13---图形的周长与面积-南方校区-赵亚茹（学生版）-金桥审核.docx

专业 引领 共成长 图形的周长与面积 模块一：基本图形的周长 知识精讲 1、三角形：三边之和 2、正方形：C=4a 3、长方形：C=2(a+b) 常用方法总结： （1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解． （2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形． （3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法． （4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段． 几个重要的解题思想 （1）平移 在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意． （2）割补 割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变． （3）旋转 在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题． （4）对称 平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助． （5）代换 在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧． 小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力． 经典例题 【例1】已知如下图，一个六边形的6个内角都是120º，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米。求这个六边形的周长。 【例2】求图中所有线段的总长(单位：厘米) 【例3】三只猴子走得一样快，所走的路线如下图。哪只猴子先吃到桃子，就在它旁边的( )里画勾。 【例4】用一块长分米，宽分米的长方形纸板与两块边长分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的正方形的周长是多少分米？ 【例5】用若干个边长都是厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？ 【例6】（第六届走美四年级初赛第15题）E是正方形ABCD的边CD上的三等分点(如图)，BE把正方形分成一个梯形和一个三角形．梯形的周长比三角形的周长大8厘米．正方形ABCD的面积是 ． 【例7】如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和． 【例8】如图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成9个小长方形。这9个小长方形的周长之和是 厘米。 【例9】将若干个边长为的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图形，如图： 那么，要拼接成周长等于的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形． 【例10】如图3所示，这是三个边长为10厘米的正方形纸片。从（1）和（2）中各剪去一个面积是4平方厘米的小正方形，从（3）中剪去一个面积是4平方厘米的长方形。比较（1），（2），（3），剩下部分周长最小的是_________（填图形编号），它的周长是_________厘米。 【例11】一个长为厘米，宽为厘米的长方形，挖去一个边长为厘米的正方形补在另一边上（如图）。所得图形的周长为 厘米。 【例12】如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？ 【例13】将边长为10厘米的六张正方形纸片如图那样放置，每张小正方形纸片被盖住的部分是一个较小的正方形，它的边长是原正方形边长的一半，则图中的图形外轮廓（图中粗线条）的周长为___________厘米。 【例14】两只小蚂蚁同时从图中的点出发开始爬向点，红蚂蚁沿图中的实线爬行，黑蚂蚁沿图中虚线爬行，如果两只蚂蚁的爬行速度相同，则最先到达点的是 ． 【例15】(第七届”小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是 ．(在横线上填写表示图名的字母) 【例16】如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙．甲的边长为厘米，乙的边长是甲的周长的倍，丙的周长是乙的周长的倍，那么丙的周长为多少厘米？长多少厘米？ 模块二：基本图形的面积 知识精讲 平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积公式有： （1）三角形：，其中表示三角形一条底边上的高； （2）正方形：， （3）长方形： （4）平行四边形： （5）梯形： 引言：随着小升初考察难度的增加，几何问题变越来越难，一方面，几何问题仍是中学考察的重点，各学校更喜欢几何思维好的学生，这样更有利于小学和初中的衔接；另一方面几何问题由于类型众多，很多知识点需要提前学，这就加快了学生知识的综合运用，而这恰恰是重点中学学校所期望的。所以近几年的几何难度年年在增加，很多学校的考题可以说超出小学的范围，本节主要是通过分析例题来讲解其中的相关知识点和解题思维。 例题解析 【例1】如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 【例2】四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米. 【例3】如图在长方形ABCD中，△ABE、△ADF、四边形AECF的面积相等。△AEF的面积是长方形ABCD面积的______ (填几分之几)。 。 【例4】如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____ 【例5】右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米． 【例6】一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟．请你想一想修剪北部需要多少分钟？ 【例7】如图，已知四边形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD与AD垂直，则四边形的面积等于多少？ 【例8】将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？ 