九年级春季班第4讲：创新题型--教师版.docx

中考复习 创新题型 知识结构 模块一：定义应用 例题解析 【例1】 定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6] = 3，[] = ．对于任意实数x，下列式子错误的是（ ） A．[x] = x（x为整数） B． C． D．（n为整数） 【难度】★★ 【答案】C． 【解析】由反例，可知C错误． 【总结】本题考查取整函数[x]的定义及应用． 【例2】 在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．如果点（，）为点M的可控变点，则点M的坐标为___________． 【难度】★★ 【答案】（-1，2） 【解析】由题意得，当时，，且不变，所以当，时， 即点坐标为（，2）． 【总结】把握好“可控变点”的定义，找出与两者之间存在的关系． 【例3】 定义一种新运算：，如，则______． 【难度】★★ 【答案】0． 【解析】先计算，再计算． 【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序． 【例4】 已知，，若规定，则y的最小值为（ ） A．0 B．1 C． D．2 【难度】★★ 【答案】B． 【解析】把，代入，得到，当时，； 当时，．所以的最小值是1，故选B． 【总结】考查分段函数求最值的问题． 【例5】 （2015学年·浦东新区二模·第17题）定义运算“*”：规定（其中a、 b为常数），若，，______． 【难度】★★ 【答案】4． 【解析】把，代入运算法则，得，解得：， 所以2×1+1×2=4． 【总结】根据新运算，求出a、b的值是解答本题的关键． 【例6】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第17题）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：．如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是______． 【难度】★★ 【答案】0． 【解析】根据运算法则，，， 整理得，此方程有两个相等的实数根， 则，解得：（舍），所以a=0． 【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行 求解，注意二次项系数不能为零． 【例7】 （2014学年·宝山区、嘉定区二模·第17题）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在和中，，点D在边BC的延长线上，如果BC = DC = 3，那么和的外心距是______． C A B D 【难度】★★ 【答案】3． 【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以和 的外心分别为和的中点，这两个三角形的外心距 即的中位线，长度是． 【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线． 【例8】 （2014学年·虹口区二模·第17题）定义[a，b，c]为函数的“特征数”．如：函数的“特征数”是[1，3，]，函数的“特征数”是[0，，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图像向下平移3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是__________________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意得“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为，向下平移3个单位可 得新函数的解析式为：． 【总结】特征数[a，b，c]即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析 式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题． 【例9】 （2015学年·闸北区二模·第17题）在平面直角坐标系xOy中，的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点为射线CP上一点，满足，则称点为点P关于的反演点．如图为点P及其关于的反演点的示意图．请写出点M（，0）关于以原点O为圆心，以1为半径的的反演点的坐标 ． x y P' C P O 【难度】★★★ 【答案】（2，0）． 【解析】由反演点的定义可得， 即， 解得：，又点在轴上， 所以点的坐标为（2，0）． 【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系． 【例10】 （2014学年·普陀区二模·第17题）如图1，对于平面上不大于90°的，我们给出如下定义：如果点P在的内部，作，，垂足分别为点E、，那么称PE + PF的值为点P相对于的“点角距离”，记为 d（P，）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点P在第一象限内，且点P的横坐标比纵坐标大1，对于，满足d（P，）= 5，点P的坐标是__________． 图1 图2 【难度】★★★ 【答案】（3，2）． 【解析】过点分别作⊥轴，⊥轴， ∵点P在第一象限内且横坐标比纵坐标大1， ∴设=，则=+1， ∵d（P，）= 5， 可得：+=5，即++1=5，解得：=2， 所以点的坐标为（3,2）． 【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标． 模块二：阅读理解 例题解析 【例11】 一组数1，1，2，x，5，y，…，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为______． 【难度】★ 【答案】8． 【解析】由题得，=1+2=3，=3+5=8． 【总结】本题难度不大，运算也比较简单． 【例12】 四个数a、b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：．若，则x =______． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】由运算法则得，整理得：，解得：=1． 【总结】由运算法则整理，再解关于的方程即可． 【例13】 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号，表示a、b中的较大值，如：，，按照这个规定，方程，的解为（ ） A． B． C．或 D．或 【难度】★★ 【答案】D． 【解析】当>0时，，解方程，得：，所以； 当<0时，，解方程，得：，所以； 综上，或，故选D． 【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于的方程． 【例14】 （2014学年·奉贤区二模·第17题）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形的面积等于______． 