八年级寒假班-01-一次函数的概念及图像-教师版.docx

八年级寒假班 初二数学寒假班 教师 日期 学生 课程编号 课型 新课 课题 一次函数的概念与图像 教学目标 1.理解一次函数的概念 2.会判断两个变量之间的关系是否是一次函数，能用待定系数法确定一次函数的解析式 3.了解一次函数的图像，会用描点法画一次函数的图像，知道平行直线的表达式之间的关系 4.在判断一次函数的过程中体验分类讨论的数学思想 教学重点 1. 理解并掌握能用待定系数法确定一次函数的解析式 2. 正确理解平行直线表达式之间的关系 3. 根据一次函数的图像求解简单的几何问题 教学安排 版块 时长 1 一次函数的概念以及函数解析式的确定 35 2 一次函数的图像画法及图像位置 50 3 一次函数与几何图形简单结合 35 一次函数的概念及图像 知识结构 模块一：一次函数的概念 知识精讲 1、 一次函数的概念 （1） 一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数的定义域是一切实数； （3） 当时，解析式就成为（是常数，且），这时y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例； （4） 一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定． 例题解析 【例1】 （1）一次函数（），当_________时，y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的_________情况． （2）已知函数y =（a2）x+12b是一次函数，则a__________，b_____________． 【难度】★ 【答案】（1）； 特殊； （2）； 取任意实数． 【解析】（1）当时，是正比例函数； （2）对于，当，b为任意函数时为一次函数． 【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、常值函数之间的关系． 【例2】 下列函数中，哪些是一次函数? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（1）、（2）、（6）． 【解析】对于，当，b为任意函数时为一次函数，故答案为（1）、（2）（6）． 【总结】本题考察了一次函数的定义． 【例3】 根据变量x，y的关系式，判断下列函数是什么函数？ （1）； （2）； （3）． 【难度】★ 【答案】（1）一次函数； （2）反比例函数； （3）正比例函数． 【解析】略． 【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、反比例函数的关系． 【例4】 已知一个一次函数，当自变量时，函数值为；当时，．求这个函数的解析式． 【难度】★ 【答案】． 【解析】设， 把代入，得：， 解得：， 所以这个函数的解析式为：． 【总结】本题考察了用待定系数法求函数的解析式． 【例5】 已知一次函数， （1） 求，； （2） 如果f（a）= 4，求实数a的值． 【难度】★ 【答案】（1）－4，； （2）15． 【解析】（1）， ； （2）， ， 解得：． 【总结】本题考察了根据解析式求函数值． 【例6】 已知一次函数，求实数m的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知，得：， 解得：． 【总结】本题考察了一次函数的定义． 【例7】 已知一次函数的图像经过点、，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设，把代入， 得：， 解得：， ． 【总结】本题考察了待定系数法求函数解析式，然后再代入求值． 【例8】 已知两个变量y与x的关系式是，当y是关于x的一次函数时，那么函数是否经过点与点？ 【难度】★★ 【答案】一次函数不经过点（3，5），经过点（－1，－1）； 【解析】由已知得：， 解得：， ∴． 当时，，故一次函数不经过点（3，5）； 当时，，故一次函数经过点． 【总结】本题考察了一次函数的概念以及如何判定点是否在函数图像上． 【例9】 已知y与x的关系式是（其中a是常数），那么y是x的一次函数吗?请说明． 【难度】★★★ 【答案】当时，y是x的一次函数； 当时，y =3，y不是x的一次函数，是常值函数； 【解析】略； 【总结】本题考察了一次函数的概念． 【例10】 已知一次函数解析式为，求实数m的值． 【难度】★★★ 【答案】或或． 【解析】由已知得： 或者 或， 解得：或或． 【总结】本题考察了一次函数的概念，由于题目中已含有一次项，故要从多个角度考虑． 模块二：一次函数的图像 知识精讲 1、 一次函数的图像： 一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式． 画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线． 2、 一次函数的截距： 一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线（）与y轴的交点坐标．直线（）的截距是b． 