八年级春季班-11-特殊的平行四边形-学生版 -马秋燕.docx

八年级春季班 特殊的平行四边形 内容分析 平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊性得到正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形． 从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图形又是轴对称图形．计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算．尤其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形，即较短的边长是对角线长的一半．当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究． 知识结构 模块一：矩形 知识精讲 知识点1：矩形 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 2. 性质： 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意： (1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 3. 判定： 矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 例题解析 【例1】 下列命题中真命题是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是矩形； C．四条边都相等的四边形是矩形； D．四个内角都相等的四边形是矩形； 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 已知四边形是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中 正确的是（ ） A．当AB=BC时，四边形是矩形 B．当时，四边形是矩形 C．当OA=OB时，四边形是矩形 D．当时，四边形是矩形 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 （1）矩形的两条对角线的夹角为，则对角线与较短边之比是 _________； （2）已知在矩形ABCD中，AB=2BC，在CD上取一点E，使AE=AB，则∠EBC=_________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】 矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为__________平方厘米． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F O 【例5】 如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，于点E， 于点F，求证：BE=CF． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例6】 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点， PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例7】 已知：若从矩形ABCD的顶点C作BD的垂线交BD于E，交∠BAD的平分线于F． 求证：△CAF是等腰三角形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例8】 已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CF． A B C D E F 求证：AF⊥CF． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例9】 如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合， 求折叠EF的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例10】 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点处， 交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为 ________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例11】 将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH， A B C D E F G H M N 若EH=3，EF=4，求的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块二：菱形 知识精讲 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 性质： 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 3. 判定： 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例题解析 【例12】 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为菱 形的是( ) A．AB=AD B．AC⊥BD C．∠A=∠D D．CA平分∠BCD 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例13】 下列命题中，真命题是 ( ) A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形　 C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例14】 （1）菱形的两条对角线长的比是，边长为10厘米，菱形的面积是_________； （2）菱形的两条对角线长的比是2:3，面积是12cm2，则它的两条对角线的长分别是_____cm、_____cm，该菱形的周长是_______cm． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例15】 （1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为 _________； （2）如图，在菱形中，，，则 ． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例16】 如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=6，P是AC上一动点(P与C不重合)，PE//BC 交AB于点E，PF//CD交AD于点F，连结EF，求图中阴影部分的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例17】 如图，在中，是对角线的中点，过点作的垂线与边、 分别交于点、． 求证：（1）；（2）四边形是菱形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 如图是菱形对角线的交点，作，，、交于点， 四边形是矩形吗?证明你的结论． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例19】 如图，矩形纸片中，，，将纸片折叠，使得点与点重合， 折痕为． （1）求证：四边形是菱形； （2）求菱形的边长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例20】 如图， 中，，，平分交于， 交于．求证：四边形是菱形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例21】 如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上， 则PE+PC的最小值为________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例22】 如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且 满足AE+CF＝2． （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例23】 已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重 合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE． （1）如图1所示，当点D在线段BC上时， ①试说明：△AEB≌△ADC ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由． （2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边 形，并说明理由． （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理 A B C D E F G A B C D G E 由． 图1 图2 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 模块三：正方形 知识精讲 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对 角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 例题解析 【例24】 下列四个命题中真命题是（ ） A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线垂直且相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．四边都相等的四边形是正方形 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例25】 如果要证明平行四边形为正方形，那么我们需要在四边形是平行四 边形的基础上，进一步证明（ ） A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例26】 在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形.其中既是轴 对称图形又是中心对称的图形有（ ） A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例27】 （1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则度 数是 ； （2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点， A B C D E O （2） （1） CE=BD，∠ECB的度数是_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例28】 如图，正方形ABCD的对角线AC上截取CE=CD，作EF⊥AC交AD于点F． A B C D E F 求证：AE=EF=FD． