（0，2）； （2）由题意，知：C（1，6），，，． 过点作于点， ∴，，， ∴； （3）由题意，，则的坐标为（0，）或（0，7）．设， ① 若点，由，有，解得：，即； ② 若点，由，有，解得：，即； 综上可知，点的坐标为或． 【总结】本题主要考察二次函数的综合，相对比较基础，注意相关性质的运用． 【例2】 已知半圆的直径，点在半圆上，且，点为上 一点，联结． （1）求的长； （2）若射线交射线于点，且与相似，求的长； （3）联结，当//时，作的平分线交线段于点，求的长． A B C D O 图1 【解析】（1）如图1中，连接AC， ∵AB是直径，∴∠ACB = 90°， ∵tan∠ABC =，∴可以假设AC =k，BC = k， ∵AB = 6，AB2 = AC2 + BC2，∴36 = 8k2 + k2， ∴k2 = 4，∵k > 0，∴k = 2，BC = 2； （2）如图2中， ∵与相似，∴∠MBC =∠MCO， ∵∠MBC +∠OBC = 180°，∠MCO +∠OCD =180°，∴∠OBC =∠OCD， A B C D O 图2 M ∵OB = OC = OD，∴∠OBC =∠OCB =∠OCD =∠ODC， 在和中，， ∴≌，∴BC = CD = 2； （3）如图3中，延长ON交BC的延长线于G，作GH⊥OB于H． A B C D O 图3 G N H ∵BC // OD，∴∠DOG =∠OGB =∠GOB， ∴BO = BG = 3，∵tan∠HBG =， 设GH =，HB = a， ∵BG2 = GH2 + HB2，∴8a2 + a2 = 9， ∴a2 = 1，∵a > 0， ∴a = 1，HB = 1，GH =，OH = 2，OG =， ∵GC // DO，∴， ∴ON =． 【总结】本题在圆的背景下，考查相似三角形的性质与判定及锐角三角比的综合运用． 【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、 两点，与y轴交于点. （1）求抛物线的表达式； （2）求证：； （3）若点P是抛物线上的一点，且，求直线CP的表达式. O C B A y x 【解析】（1）由题意知 ， 解得：. ∴抛物线的表达式为； （2）∵，，，∴， ∵， ∴∽，∴； （3）∵∠PCB +∠ACB =∠BCO，又∠OCA +∠ACB =∠BCO，∴∠PCB =∠OCA， ∵∽，∴，∴∠PCB =∠CBO， 若点P在x轴上方， ∵∠PCB =∠CBO，∴CP // x轴， ∴直线CP的表达式是； ②若点P在x轴下方， 设CP交x轴于点D（m，0）， ∵∠PCB=∠CBO，∴CD=BD， ∴，，∴. ∴直线CP的表达式为. 综上所述，直线CP的表达式为或. 【总结】本题以二次函数为背景，考查待定系数求函数解析式、相似三角形的判定与性质的运用，第（3）问中，注意对直线的准确理解． 【例4】 已知二次函数的图像经过点P（0，1）与Q（2，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数 图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD 恰为正方形． ①求正方形的ABCD的面积； ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：∽． 【解析】（1）由题意得：，解得：． 所以二次函数解析式是：； （2）①设，则． 由四边形ABCD为正方形，得：， 解得：（舍负）． ∴正方形ABCD的面积为：． ②设AB交y轴于点H. ∵，， ∴． ∵∠DOP=∠AHP， ∴∽． ∴， 又∵∠DPO=∠PDA， ∴． 又∵， ∴∽． 【总结】本题以二次函数为背景，考查二次函数与正方形的结合，考查的知识点较多，包含了待定系数法求函数解析式，正方形面积的求法以及相似三角形的判定． 【例5】 已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B右侧），与y轴交于点C（0，），且OA = 2OC． （1）求这条抛物线的表达式及顶点M的坐标； （2）求tan∠MAC的值； （3）如果点D在这条抛物线的对称轴上，且∠CAD = 45°，求点D的坐标． 【解析】（1）∵C(0，-3)，∴OC = 3．∵OA = 2OC，∴OA = 6． ∵，点A在点B右侧，抛物线与y轴交点C（0，）， ∴，代入可得：，∴，∴． （2）过点M作MH⊥x轴于点H，交AC于点N，过点N作NE⊥AM于点E． 在中，，,． x y A O C E N M H 求得直线AC的表达式为：． ∴N（2,-2），∴． 在中，∵，∴． D1 D2 x y A O C E N M H 在中,∵，∴． （3）当D点在AC上方时， ∵， 又 ∵， ∴． ∴． ∵点在抛物线的对称轴直线上，∴，∴． 在中，，∴． ‚当D点在AC下方时，∵， 又 ∵，∴． ∴． 在中，，∴． 综上所述：，． 