3、 一次函数图像的平移： 一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移 得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系： 如果，那么直线与直线平行． 反过来，如果直线与直线平行，那么，． 例题解析 【例11】 在下面平面直角坐标系中，利用描点法画下列一次函数的图像： （1）； （2）． 并根据所画的图像求出两个函数交点坐标． 【难度】★ 【答案】如图，交点坐标为（0，）． 【解析】如图，两个函数交于y轴， 将代入任意函数得：， ∴交点坐标为（0，）． 【总结】本题考察了一次函数的图像和交点坐标的求法． 【例12】 若一次函数函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像． 【难度】★ 【答案】； 图像如右图． 【解析】由已知得：， ∴， 图像如图． 【总结】本题考察了一次函数的概念和图像． 【例13】 写出下列直线的截距： （1）； （2）； （3）y4=2（x3）； （4）yx=0． 【难度】★ 【答案】（1）4； （2）； （3）2； （4）0． 【解析】（1）由已知得：截距为4； （2）化简得：，截距为； （3）化简得：，截距为2； （4）化简得：，截距为0． 【总结】本题考察了截距概念，注意写截距时要带着前面的符号，截距可正可负可为0． 【例14】 若一次函数y = k(x+1)2的图像在y轴上的截距是4，求这个一次函数的解析式． 【难度】★ 【答案】． 【解析】化简得：， ∴， 解得： ∴这个一次函数的解析式为：． 【总结】本题考察了截距的概念以及利用截距求函数解析式． 【例15】 若直线y = kx+b与直线y=2x3无交点，且直线y = kx+b的截距是9，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知得：， ∴这个一次函数的解析式为：． 【总结】本题考察了两直线的位置关系和截距的概念，从而求出函数的解析式． 【例16】 某一次函数解析式向下平移5个单位可得， （1）求该一次函数的解析式； （2）求把原来一次函数向上平移个单位后得到的解析式． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）根据平移的性质，可得：， ∴； （2）根据平移性质，得新的解析式为：． 【总结】本题考察了函数的平移． 【例17】 若把函数y=2x1的图像向下平移2个单位，再向左平移1个单位，求平移后的函数解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知得：， ∴平移后的函数解析式为：． 【总结】本题考察了函数的平移，函数的平移遵循的原则是：上加下减，左加右减； 【例18】 根据下列条件，求解相应的直线表达式． （1） 直线经过点（3，2）以及点（1，1）； （2） 直线经过点（7，0）以及截距是14； （3） 直线经过点以及截距是． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）设，代入（3，2） 和（1，1）， 得：， 解得：， ∴该直线的表达式为：； （2）设，代入（7，0） 得：，解得：， ∴该直线的表达式为：； （3）设，代入（－3，0） 得：，解得：， ∴该直线的表达式为：． 【总结】本题考察了利用待定系数法求函数解析式． 【例19】 已知直线经过点和点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】（1）由已知，代入和点， 得：， 解得：， ∴这个一次函数的解析式为：． 【总结】本题考察了利用待定系数法求函数解析式． 【例20】 根据已知条件求出一次函数解析式： （1） 与直线平行，且截距是2017； （2） 经过点，且与直线平行； （3） 与直线平行，且与x轴交点离原点距离为1． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】（1）由已知得，一次函数解析式为：； （2）设，代入（1，－1） ，得：，解得：， ∴一次函数解析式为： （3）由已知得：直线与x轴交于（1，0）或（－1，0） 设， ① 代入（1，0）， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； ② 代入（－1，0）， 得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：． 【总结】本题考察了利用待定系数法求函数解析式，注意对题目中的条件认真分析，第（3）题有两种情况，要分析清楚． 【例21】 某函数解析式通过向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得直线，求该函数的解析式，并求出其截距． 【难度】★★★ 【答案】；截距是 ． 【解析】将向右平移1个单位，向下平移4各单位， 得原解析式为：， ∴ ， ∴截距是． 【总结】本题考察了函数的平移，平移规律是：上加下减，左加右减，注意逆向思考． 【例22】 已知一次函数的图像与y=2x5相交于点B，两个函数分别与x轴相交于A、C两点，求△ABC的面积． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】令y=0得：点A(1，0)、C（，0）， 联立， 得：点B（－6，7）， ∴． 