7年级春季班第12讲：全等三角形的综合 -教师版.docx

七年级春季班 初一数学春季班（教师版） 教师 日期 学生 课程编号 12 课型 复习课 课题 全等三角形的综合 教学目标 1．利用全等三角形的判定和性质进行证明边角关系； 2．能够添加合适的辅助线解决全等三角形的相关问题． 教学重点 正确的添加辅助线解决全等三角形的相关问题． 教学安排 版块 时长 1 全等三角形判定的综合 30min 2 添加辅助线构造全等三角形 50min 3 随堂检测 20min 4 课后作业 20min 全等三角形的综合 内容分析 本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大． 知识结构 模块一：全等三角形判定的综合 知识精讲 全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题． 例题解析 A B C D E 【例1】 已知：AE＝ED，BD＝AB，试说明：CA＝CD． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】在△ABE与△DBE中， ， ， ， ． 在△ACE与△DCE中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用． 【例2】 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，试说明：AE＝DE． A B E C D 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（S.S.S）， ∴∠ABC=∠DCB． 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（S.A.S）， ∴AE=DE（全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用． A B C D E F O 【例3】 已知：AB∥CD，OE＝OF，试说明：AB＝CD． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】，． （全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用． 【例4】 如图：A、E、F、C四点在同一条直线上，AE=CF，过E、F分别作BE⊥AC、 A B C D E F G DF⊥AC，且AB=CD，AB∥CD．试说明：BD平分EF． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】∵AB∥CD，∴∠A=∠C． 在△AGB和△CGD中， ∴ΔAGB≌ΔCGD(AAS)， ∴BG=DG． ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠BEG=∠DFG=90°． 在△BGE和△DGF中， ∴ΔBGE≌ΔDGF(A.A.S)， ∴GE=GF， 即BD平分EF． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用． A B C D E F 【例5】 如图，已知AD=AE，AB=AC．试说明：BF=FC． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 ，， ． ． ， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的应用． 【例6】 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点， A B C D E F G H AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G． 试说明：BD＝CG． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 ． ． ． ． ． ，，． ，． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用． 【例7】 如图1，△ABD和△AEC中，AB=AD=BD，AE=EC=AC，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是___________； （2）观察图2，当△ABD和△AEC分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是 否会改变； （3）观察图3和图4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形，猜想类似的结论是______， 在图4中证明你的猜想； （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明），如图5，BB1与EE1的关系 是_________；它们分别在哪两个全等三角形________________；请在图6中标出较小的 正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点，能构造出两个全等三 A B C D E 图1 A B C D E 图2 A B C D E F G A B C D E F G 图4 图3 A B C D E B1 E1 A B C D E F 图6 图5 角形? 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）不变；（3），证明见解析； （4），，连接FF1，可证． 【解析】（3）如图4， ． 在△ADE和△CDG中， ， 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理和性质定理的综合应用． 【例8】 已知△ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm，，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线 段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △BPD与△CQP全等? （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时 A B C D P Q 出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC 的哪条边上相遇？ 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）①全等，理由如下： ． 在△BPD和△CQP中，， ． ②． ． ． （2）， ， 解得：． 此时点P的运动路程为24厘米． 因为， 所以． 即 【总结】本题综合性加强，主要考查了动点与全等三角形判定定理和性质定理的结合， 解题时注意分析动点的运动轨迹． 模块二：添加辅助线构造全等三角形 知识精讲 1、 倍长中线法； 2、 添加平行线构造全等三角形； 3、 截长补短构造全等的三角形； 4、 图形的运动构造全等三角形． 例题解析 【例9】 已知三角形的两边分别为5和7，求第三边上的中线长x的取值范围． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】． ∵AD是BC边上中线， ∴BD=CD． 在△BDE与△CDA中， ∴， ∴． 在中，∵， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线及三角形三边关系的综合应用． 【例10】 在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE＝EF，试说明：BF＝AC． A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ∵AD是BC边上中线， ∴BD=CD． 在△BDG与△CDA中， ∴， ∴． ． ， ， ． 【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解． 【例11】 如图所示，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF． 试说明：AE=EF． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ∵AD是BC边上中线， ∴BD=CD． ． ． 【总结】本题中一方面主要考查了辅助线的添加，另一方面考查了等腰三角形的性质的运用，教师可选择性讲解． 【例12】 已知：如图所示，△ABC中，D为BC上一点，AB=AC， ED=DF， 试说明：BE=CF． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】，则． ． ． 在△EMD与△FCD中， ． 【总结】本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例13】 △ABC中，AB=AC，E为AC延长线交于一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．