八年级同步第16讲：正反比例函数综合.docx

八年级暑假班 正反比例综合 内容分析 正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据． 知识结构 模块一：正反比例函数综合 知识精讲 一、 正比例函数 1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数． 2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数； 正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式． 3、一般地，正比例函数（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线． 4、正比例函数图像的性质： （1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大． （2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减小． 二、 反比例函数 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常数. 2、 解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例 系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数． 3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k≠0）的图像.反比例函数（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支． 4、反比例函数图像的性质： （1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小； （2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大； （3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交． 例题解析 【例1】 函数中，自变量x的取值范围是________________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 函数与的图像的交点坐标是_______________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 已知，，则_____________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例4】 函数的图像经过第二、四象限，则的图像不经过_____________象限． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例5】 已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为；则=_________； =_______；它们的另一个交点坐标是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例6】 若与z成正比例关系，z与成反比例关系，则y与成___________关系． 【难度】★ 【答案】 【例7】 正比例函数的图像经过点A（1，）和点B（，），反比例函数 的图像经过点B，则此反比例函数的解析式为_____________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例8】 直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝_________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例9】 若直线与双曲线在同一坐标系内的图像无交点，则、的关系是___________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例10】 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） y x O C y x O D y x O B y x O A 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例11】 直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM，若=2，则k的值是（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例12】 函数的图像经过，则下列各点中在图像上的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例13】 点A、B（2，a）在反比例函数图像上，求点B同时在正比例函数图像上． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）求a的值及这个正比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例14】 已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A（，）和（，）两点，求：（1）这两个函数解析式；（2）的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例15】 已知正比例函数和反比例函数的图像都经过A（，）， 求：（1）的值；（2）正比例函数的解析式；（3）求出它们的交点坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例16】 已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为．求和的值，并求另一个交点的坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例17】 已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，求反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例18】 已知正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求的值和两个函数解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例19】 已知，其中与x成反比例，与x成正比例，且当时，，当时，，求： （1）y与x的函数解析式； （2）当时，y的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例20】 已知：，与成正比例，与x成反比例，且当和时，的值都是2，求和之间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例21】 已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，．求和之间的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例22】 已知正反比例函数的图像相交于A、B两点，过第二象限的点A作AH⊥x轴，点A的横坐标为，且，点B()在第四象限． （1）求这两个函数解析式； （2）求出它们的交点坐标． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例23】 点P是反比例函数上的一点，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，矩形PAOB的面积为5（O为坐标原点），求反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例24】 反比例函数和正比例函数的图像都经过点A(，m)； （1）求出正比例函数的解析式。 （2）请直接写出当时自变量的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例25】 已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A、B两点，若点A在第二象限，且点A的横坐标为-3，且AD⊥x轴，垂足为D，△AOD的面积是4． （1） 写出反比例函数的解析式； （2） 求出点B的坐标； （3） 若点C的坐标为（6，0），求△ABC的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例26】 已知：如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标． O Q x P y 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例27】 如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、都在轴上，则点的坐标为_________． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例28】 如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），四边形OABC为矩形，反比例函数的图像过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13． （1）求反比例函数和直线OE的函数解析式； （2）求四边形OAFC的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例29】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论： ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 其中一定正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【例30】 已知：如图正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 （3，2）． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）探索：在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 随堂检测 【习题1】 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于点，则该反比例函数的解析式是________________，它们的另一个交点坐标为________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题2】 y与3x成正比例，当x=8时，y=－12，则y与x的函数解析式为___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题3】 已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A（–3，4）和（3，a）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题4】 已知一个反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点A（a，6），求这个反比例函数的解析式． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【习题5】 如图，已知正比例函数和反比例函数的图像交于点A（m，-2）． （1） 求反比例函数的解析式； （2） 观察图像，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题6】 正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，AB⊥轴于B，CD⊥x轴于D，则＝________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题7】 已知，与成正比例，与成反比例，当x=－1时，y=3；当x=2时，y=－3； （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求y的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【习题8】 如图，已知：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于M（a，1），MN⊥x轴于点N，若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【习题9】 已知：如图，矩形OABC的顶点B(m，2)在正比例函数的图像上，点A在x轴上，点C在y轴上，反比例函数的图像过BC边上点M，与AB边交于点N，且BM=3CM．求此反比例函数的解析式及点N的坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【习题10】 已知函数的图像和两条直线，在第一象限内分别相交于和两点，过分别作x轴、y轴的垂线、，垂足分别、；过分别作x轴、y轴的垂线、，垂足分别为、，求矩形和的周长比较它们的大小． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 课后作业 【作业1】 已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点A（）．求此正比例函数的解析式． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业2】 正比例函数和反比例函数的图像都经过横坐标为2的点P，求这两个函数的解析式和点P的坐标． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业3】 已知，与成反比例，与成正比例，并且x = 2时，y = -6；x = 1时，y = 2；（1）求y与x的函数解析式；（2）并求当x=－2时，y的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【作业4】 已知，与成正比例，与成反比例，当x=4时，y的值为3；当x=1时，y的值为，求当x=9时，y的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业5】 已知反比例函数的图像过点A（2，n）． （1）求过点A的正比例函数的解析式； （2）画出正比例函数图像； （3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业6】 过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A、B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（ ） A、（a，b） B、(b，a) C、(-b，-a) D、(-a，-b) 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业7】 正比例函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，求△BOC的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【作业8】 如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且直线AB与x轴的夹角是60°，OA=2． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式． （2）若把直线AB绕原点逆时针旋转30°，请直接写出旋转后的直线与反比例函数的 交点坐标． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 【作业9】 已知：如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图像回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数 的值？ （3）是反比例函数图像上的一动点，其中，过点作直线轴， 交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形 的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． y x Oo A D M C B 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 17 / 17