随堂检测 【习题1】 如图，已知线段AB = 8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C 作CD // AB交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD． A B C D （1）若CD = 6，求四边形ABCD的面积； （2）设CD = x，BC = y，求y与x的函数关系式及自变 量x的取值范围； H D C B A 图1 （3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交 ⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE // AD． 【解析】（1）作AH⊥CD，垂足为点H（如图1） ． ∵ CD = 6，∴．∵AD=5，∴AH=4． ∴； （2）作CP⊥AB，垂足为点P（如图2）． P H D C B A 图2 ∵在中，AH⊥CD，CD= x，∴， ∴．∴． 在， ∴． E N M F H D C B A 图3 在，即． ∴； （3）设AH交MN于点F,联结AE（如图3）． ∵ BC的中点为M，AD的中点为N，∴MN // CD． ∵CE // AD，∴DC = NE = x．∵MN // CD，∴． ∵，∴，∴． 在和中， ∵，∴， 解得： （舍负）． 即当CD长为时，CE // AD． 【总结】本题考查了二次函数与圆的综合，包含了垂径定理和勾股定理的综合运用． 【习题2】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = ax2＋x的对称轴为直线x = 2，顶点为A． O y x （1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标； （2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP． ①当OA⊥OP时，求OP的长； ②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点 B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标． 【解析】（1）∵ 抛物线的对称轴为直线x=2． ∴，∴． y 图1 P E A O x ∴抛物线的表达式为：． ∴顶点A的坐标为（2，1）． （2）设对称轴与x轴的交点为E（如图1）． ①在直角三角形AOE和直角三角形POE中， ∵，， 又∵OA⊥OP，∴．∴． ∵AE = 1，OE = 2，∴PE = 4．∴OP=． ②过点B作AP的垂线，垂足为F （如图2）． y 图2 F B P E A O x 设点B（），则，． 在直角三角形AOE和直角三角形POB中， ，， ∵，∴． ∵，， ∴∽，∴． ∵OE=2，∴PF=1，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴点B的坐标是（10，）． 【总结】本题主要考查了二次函数和锐角三角比的综合运用，解题时注添加适当的辅助线， 构造直角三角形． 课后作业 y D C F E O A x 【作业1】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（4，0）、 B（，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD = t，点E 在第二象限，，，EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC时，求t的值． 【解析】（1）∵二次函数的图像经过点A（4，0）、B（，0）， ∴可得：，解得：． ∴二次函数的解析式为：； （2）∵点D在线段OC上，点E在第二象限，∠ADE = 90°，EF⊥OD， ∴，∴， ∴∽，∴． 在中，∠ADE = 90°，， ∴，∴，． ∵，∴．∵A（4，0），∴． ∴，∴； （3）由（1）得，点的坐标为（0，8）．延长CE交x轴于点G（如图）， y D C F E G O A 设点G的坐标为（x，0）．∵，∴． ∴，解得：，∴． 由已知，可得点F在线段OD上， 又∵，∴． ∵EF // GO，∴，∴， 解得：， 即当∠ECA =∠OAC时t的值为6． 【作业2】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（3，0）， B（，0），C（0，），顶点为D． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD = 90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将沿直线AD翻折，得到，求点Q的坐标． 【解析】（1）∵二次函数的图像经过点A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)， A y D C B O x ∴，解得：． ∴二次函数的解析式为：， ∴顶点D的坐标为； （2）设点P的坐标为． ∵∠APD = 90°，∴． ∵A(3，0)，，∴． 解得：，． H A y D C B Q P O x ∵点P与点C不重合，∴点P的坐标为． （3）解法一：如图，作QH⊥x轴，垂足为点H． 易得，， ∴四边形APDQ为正方形． 由，得：， 由，得：， ∴，又，PA = QA， ∴≌，∴，， ∴． 解法二：设． ∵A(3，0)，， ∴，． 解得：，（不合题意，舍去）， ∴． 11 / 11