试说明：GD=GE． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ． ． ． 在△DGF与△EGC中， ． 【总结】 本题主要考查了平行线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例14】 己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是射线BC上任一点， PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，试说明PE、PF与CD的关系． F E D C A B P F E D C A B P 【难度】★★ 【答案】当点P在线段BC上时，； 当点P在BC的延长线上时，． 【解析】（1）当点P在线段BC上时，连接AP， ， ． ， ． ， ； （2）当点P在BC的延长线上时，连接AP， ， ． ， ． ， ． 【总结】本题主要考查了利用三角形的面积关系说明线段间的关系． 【例15】 已知，如图在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，BC>AB，∠A+∠C=180°． 试说明：AD=CD． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ， 则． ． ， ， ． ， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加． 【例16】 已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF．试说明：∠ADB=∠CDF． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ． ． 在△BAM与△ACF中，， ． ． 在△AMD与△CFD中，， ． 【总结】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例17】 如图，BC∥AD，EA、EB分别平分∠DAB、∠CBA，CD过点E，试说明：AB＝AD+BC． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ． ，． ． ． 【总结】本题主要考查截长补短辅助线的运用． A B C D 【例18】 如图，在中，，，平分． 试说明:． 【难度】★★ E 【答案】见解析． 【解析】，连接DE． ． ． ． ， ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质定理及三角形内角和定理的应用． 【例19】 如图，已知中，是的角平分线，． 试说明：． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． 在△AMD与△CFD中， ． ． ． ． 【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例20】 在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AB>AD，DC=BC． F A B C D 试说明：． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ， ． 【总结】本题主要考查了角平分线的性质及全等三角形的判定与性质． 【例21】 如图，在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连 A B C D E F H 接CD和CE，试说明：CD=2CE． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】延长CE到H，使EH=CE，连接BH． ∵E是AB的中点， ∴AE = BE． 在△AEC与△BEH中， ∴， ∴． ∵AB=AC， ∴． ∵， ∴． 在△CBD与△CBH中， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查了中线倍长辅助线与全等三角形的判定的综合运用． 【例22】 已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，试说明：AB+BE=AC． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】，则． ， ， ． ． ， ． ． 【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例23】 如图：在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD⊥BC，延长AB到E，使BD=BE，延 A B C D E F 长ED到F，交AC于F，说明AF=DF=CF的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ． ． ． ， ． 【总结】本题综合性较强，主要考查了等腰三角形的性质运用，教师可选择性讲解． 【例24】 已知AD为△ABC的角平分线，AB＞AC，试说明：AB－AC＞BD－DC． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ， ． ， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的综合应用． 【例25】 已知，如图1正方形ABCD中，E是BC中点，EF⊥AE交∠DCE外角的平分线于F． （1）试说明：AE=EF． （2）如图2，如当E是BC上任意一点，而其它条件不变时，AE=EF是否仍然成 立，试加以分析说明． A B C D E F G A B C D E F G 图1 图2 H H 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）． ， ． ． ， ， ． ． ； （2）成立． ， ． ． ． ． ． 【总结】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例26】 如图，点D、E三等分△ABC的BC边．试说明：AB+AC＞AD+AE． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】，． ． ， ． ． ． ， 即． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用，注意辅 助线的添加． A B C D E M N P 【例27】 已知：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE． 试说明：AB+AC＞AD+AE． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】， ． ． 在△AEM与△NDM中， ， ． ． ， ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用． A B C D E F 【例28】 如图，在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线的一点，且∠D=60°，E是AD 上一点，DE=DB．试说明：AE=BE+BC． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． 在△ABD与△ACF中， ． ． ，． ， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质的综合 运用，综合性较强，注意对学生进行适当的引导． 随堂检测 A B C D P 【习题1】 如图△ABC和△DBC中，∠ABP=∠DBP，∠ACP=∠DCP，P是BC上任意一点，试说明：PA=PD． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】，， ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用． 【习题2】 已知，△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】． ． 在△ABD与△ECD中， ． ． 即． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的应用． A B C D E F G 【习题3】 从正方形ABCD的顶点A作∠EAF=45°，交DC于F，BC于E，试说明：DF+BE=EF． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】． ，． ， 即． ． 【总结】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质的运用，利用旋转作辅 助线构造全等是解题的关键． 【习题4】 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC的长． G 【难度】★★ 【答案】2． 