【难度】★★ 【答案】1或2． 【解析】设最小角为，则最大角为， 当顶角为，则，解得：，此三角形为等腰直角三角形， ∴此三角形的面积=； 当顶角为时，则，解得：． 如图，，，作⊥， 在，∵，∴， ∴此三角形的面积=． 综上所述，该三角形的面积等于1或2． 【总结】本题注意分类讨论．根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行 面积的求解． 【例15】 （2013学年·松江区二模·第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知，，较短的一条直角边边长为1，如果是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】“有趣中线”有三种情况： 若“有趣中线”为斜边上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合 题意；若“有趣中线”为边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立； 若“有趣中线”为另一直角边上的中线， 如图所示，=1，设，则． 在中，勾股定理得1+， 解得：=，所以=2=． 【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论． 【例16】 （2015学年·崇明县二模·第17题）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为______． 【难度】★★ 【答案】8或10． 【解析】由题意可知，存在两种情况：（1）一组邻边长分别为3和1，周长=8； （2）一组邻边长分别为3和2，周长=10． 【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边形的性质． 【例17】 （2015学年·虹口区二模·第17题）设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是______（结果保留根号）． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设正六边形的边长为，则半径为R=，边心距为r=，所以=． 【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质． 【例18】 （2013学年·静安区二模·第16题）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”．已知，可用“降次法”求得的值是____________． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】由，得，代入=． 【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题． 【例19】 （2014学年·金山区二模·第17题）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（，3）半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为_________． 【难度】★★ 【答案】（0，5）或（-4，1）． 【解析】由题意得，连心线所在直线为，因为两圆外切，设另一圆心为圆，所以圆心距，设，所以， 解得：，，所以圆心的坐标为（0,5）或（-4,1）． 【总结】本题考查了“孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系． 【例20】 （2013学年·黄浦区二模·第17题）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果、半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是___________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得，当小圆的圆心恰好在大圆上时，，所以内相交的圆心距d取值范围是． 【总结】本题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义． 模块三：规律探究 例题解析 【例21】 观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】C． 【解析】根据题意，可知规律为，故第6个数为：，化简为，故选C． 【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律． 【例22】 按一定规律排列的一列数：，，，，，，…．若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测x、y、z满足的解析式是____________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以． 【总结】本题考查针对给定的一列数字找规律． 【例23】 在平面直角坐标系中，有三个点A（1，）、B（，）、C（0，1），点P（0，2）关于点A的对称点为，关于点B的对称点为，关于点C的对称点为，按此规律，继续以点A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到点，，，…，则点的坐标为（ ） A．（0，0） B．（0，2） C．（2，） D．（，2） 【难度】★★ 【答案】C． 【解析】由题意得（2，4）、（4，2）、（4，0）、（2，2）、 （0，0），（0，2），每6个数形成一个周期，2017÷6=336……1，所以的坐 标和的坐标相同，故选C． 【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理． 【例24】 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为_____________． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题意得=2×2=4=22，=，==20，…… D C A B 由以上规律，可知=2-2014． 【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用． 随堂检测 【习题1】 定义：如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足，，， 那么称这两个函数互为“旋转函数”．若函数与互为“旋转函数”，则________． 【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】由“旋转函数”的定义得，解得：， 所以（1）2017=1． 【总结】本题考查“旋转函数”的定义． 