【例9】如图，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的5/12，②号正方形的边长是长方形宽的1/8。那么，图中阴影部分的面积是多少？ 【例10】如图，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD的面积为多少平方厘米？ 【例11】如图，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ [方法一]：公共部分的运用，这是小升初的常用方法，熟练找出公共部分是解题的关键。 【例12】如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。 【例13】三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2，CD＝2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 拼接法 【例14】如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 【例15】如图，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB，BC的中点。则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米？ 【例16】图是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米。问：阴影部分面积是多少平方厘米？ 【例17】在三角形ABC的各边上，分别取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA长的三分之一，如果三角形DEF的面积为2平方厘米，求三角形ABC的面积是多少？ 【例18】在图中，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，且AF＝CE，BG＝DE，当四边形ABCD的面积为25平方厘米时，三角形EFG的面积是多少？ 【例19】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是________平方厘米。 【例20】直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，求三角形ADE的面积是多少？ 【例21】如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？ 模块三：圆和扇形的初步认识 1、圆和圆周长 1）圆的几个要素：圆心O、半径，直径． 2）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长．计算公式：，也可表示为． 2、弧与弧长 1）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号“”表示，如以A，B为两端点的弧，记作，读作弧，如图中的又称作半圆． 2）圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图中的∠AOB称为圆心角． 3）弧长计算公式：． 3、圆的面积计算公式： 4、扇形 1）扇形概念：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，图中的扇形记作扇形OAB． 2）扇形的面积公式一：（理解记忆：） 公式二：（其中为扇形的弧长，为扇形的半径） 3）扇形统计图：用圆的面积表示一组数据的整体，用圆中扇形面积与圆面积的比来表示各组部分在总体中所占的百分比的统计图，也叫“饼形统计图”． 经典例题 【例1】要画一个周长为28．26cm的圆，应该用圆规的两脚在直尺上量取（ ）． A．9cm B．3cm C．4．5cm D．1．5cm 【例2】如果圆的半径增加3cm，那么圆的周长增加____ ____厘米． 【例3】在半径为10厘米的圆中，72°圆心角所对的弧长是多少厘米？ 【例4】小明骑车到A、B和C三个景点旅游，如果从A地出发经过B地到C地，共行10千米；如果从B地出发经过C地到A地，共行13千米；如果从C地出发经过A地到B地，共行11千米，则距离最短的两个景点之间相距 千米。 【例5】求下图中阴影部分的周长 【例6】一个圆半径从3厘米增加到4厘米，面积增加了_____（结果保留）． 【例7】在一个长8米，宽6米的长方形花坛中，建一个最大的圆形花坛，圆形花坛内种美人蕉，圆形花坛外种月季，问两种花种植面积各是多少平方米？ 【例8】 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 【例9】 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的周长与面积。 【例10】如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度? 【例11】计算阴影部分的周长。 【例12】现有两根圆木，横截面直径都是2分米，如果把它们用铁丝捆在一起， 两端各捆一圈（接头不计），那么应准备多长的铁丝？ 【例13】求右图外圆的周长。（单位：分米） 【例14】求右图阴影部分的周长。 【例15】如右图，已知正方形面积是60平方厘米，求圆的面积。 【例16】已知右图中阴影部分的面积是300平方厘米，求圆的面积。 【例17】已知右图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。 解析：阴影面积就是大正方形边长的平方-小正方形边长的平方，也就是大圆半径的平方-小圆半径的平方，所以3.14×40就是圆环面积 【例18】右图中平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 【例19】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【例20】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，小正方形边长为4，那么阴影部分面积是多少？ 【例21】如下图所示，是半圆的直径，是圆心，，是的中点，是弦的中点．若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米． 【例22】如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积． 【例23】如图，直角三角形中，为直角，且厘米， 厘米，则在将绕点顺时针旋转的过程中，边扫过图形的面积 为 ． 图形的周长与面积（教师版） 24 / 24