【解析】． ． ． ， ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形性质的综合运用，教 师在讲解时注意针对性的引导． 【习题5】 如图，△ABC中，AB<AC，AD是中线，试说明：∠DAC<∠DAB． A B C D E 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形边角关系的综合应用，注 意添加适当的辅助线将问题进行转化． 【习题6】 △ABC中，AB>AC，AD是∠BAC的平分线，P是AD上任意一点， A B C D P E 试说明：AB-AC>PB-PC． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， 则． ． ， ． ，． 【总结】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质及三角形三边关系的 综合应用． 【习题7】 如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，试说明：∠BAD=∠CAD． M A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ． ，． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合运用． 【习题8】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE．试说明：BE+DF=AE． A B C D E F G 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ， ． ． ． ． ． ，． 【总结】本题主要考查了在正方形背景下的辅助线的添加及全等三角形的综合运用． 【习题9】 如图所示，△ABC是边长为1的正三角形，∠ BDC= 120°，BD=CD，以 D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB，AC上，求△AMN的周长． A B C D M N E 【难度】★★★ 【答案】2 【解析】． ． ， ． ． ，． ，． ， ． 【习题10】 如图，已知梯形ABCD中，AB=CD=10厘米，BC=8厘米，∠B=∠C，点E 为AB的中点．点P在线段BC上由B点向C点运动，同时点Q在线段CD上由C点向D点运动． （1） 若点P与Q都以2厘米/秒的速度运动，经过1．5秒后，△BPE与△CQP是否全等?请说明理由； （2） 若点P的速度为3厘米/秒，当点Q的运动速度为多少时，能够使△PBE与 A B C D E P Q △CQP全等? 【难度】★★★ 【答案】（1）全等；（2）或． 【解析】（1），则． ． ． ， ； （2），由（1）可知，． ． ． ， ． 综上点Q的运动速度为或． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论，综合性较强． 课后作业 【作业1】 已知：如图，OD⊥AD，OH⊥AE，DE交GH于O．若∠1=∠2， A G O D E H 1 2 试说明：OG=OE． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】 ． ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用． 【作业2】 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．试说明：AD < (AB+AC)． A B C D E 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】延长到点，使，连接， 为边上的中线， ． ． ，，， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系的综合运用． 【作业3】 已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，试说明：∠F=∠C． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 ． ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用． 【作业4】 △ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，试说明：∠C=2∠B． 【难度】★★ A B C D E 【答案】见解析． 【解析】． ． ． ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及角平分线的性质的综合运用． 【作业5】 已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． A B C D E F 试说明：AB=CD． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用． 【作业6】 如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BACÐ，E、F分别在BD、AD上． A B C D E F G DE=CD，EF=AC．试说明：EF∥AB． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 ． ． ， 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质及平行线的判定定理的综合运用， 注意辅助线的添加． 【作业7】 在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE垂直于 A B C D E F BD，试说明BD=2CE． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 ， ， ． ， ． ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的综合运用． 【作业8】 已知：点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，且AN、BM相交于O． （1） 试说明：AN=BM； （2）求∠AOB的度数； （3）若AN、MC相交于点P，BM、NC交于点Q，试说明：PQ∥AB． 【难度】★★ 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析． 【解析】（1） A B C P Q O M N （2）． （3） 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形外角的性质的综合运用， 解题时注意观察角度间的关系． 【作业9】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°， A B C D E F 试说明：AD平分∠CDE． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． 在△ABC与△AEF中，，． 在△ADC与△ADF中，，， ． 【总结】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的综合运用，注意辅助线的添加． 【作业10】 如图点M是△ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），其中 A B N D E M AB=AD=BD，作∠DMN=60°，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? F 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】． ． ． 在△DFM与△MBN中，， ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，作辅助线构 造全等是解题的关键． 【作业11】 已知，如图1所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE， ∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、 CD的中点． （1）试说明：①BE=CD；②AN=AM； （2）在图1的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变， 得到图2所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立． A B C D E N M 图1 A B C D E M N 图2 【难度】★★★ 【答案】（1）见解析；（2）成立． 【解析】， ． 在△ABE与△ACD中， ，； ，． ，． 在△ACN与△ABM中， ，． （2）成立，证明过程如（1）． 【总结】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定和性质的综合运用，综合性较强． 45 / 45