九年级春季班第10讲：直角三角形的存在性问题-教师版-张于.docx

中考复习 直角三角形的存在性问题 内容分析 在考虑是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①；②；③．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得． 知识结构 模块一：以函数为背景的直角三角形问题 知识精讲 1、 知识内容： 在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似或者勾股定理的计算来确定直角三角形． 2、 解题思路： （1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 计算出相应的边长等信息； （3） 根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 例题解析 【例1】 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标； x y A B C O （2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直 角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式． 【答案】（1）A、B的坐标分别为（，0），（2，0）； （2）直线l解析式为或． 【解析】（1）解方程， 可得：A、B的坐标分别为（，0），（2，0）； （2）设AB中点为D，D点为（，0）， 以D为圆心，AD为半径作圆， 若l与y轴平行，则找不到3个M点，使为直角三角形． ∴l不与y轴平行． ∴必定存在2个M点，使或． 要满足“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”， 即直线l与圆D相切，设切点为M0，过M0作M0H⊥x轴于H， ∵，， ∴，． ∴M0的坐标为或． ∴直线l解析式为或． 【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的条件，从而求出正确的结果． 【例2】 在平面直角坐标平面内，O为原点，二次函数的图像经过点 A（，0）和点B（0，3），顶点为P． （1）求二次函数解析式及点P的坐标； （2）如果点Q是x轴上一点，以点A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形，求点Q的坐标． 【答案】（1）解析式：，顶点（1，4）； （2）点Q的坐标是（1，0）或（9，0）． 【解析】（1）由题意得，解得：，； ∴二次函数解析式为， ∴点P的坐标是（1，4）； （2）P（1，4），A（，0），∴ 设点Q的坐标是（x，0），则，． 当时，， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标是（1，0）； 当时，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标是（9，0）． 当时，不合题意． 综上所述，所求点Q的坐标是（1，0）或（9，0）． 【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标． 模块二：以几何为背景的直角三角形问题 知识精讲 1、 解题思路： （1） 按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2） 运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长． 例题解析 【例3】 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA． （1）请用含t的代数式表示出点D的坐标； （2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若 不能，请说明理由． 【答案】（1）D点坐标为；（2）t = 2或3． 【解析】解：（1）取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H． A B C D O P x y H M N 可得，． ∵，，P点坐标为， ∴D点坐标为； （2）当时，， ∴．即，解得：或（舍）． 当时，，∴，即，∴PA = 1，∴t = 3 故当是直角三角形时，或3． 【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解． 【例4】 如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE． （1）求底边AB上的高； （2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长； （3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长． A B C D E H 【答案】（1）3；（2）AD的长为或；（3）的长为1． 【解析】解：（1）过C作CH⊥AB于H． ∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4． 又∵，∴AC = BC = 5，CH = 3； （2）分情况讨论： ①当时，F与H重合，∴EH = 2． ∵，∴． ∴； ②当时，作DM⊥AC于M，设CM = x， ∵，∴． ∴，∴，解得：． ∴； 综上：当为直角三角形时，AD的长为或； （3）∵AD = DE，∴为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论． 【例5】 如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上． （1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域； （2）当BP = 2时，求CF的长； （3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）（）； （2）； （3）BP的长为或者为． A B C D E F G P 【解析】（1）∵为等边三角形， ∴，； ∵，，∴； 又∵四边形DEFG是正方形， ∴，， ∴；∴， ∴（）； A B C D E F G P （2）当BP = 2时，，； （3）能成为直角三角形． 时，如图； ，， 解得：． A B C D E F G P 时，如图； 则，， 解得：． ∴当为直角三角形， BP的长为或者为． 【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确运用． A B C D E P Q 【例6】 如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且 CD = 3 cm．现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）． （1）用含x的代数式表示AE、DE的长度； （2）当x为何值时，为直角三角形． 【答案】（1），； （2）当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形． A B C D E P Q 【解析】（1）在中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5． ∵EP // DC， ∴∽， ∴，即， ∴，； （2）分两种情况讨论： A B C D E P Q 当时，如图； 易得，又∵EQ // AC， ∴∽， ∴，即， 解得：x = 2.5； 当时，如图； ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得：x = 3.1； 综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形． 【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论． 随堂检测 【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（，0）、B（4，0）、 C（0，2）．点D是点C关于原点的对称点，联结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为（m，0），过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边 形时，求m的值； A B C O （3）是否存在点P，使是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写 出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）m = 2； （3）（3），，． 【解析】解：（1）∵二次函数过点A、B， ∴设二次函数为． 将点C（0，2）代入，解得． ∴二次函数解析式为：； （2）D点坐标为（0，）． ∴直线BD的解析式为：． ∴P点坐标为，Q点坐标为． ∵CD = PQ， ∴． 解得：m = 2或m = 0（舍）， 故m的值为2； （3），，． （注：可设过B或D的与BD垂直的直线，然后与二次函数联立后解出） 【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标． 【习题2】 如图，在Rt中，∠ACB = 90°，AB = 13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G． （1）当CE = 3时，求S△CEF∶S△CAF的值； （2）设CE = x，AE = y，当CG = 2GB时，求y与x之间的函数关系式； （3）当AC = 5时，联结EG，若为直角三角形，求BG的长． 【答案】（1）；（2）；（3）BG的长为6或． 【解析】解：（1）∵CD//AB，CE = 3，AB = 13， A B C G F E D M ∴． ∴． （2）延长AG交CD于M． ∴． ∴． ∵CD//AB， ∴， ∴AE = EM， ∴． （3）∵，∴分两种情况讨论． ①当时，可得AG = GM． ∵CD//AB， ∴； ②当时，可得， ∴，． 又∵，， ∴， ∴GA = GB． ∴． 综上所述，若为直角三角形，BG的长为6或． 【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式． 课后作业 【作业1】 如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数（）图像上的一点，且是直角三角形，求点P的坐标． A B O x y 【答案】（（2，1）或（）． 【解析】解：分情况讨论，因为点P在第一象限，所以不可能为． ① 当时， ∴P点横坐标为2， ∴P点为（2，1）； ② 当时，连接OP，∴OP = OA = 2， 设P点为， ∴． 解得：或， ∵点P在第一象限， ∴， 综上，P点的坐标可能为（2，1）或（）． 【总结】本题主要考查直角三角形的存在性问题，由于本题中P点在第一象限，因此注意直角三角形只有两种情况． 【作业2】 如图，在中，AB = AC = 10，cosB = ．D、E为线段BC上的两个动点，且DE = 3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF // AC交AB于F，联结DF． （1）设BD = x，EF = y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （2）如果为直角三角形，求的面积； （3）如图2，如果MN过的重心，且MN // BC分别交FD、FE于M、N，求整 个运动过程中线段MN扫过的区域的形状和面积（直接写出答案）． A B C D E F A B C D E F N M 图1 图2 【答案】（1）（）；（2）或；（3）． 【解析】解：（1）∵EF//AC，∴． ∵AB=AC=10，，∴BC=16． ∴． ∴（）； （2）∵EF///AC，AB=AC， ∴，∴． 由于，分类讨论： ① 当时，∵，∴，解得：； ∴的面积为； ② 时，∵，∴，解得：． ∴的面积为； 综上所述，的面积为或； （3）面积为（注：形状为一个平行四边形，MN始终为2）． 【总结】本题主要考查动点背景下的面积问题，注意进行分类讨论． 11 / 12