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例29】 如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点，BF⊥AE，垂足为G，交CD A B C D E F G 于点F．求证：AE=BF． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例30】 已知：正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE⊥AF于E，交AD于M． A B C D E F M 求证：∠MFD=45°． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D P Q 【例31】 已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD． 求证：AP=PC+BC． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例32】 已知：在正方形ABCD中，M为AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE并交MN A B C D E M N 于N．求证：MD=MN． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例33】 已知：AE为正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E， A B C D E F O AC、BD相交于O．求证：OF=CE． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例34】 如图所示，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AP⊥EF于点P．求证：AP=ABA B C D E F P ． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例35】 正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形， A B C D E F G H P P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍， 求∠HAF的大小． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例36】 如图，在正方形中，点在边上（点与点、不重合），过点作， 与边相交于点，与边的延长线相交于点． （1）由几个不同的位置，分别测量、、的长，从中你能发现、、的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论． （2）联结，如果正方形的边长为2，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）如果正方形的边长为2，的长为，求点到直线的距离． （备用图） 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 【习题1】 四边形的对角线与交于点． ①若，则平行四边形是 形； ②若，则平行四边形是 形； ③若，则平行四边形是 形； ④若，则平行四边形是 形． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 ( ) A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形 C．当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AC=BD是，它是正方形 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题3】 .在菱形中，对角线相交于点为的中点，且，则 菱形的周长为 ( ) A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题4】 把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ） A．110° B．115° C．120° D．130° 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题5】 如图，正方形中，为边上的一个动点，延长至，使， 联结，与相交于点，下列结论正确的个数是（ ） ①； ②；③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题6】 如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点 A B C D E F F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 A B C D E F H P G 【习题7】 如图所示，正方形ABCD中，EF⊥GH于点P．求证：EF=GH． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题8】 如图，在线段上取一点，使，以、为边在同侧作正方 形和，在上取，在的延长线上取一点，使． 求证：四边形为正方形． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题9】 如图所示，菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、 BC、CD、DA上的点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分 别为、上的点，且． 求证：（1）． （2）、分别在、延长线上，，四边形与正方形 重合部分的面积等于． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【习题11】 如图1所示，在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、点D恰好落 在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN． （1）求证：△AND≌△CBM （2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形．四边形MFNE是菱形吗？请 说明理由． （3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图2所示， 若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4，BC=3，求PC的长度． A B C D E F P Q N M N M A B C D E F 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 图1 图2 课后作业 【作业1】 已知在四边形中，与相交于点，那么下列条件中能判定这个四 边形是正方形的是（ ） A．， ， B．， C．， D．，， 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 下列命题中，真命题是（ ） A．菱形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线互相垂直平分 C．对角线相等且垂直的四边形是正方形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 现有以下四个命题： ①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直 角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ） A． ①② B．③④ C． ③ D． ①②③④ 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业4】 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BD 于E，延长AF，EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH； ④BE＝3ED.正确的是（ ） A．②③ B．③④ C．①②④ D．②③④ 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 如图，矩形ABCD的长为a，宽为b，如果，则＝（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业6】 如图，将矩形ABCD(AB<AD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于 A B C D E F 点F． （1）若AB=4，BC=8，求DF的长； （2） 当DA平分∠EDB时，如果AB=3，求BC的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业7】 如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC上的中点， 将点C折到MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连结PQ． 求：（1） MP的长；（2）PQ的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业8】 如图所示，在菱形ABCD中，∠D=∠EAF=60°，∠BAE=20°． F A B C D E 求∠CEF的度数． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业9】 如图所示，设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点，且CM与BN交 A B C D M N P 于点P，求证：PA=AB． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业10】 如图，已知P为矩形ABCD内一点，PA＝3，PD＝4，PC＝5，求PB的长． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业11】 （1）如图（1）所示，点E是正方形ABCD的边AD上一点，BF平分， 交CD于点F，求证：； （2）如图（2）所示，在正方形ABCD中，点E在DC的延长线上，点F在CB的延长 线上，，求证：． A B C D E F A B C D E F 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业12】 如图（1）所示，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起 组成的平面图形．如图（2）所示，点P是边BC上一点，PH⊥BC交BD于点H，连接AP交BD于点E，点F为DH中点，连接AF； （1）求证：四边形ABCD为正方形； （2）当点P在线段BC上运动时，∠PAF的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF的值；若变化，请说明理由； （3）求证：． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 25 / 26