【总结】本题考察了一次函数的交点坐标以及三角形的面积问题，将点的坐标转化为线段的长． 模块三：简单的数形结合 知识精讲 1、一次函数（，是常数，且）与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，当时，一次函数与坐标轴围成的三角形为直角三角形，且其面积公式为． 例题解析 【例23】 根据下列函数解析式，判断其是否能与坐标轴围成三角形，如果能，请求出该三角形的面积． （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2） 1； （3）； 【解析】（1）能，； （2）能，； （3）能，． 【总结】本题考察了一次函数与坐标轴围成三角形的面积，公式为：． x y O 【例24】 已知直线与坐标轴围成的三角形面积为18，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知得：， 解得：． 【总结】本题考察了一次函数与坐标轴围成三角形的面积，注意不要漏解． 【例25】 求下列两组一次函数的交点坐标： （1）与； （2）与． 【难度】★★ 【答案】（1）（，）； （2）（－2，）． 【解析】（1）联立， 解得：， ∴交点坐标为：（，）； （2）联立：， 解得：， ∴交点坐标为：（－2，）． 【总结】本题考察了函数交点坐标的求法． 【例26】 如图，直线AC与直线BD交于点E，其中点、点、点， A B C D E O y x 点，求出△ABE的面积． 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】设AC所在直线： 代入和得：， 解得： ∴； 设BD所在直线：， 代入和得：， 解得： ∴； 联立：， 解得：， ． 【总结】本题考察了待定系数法求函数解析式和函数交点坐标，从而求出三角形的面积． 【例27】 已知两条直线和. （1）求出它们的交点坐标； （2）求出这两条直线与轴围成的△ABC的面积． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）联立：， 解得：， ； （2）令，得：和， ∴． 【总结】本题考察了函数交点的坐标及围成三角形面积． 【例28】 如图，已知一条直线经过点A（0，4）和点B（2，0），将这条直线向左平移与x负半轴、y负半轴分别交于点C、D，使得BD=CD，求CD所在直线的函数解析式． C D A B x y 【难度】★★ 【答案】． 【解析】设直线AB的解析式为：， O 代入A（0，4）点B（2，0），得， 解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵， ∴，∴可由向左平移4个单位得到， ∴， 即． 【总结】本题综合性较强，考察了待定系数法和函数平移的综合运用． 【例29】 如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)． （1）求该函数的解析式； （2）若O为坐标原点，设AB、OA的中点分别为D、C，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时点P的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）， P（0，1）． 【解析】（1）由已知， 代入A（2，0）、点B（0，4）， 得 解得：， ∴函数的解析式为：； （2）如图，点C的对称点，联结，交y轴与点P， 此时PC＋PD=最小． ∵D、C、O分别为AB、OA、的中点， ∴CD//BO． ∴D(1，2)， P（0，1）， ∴=． 【总结】本题综合性较强，一方面考察了待定系数法求函数解析式和另一方面考查了线段和最小值的求法，解题时注意认真分析． 【例30】 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点，点，一次函数图像与轴的交点为C． （1）求点A、B的坐标； （2）求一次函数的解析式； （3）求△ABO的面积． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）把和代入，得：，∴； （2）设，代入A（1，2）点B（－2，－1），得： 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （3）由得：， ∴ 【总结】本题考察了待定系数法求函数解析式，从而求出交点坐标确定出三角形的面积． 随堂检测 【习题1】 下列说法正确的是（ ） A．正比例函数是一次函数 B．一次函数是正比例函数 C．正比例函数不是一次函数 D．不是正比例函数就不是一次函数 【难度】★ 【答案】A． 【解析】正比例函数是一次函数的特殊形式，对于y=kx＋b，当b=0时，为正比例函数，故 选择A． 【总结】本题考察了正比例函数和一次函数的关系． 【习题2】 已知函数，当________时，它是一次函数；当_______时，它是正比例函数． 【难度】★ 【答案】； ． 【解析】（1）函数为一次函数时：，即； （2）函数为正比例函数时：，即． 【总结】本题考察了一次函数和正比例函数的概念． 