【习题2】 （2013学年·虹口区二模·第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在中，，若是“好玩三角形”，则tan A =_______． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足； 故只能是直角边上的中线等于此直角边的长， 如图所示，设=2，=， 则，在中，=2，． 当为较小锐角时，； 当为较大锐角时，． 【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论． 【习题3】 （2013学年·杨浦区二模·第17题）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线”．现有两个全等三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm．将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是______cm． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】如图，将两个全等的直角与的斜边与重合，拼成凸四边形 ，与交于点O，为的中点． ∵△≌△，易证⊥． 在中，=•=， 因为，所以． 即奇异中位线的长是． 【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形． 【习题4】 （2014学年·崇明县二模·第17题）如果一个二次函数的二次项系数为1，那么这个函数可以表示为，我们将[p，q]称为这个函数的特征数．例如二次函数的特征数是[，2]．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是[2，3]，将这个函数的图像先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为______． 【难度】★★ 【答案】[6，8]． 【解析】特征数是[2，3]的二次函数为，即，将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为，即， 所以特征数为[6，8]． 【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移． 图1 图2 【习题5】 （2014学年·黄浦区二模·第18题）如图1，点P是以r为半径的圆O外一点，点在线段OP上，若满足，则称点是点P关于圆O的反演点．如图2，在中，，AB = 2，BO = 4，圆O的半径为2，如果点、分别是点A、B关于圆O的反演点，那么的长是______． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由反演点的定义，可知： ，， 则，即，又，可证∽， ∴，即，解得：=． 【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质． 【习题6】 正方形，，，…，按如图所示的方式放置．点，，，…和点，，，…，分别在直线（）和x轴上，已知点 （1，1），（3，2），则点的坐标是__________，点的坐标是__________． x y O 【难度】★★★ 【答案】（63，32），． 【解析】由（0，1）、（1，2）， 可求得直线解析式为． 可求得（3，4）、（7，4），（7，8）、 （15，8），（15，16）、（31，16）， （31，32）、（63，32）， ……， 按照此规律可得． 【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律． 课后作业 【作业1】 （2014学年·浦东新区二模·第17题）对于函数，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数的特征数为[2，]，那么这个函数图像与x轴的交点坐标为_______． 【难度】★★ 【答案】（，0）． 【解析】特征数为[2，]的函数为，令，解得，所以函数图像与轴的交点坐标为（，0）． 【总结】本题考查了“特征数”的定义，以及二次函数的图像． 【作业2】 （2013学年·金山区二模·第17题）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 ． 【难度】★★ 【答案】或． 【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时，最小角为30°，正切值为；当直角边长等于另一直角边长的两倍时，最小角的正切值为． 【总结】本题考查了“倍边三角形”的定义，以及锐角三角比的求值． 【作业3】 已知抛物线p：的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为，我们称以点A为顶点且过点，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为________________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由=可求得：（-1，0）．由，可求得：，所以点（1，4），点关于x轴的对称点为（1，-4）．那么所求的抛物线顶点为（1，-4）且经过点（-1，0），可求得：即． 【总结】本题考查了“梦之星”抛物线和“梦之星”直线的定义，以及二次函数的图像与性 质求解函数的解析式． A B C D O x y 【作业4】 （2013学年·徐汇区二模·第17题）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为__________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】抛物线与轴交点为（-1，0）、（3，0）， 与轴交点为（0，-3）．半圆圆心为（1，0）， ∴=2，勾股定理，得：=，所以． 【总结】本题考查了二次函数的图像以及圆的基本性质． 【作业5】 （2014学年·杨浦区二模·第17题）对于平面直角坐标系 xOy中的点P（a，b），若点的坐标为（，）（其中k为常数，且），则称点为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为（，），即（3，6）．若点P的“k属派生点”的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标：____________． 【难度】★★★ 【答案】（2，1）． 【解析】由题意得，整理得：，所以， 只要满足即可，可取点P（2，1）． 【总结】本题考查了“派生点”的定义，关键是求出的值，答案不唯一． A B C D E F G H 【作业6】 如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，…，如此下去，第n个正方形的边长为__________． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为， 第三个正方形的边长为2，依次规律，第n个正方形的边长为． 【总结】本题考查了几何图形背景下线段长度上存在的规律． 17 / 18