八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合-教师版.doc

八年级暑假班 一元二次方程求根公式及解法综合 内容分析 一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用．同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握．通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础． 知识结构 模块一：一元二次方程求根公式 知识精讲 1、 公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 ① 当时， 利用开平方法，得：， 即： ② 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、 求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、 用公式法解一元二次方程一般步骤 ① 把一元二次方程化成一般形式（）； ② 确定a、b、c的值； ③ 求出的值（或代数式）； ④ 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 例题解析 【例1】 求下列方程中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【答案】（1）4；（2）17；（3）236；（4）38． 【解析】（1），则； （2） ，则； （3） 方程可化为一般形式为：，，则； （4） ，则． 【总结】本题主要考查根的判别式的概念及其计算． 【例2】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则，∴； （2），则，则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例3】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴； （2），则，则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例4】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）方程无实数解；（2）方程无实数解． 【解析】（1），则，方程无实数解； （2），则，方程无实数解． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例5】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为：，，则， 则，∴； （2）方程可化为：，则． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用直接开平方法求解． 【例6】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）方程可化为，，则，则 ，∴ （2）两边同时乘以10，方程可化为，，则， 则，∴． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用，（2）也可以用因式分解法求解． 【例7】 当x为何值时，多项式与的值相等？ 【难度】★★ 【答案】8或-5． 【解析】由题意，可得：，整理得：， 因式分解可得：，则． ∴当x为8或-5时，多项式与的值相等． 【总结】本题主要考查一元二次方程在多项式的值相等时求所含字母的取值中的运用． 【例8】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），则，则， ∴原方程的解为：； （2） ，则，则， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例9】 用公式法解方程：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】，则，所以， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例10】 用公式法解关于x的方程：． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】因为，所以当，方程无实数解； 当，方程的解为； 当，方程的解为． 【总结】由于本题中含字母系数，具体取值未知，因此注意需要分类讨论． 【例11】 用公式法解关于x的方程：． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】因为，则， ∴原方程组的解为：． 【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用． 【例12】 观察求根公式，求出的值，并用得到的结果求解： 设a、b是方程的两个实数根，求的值． 【难度】★★★ 【答案】2012． 【解析】由求根公式可得：． ∵a、b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 【总结】本题一方面考查了方程的根的概念及整体代入思想的运用，另一方面考查了一元二次方程中根与系数的关系（韦达定理）． 师生总结 1、 在用求根公式解一元二次方程时首先应考虑什么问题？ 2、 求根公式中，如果，此时、是什么关系？请用字母表示、． 模块二：一元二次方程解法综合 知识精讲 1、 一元二次方程解法总结 ① 开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． ② 因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． ③ 配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． ④ 公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 例题解析 【例13】 口答下列方程的根： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】形如的方程的两个解分别为． 【总结】本题主要考查两个因式的乘积为零时，则每一个因式都为零的应用． 【例14】 用开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）则，开平方得：， ∴原方程的解为：； （2），开平方得：或， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用直接开平方法解一元二次方程． 【例15】 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：； （2），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用提取公因式法求一元二次方程的解． 