【习题3】 根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数? （1） ； （2）； （3）； （4） ； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（1）、（3）、（4）是一次函数；（2）、（5）、（6）不是一次函数． 【解析】（1）、（3）、（4）可以化为，是一次函数；（2）、（5）、（6） 不能化为，故不是一次函数． 【总结】本题考察了一次函数的概念． 【习题4】 当m为何值时，函数是一次函数． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由已知得：， 解得：． 【总结】本题考察了一次函数的定义． 【习题5】 在同一直角坐标系内画出下列一次函数图像： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】如右图． 【解析】如右图． 【总结】本题考察了函数图像的画法：列表、描点、连线． 【习题6】 已知一次函数， （1）求，； （2）如果，求实数a的值； （3）求该一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）； ； （2）由，解得：； （3）． 【总结】本题考察了根据解析式求函数值及自变量的值． 【习题7】 在同一坐标系中，对于函数①，②，③，④的图象，通过点（-1，0）的是___________，相互平行的是__________，两条函数图像交点在y轴上的是___________．（填写序号） 【难度】★★ 【答案】①②④； ①③； ②③． 【解析】（1）代入（-1，0），①②④成立，故通过（-1，0）的是①②④； （2）k值相等的是①③，故相互平行的是①③； （3）b值相等的是②③，故交点在y轴上的是②③． 【总结】本题考察了一次函数的图像性质． 【习题8】 已知直线l与直线的交点的横坐标为2，与直线的交点的纵坐标为1，求直线l的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知得：直线l经过（2，5）和（1，1），设， 代入（2，5）和（1，1），得， 解得：， ∴直线l的函数关系式为：． 【总结】本题考察了待定系数法求函数解析式． 【习题9】 根据下列要求求一次函数解析式： （1） 一次函数经过A且其与y轴的截距为-2； （2） 一次函数的截距为-5，且与无交点； （3） 一次函数的图像经过原点，且其经过A． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】（1）设，代入(2，3)，得，解得：， ∴该一次函数解析式为：； （2）由已知得，该一次函数解析式为：：； （3）设，代入(a，3a)得：， 解得：，∴该一次函数解析式为：． 【总结】本题考察了待定系数法求函数解析式． 【习题10】 一次函数和的图象与y轴分别交于点P和点Q，若点P与点Q关于x轴对称，则m=______． 【难度】★★ 【答案】－1． 【解析】由已知得：、 ∵点P与点Q关于x轴对称， ∴， 解得：； ∵， ∴， ∴． 【总结】本题考察了求一次函数与坐标轴的交点坐标，及两点关于坐标轴对称的特征． 【习题11】 当k为何值时，直线与直线的交点在第四象限? 【难度】★★ 【答案】． 【解析】联立：， 解得：， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 【总结】本题考察了函数的交点坐标及不同象限的符号问题． O A B C x y 【习题12】 如图，△ACB是边长为6的等边三角形，求： （1）点A的坐标； （2）求直线AC、AB的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）； ； 【解析】（1）由已知得：， ， ∴，∴； （2）设AC所在直线： 代入C（3，0）得：， 解得：， ∴； 设AB所在直线： 代入B（－3，0）得：， 解得：， ∴． 【总结】本题主要考察了利用等边三角形的性质求出线段长度，从而转化为点的坐标，再根据待定系数法求出函数解析式． 【习题13】 一次函数与正比例函数的图象经过点， （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积； （3）求这两个函数的图象与y轴围成的三角形的面积． 【难度】★★★ 【答案】（1），；（2）； （3）4． 【解析】（1）分别代入（2，－1），得：， ， ∴一次函数解析式为：， 正比例函数解析式为：； （2）令y=0得两个函数与x轴交点分别为：和（0，0）， 联立 ， 解得：， ∴； （3）令x=0得两个函数与y轴交点分别为：和（0，0）， ∴． 【总结】本题考察了待定系数法及一次函数与坐标轴围成的三角形的面积求法． 【习题14】 如图所示，直线L1的解析表达式为，且L1与x轴交于点D，直线L2经过点A，B，直线L1，L2交于点C． （1）求点D的坐标； （2）求直线L2的解析表达式； （3）求△ADC的面积； （4）在直线L2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与 △ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）D（1，0）； （2）；（3）； （4）． 