【例16】 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），用完全平方公式可得：， ∴原方程的解为：； （2）原方程用平方差公式可得：， 整理可得：，∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用公式法求一元二次方程的解． 【例17】 用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1）对原方程十字相乘分解可得：，∴原方程的解为：； （2）对原方程整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （3），整理得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：． 【总结】本题主要考查利用因式分解法求一元二次方程的解，注意（3）和（4）化成一般形式再分解． 【例18】 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）方程无解；（2）方程无解． 【解析】（1），则，配方可得：， 则，所以原方程无解； （2），，所以原方程无解． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解． 【例19】 用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2），． 【解析】（1），整理得：，配方得：， ∴原方程的解为：； （2），配方得：， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方． 【例20】 用配方法解下列关于x的方程： （1）； （2）（）． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1），则，配方得： 当时，， ； 当时，方程无实数根； （2）（），则，整理得：， 配方可得：， 当时，，， 当时，方程无实数根． 【总结】本题主要考查利用配方法求一元二次方程的解，注意配方时方程两边同加一次项系数一半的平方，另此题系数中含有字母，要注意分类讨论． 【例21】 用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）方程无解；（2）方程无解． 【解析】（1）因为，则，所以原方程无解； （2）整理可得：，则，所以原方程无解． 【总结】本题主要考查对求根公式的理解及运用． 【例22】 用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1），； （2），； （3），． 【解析】（1）∵，∴，∴， ∴原方程的解为：，； （2） 整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，； （3）整理可得：，，则，， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根． 【例23】 用公式法解下列关于x的方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）∵，∴当时，，； 当时，原方程无实数根； （2） 原方程可化为：，∵， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用公式法求解一元二次方程的根，注意分类讨论． 【例24】 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2），；（3），； （4），；（5），；（6），． 【解析】（1）直接开平方可得：，∴原方程的解为：，； （2）化简得：，十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； （3），平方差因式分解得：， 整理得：，∴ 原方程的解为：，； （4），提取公因式可得：， 整理得：，∴原方程的解为：，； （5）∵方程，， ∴原方程的解为：，； （6），整理可得， 十字相乘分解得：， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 【例25】 用因式分解法和公式法2种方法解方程：． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】方程可整理成：， 十字相乘分解可得：， ∴原方程的解为：，； 公式法：，∴， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解． 【例26】 如果对于任意两个实数，定义：． 试解方程：． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题意可得：，利用完全平方公式可得：． 【总结】本题主要考查对新定义的理解和运用． 【例27】 已知，求代数式的值． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】 ， ∵，∴， ∴原式． 【总结】本题主要考查代数式的化简求值，不要去解方程，而是用整体代入思想求值． 【例28】 如果x满足，求的值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】，两边同时除以得：， 两边平方可得：， ∴， ∴， ∴． 【总结】本题考查代数式的化简求值，主要是利用完成平方公式的变形以及整体思想求值． 【例29】 用因式分解法和公式法2种方法解关于x的方程： ，（其中p、q为常数，且）． 【难度】★★★ 【答案】，． 【解析】十字相乘法分解可得：， ∴原方程的解为：，； 公式法：∵ ． ∴， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用因式分解和公式法求解一元二次法的解，注意认真分析每一项的系数之间的关系． 【例30】 已知，求的值． 【难度】★★★ 【答案】-4或2． 【解析】∵，∴， 十字相乘分解得：， ∴或． 【总结】本题主要考查利用整体思想求代数式的值，也可进行换元． 【例31】 阅读材料，回答问题 材料：为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为 ① 解得、 当时，无意义，舍去；当时，， ∴原方程的解为、． 问题：（1）在由原方程到方程①的变化过程中，利用 法达到了降次的目的，将关于x的一元高次方程转化为关于y的一元二次方程． （2）解方程：①； ②． 【难度】★★★ 【答案】（1）换元法；（2）见解析． 【解析】（2）①设，原方程可化为，解得：，， 当时，，方程无实数根；当时，，解得：，． ∴原方程的解为、． ②开平方可得：，则或， 设，则方程可化为或， 当，方程无解；当，解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，方程无实数根． ∴原方程的解为，． 【总结】本题属于阅读理解题，主要是理解清楚已知条件中的具体解法，然后再应用在具体的解题过程中． 【例32】 已知a是实数，方程的一个解的相反数是方程的 一个解，求方程的解． 【难度】★★★ 【答案】，． 【解析】设是方程的一个解，则， ∵是方程的一个解，∴， ∴，则． ∴方程的解为，． 【总结】本题综合性较强，主要是考查方程的解概念． 【例33】 对任意实数k，方程，总有一根为1，求m、n的值，并解此方程． 【难度】★★★ 【答案】，；，． 【解析】∵对任意实数k，方程，总有一根为1， ∴对任意实数k，即都成立， ∴且， ∴，． 此时方程为，十字相乘因式分解为 解得：，． 【总结】本题综合性较强，主要是考查对方程的根的理解及运用，并且能通过十字相乘法求解含字母系数的方程的根． 【例34】 关于x的一元二次方程与的根都是整数，求整数m的值． 【难度】★★★ 【答案】1． 【解析】∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴，即且， ∵关于x的一元二次方程有整数根， ∴，即， ∴且． ∵m为整数，∴． 当时，第一个方程的根不是整数，所以整数m的值为1． 【总结】本题综合性较强，主要考查对方程的根的概念的理解． 随堂检测 【习题1】 已知m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【难度】★ 【答案】2． 【解析】m是方程的一个根，则，∴= 2． 【总结】本题主要考查方程的解的定义以及整体代入思想的运用． 【习题2】 已知是关于x的方程的一个根，则 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】∵是关于x的方程的一个根，∴， 解得：． 【总结】本题主要考查方程的解的定义． 【习题3】 用配方法解关于x的方程时，方程可变形为（ ）． A、 B、 C、 D、 【难度】★★ 【答案】B 【解析】注意二次项系数化为1之后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 【总结】本题主要考查对配方法的理解及运用． 【习题4】 用适当方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1），开平方法可得：，∴，； （2），整理得：，求根公式可得：，； （3），提取公因式可得：，∴，； （4），整理得：，，方程无解； （5），平方差因式分解可得：， 整理得：，解得：； （6），整理得：，，∴ ∴，． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 【习题5】 当x为何值时，的值与的值相等？ 【难度】★★ 【答案】4或． 【解析】由题意，可得：，整理得：， 十字相乘法分解可得：， ∴，． 【总结】本题主要考查解一元二次方程在求多项式的值相等时的运用． 【习题6】 二次方程有根0与1，求 的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】∵二次方程有根0与1， ∴，， ∴，， ∴． 【总结】本题主要考查对一元二次方程的根的理解及运用． 【习题7】 已知k是方程的一个根，求代数式的值． 【难度】★★★ 【答案】2017． 【解析】∵k是方程的一个根，∴ ∵ ， ∴． 【总结】本题主要考查对方程的根的理解以及整体代入思想的运用． 【习题8】 解关于x的方程：（）． 【难度】★★★ 【答案】当时，，；当时，． 【解析】原方程可化为， 当时，十字相乘法因式分解为：， ∴原方程的解为：，； 当时，． 【总结】本题主要考查对含字母系数的方程的解法，注意分类讨论，另此题也可以用公式法求解． 【习题9】 解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★★ 【答案】（1），；（2），． 【解析】（1）设，则方程可化为，十字相乘因式分解可得： ，则，． 当时，有，方程无解； 当时，有，解得：，； ∴原方程的解为，； （2），即， 整理得：， 设，则方程可化为， 十字相乘因式分解可得：， 则，， 当时，有，方程无解； 当时，有，解得：，． ∴原方程的解为，． 【总结】本题主要考查利用换元法求解特殊的高次方程的解． 【习题10】 已知关于的方程：，求的值． 【难度】★★★ 【答案】-2或0． 【解析】∵， ∴原方程可变形为：． 十字相乘法分解可得： ∴为或， ∴的值为或0． 【总结】本题一方面考查完全平方公式的变形，另一方面考查整体思想的运用． 课后作业 【作业1】 关于x的方程的一个根是2，那么另一个根是 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】∵方程的一个根是2， ∴，∴． 则原方程为，十字相乘因式分解可得：，， 也可以用韦达定理来解决：两根之乘积为，所以另一个根是． 【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解及运用． 【作业2】 使分式的值等于零的x的值是 ． 【难度】★ 【答案】4． 【解析】∵分式的值等于零， ∴且， ∴． 【总结】本题主要考查解一元二次方程在分式值为零的计算中的运用． 【作业3】 关于x的一元二次方程有两个根和，则这个方程可以是（ ）． A、 B、 C、 D、 【难度】★ 【答案】D 【解析】可求得D的两解符合题意． 【作业4】 按照要求解下列关于x的一元二次方程： （1）（用配方法）； （2）（用配方法）； （3）（用公式法）； （4）（用公式法）． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1），∴，； （2） ，配方得：，∴，； （3） ，，∴，； （4） ，，∴，． 【总结】本题主要考查利用指定方法求一元二次方程的根． 【作业5】 已知，求的值． 【难度】★★ 【答案】15． 【解析】∵， 又， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查代数式化简求值以及整体代入思想的运用． 【作业6】 用适当方法解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】（1），开平方得：， ∴原方程的解为：，； （2），十字相乘因式分解可得：， ∴原方程的解为：，； （3），整理得：，十字相乘因式分解可得： 原方程的解为：，； （4），提取公因式可得：， ∴原方程的解为：， ； （5），平方差公式因式分解可得： ，整理得： ∴原方程的解为：，； （6），整理得：，提取公因式可得：， ∴原方程的解为：，； （7）设，则原方程可化为， 公式法求得：，， 当时，，则； 当时，，则， ∴原方程的解为，； （8），整理得：， 十字相乘因式分解为， ∴原方程的解为：，． 【总结】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 【作业7】 若是一元二次方程的一个根，求m的值． 【难度】★★ 【答案】1． 【解析】∵是一元二次方程的一个根， ∴，整理得：， ∴，，∵，∴． 【总结】本题主要考查对方程的根的概念的理解，注意本题中二次项系数不能为零． 【作业8】 解关于x的方程：． 【难度】★★★ 【答案】，． 【解析】方程十字相乘因式分解可得：， ∴，． 【总结】本题主要考查对含字母系数的一元二次方程的根的求法，此题也可以用求根公式法解方程． 【作业9】 已知，求的值． 【难度】★★★ 【答案】3 【解析】由题意可得：，十字相乘因式分解得：，， 又∵，∴， ∴． 【总结】本题主要是考查对的理解及运用． 29/29