【解析】（1）令y=0得，∴ D（1，0）； （2）由A（4，0）和B（3，－1.5），得：：； （3）联立：， 得：， ∴， ∴； （4）∵△ADP与△ADC的面积相等，∴P点的纵坐标为3， ∴点P的坐标为． 【总结】本题考察了一次函数和几何的综合，解题时要注意数形结合，另外还考查了同底的三角形面积相等时，说明同底边上的高相等． 【习题15】 已知直线的图象与x轴、y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式． 图1 【难度】★★★ 【答案】或． 【解析】由已知得：、， （1）如图1，当时， ∴， ∴， 代入得：， ∴； 图2 （2）如图2，当时， ∴ ∴ 代入得： ∴． 综上，直线l的解析式为或． 【总结】本题考察了直线分三角形的面积，注意没有确定比的前项和后项时，要分类讨论． 课后作业 【作业1】 判断下列函数类型： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（1）一次函数； （2）反比例函数； （3）一次函数； （4）正比例函数；（4）一次函数； （6）正比例函数． 【解析】略． 【总结】本题考察了几种常见函数的定义及其特征． 【作业2】 已知，求： （1）； （2）若，求的值． 【难度】★ 【答案】（1）； ； （2）6． 【解析】（1）； ； （2）由已知得：，解得：． 【总结】本题考察了利用解析式求出变量的值． 【作业3】 在同一坐标系内画出下列一次函数图像：（1）；（2）； 【难度】★ 【答案】如右图． 【解析】如右图，利用列表、描点、连线画图． 【总结】本题考察了函数图像的画法． 【作业4】 一次函数的图象与x轴交点坐标是__________，与y轴交点坐标是__________，与坐标轴围成的三角形面积是___________． 【难度】★ 【答案】（2，0）； （0，4）； 4． 【解析】易得：与x轴交点坐标是（2，0）；与y轴交点坐标是（0，4）； ∴． 【总结】本题考察了一次函数的交点坐标及围成三角形的面积． 【作业5】 函数的图像是一条倾斜的直线，求m的值． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由已知得：， 解得：． 【总结】本题考察了一次函数的定义和图像． 【作业6】 根据下列条件求解相应函数解析式： （1） 直线经过点且与x轴无交点； （2） 直线的截距为且经过点． 【难度】★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）； （2）设，把代入，得：， 解得：， ∴． 【总结】本题考察了一次函数和常值函数的意义和求法． 【作业7】 直线与坐标轴只有一个公共点，且其还经过，求的值． 【难度】★★ 【答案】1或． 【解析】因为直线与坐标轴只有一个公共点， 所以为常值函数或者正比例函数． 当为常值函数时，则， ∴； 当为常值函数时，则， ∴． 综上所述，的值为1或． 【总结】本题考察了对函数图像与坐标轴只有一个公共点的理解，注意分类讨论． 【作业8】 直线与直线平行，且与直线相交，交点在y轴上，求此直线的解析式． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由已知得：， ∴此直线的解析式为：． 【总结】本题考察了一次函数间的关系，当两直线平行时，k值相同； 当两直线交于y轴同一点时，截距b相同． 【作业9】 把直线先向上平移个单位，求平移后的函数与坐标轴所围成的三角形面积． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】平移后的函数解析式为：， 所以此函数与坐标轴的交点坐标分别为：和， ∴平移后的函数与坐标轴所围成的三角形面积为． 【总结】本题考察了函数的平移和函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【作业10】 如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），B为一次函数与y轴的交点，且OA=OB． （1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【难度】★★ 【答案】（1）； ； （2）． 【解析】（1）由已知得：OA=OB=5，∴B(0，－5)， ∴，； （2）． 【总结】本题考察了函数与几何的综合． 【作业11】 一次函数的截距为2，且其与坐标轴所围成的三角形面积为1，求该一次函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 或 ． 【解析】由已知得：b=－2， ∴， 解得：， ∴ 或 ． 【总结】本题考察了一次函数围成的三角形面积，注意已知面积求坐标或解析式时要分类讨论． 【作业12】 一次函数的图像与坐标轴所围成的三角形面积为2，且其经过，求该一次函数解析式． 【难度】★★★ 【答案】或或． 【解析】设， ∴， ∴． （1）时，， 解得：； （2）时，， 解得：， 综上：或或 【总结】本题综合性较强，主要考察了由面积求函数解析式的问题，注意要分类讨论． 29 / 29