八年级秋季班-第15讲：举例证明（二）-马秋燕.docx

八年级秋季班 几何证明（二） 内容分析 命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础． 知识结构 模块一：证明垂直 知识精讲 1、 证明垂直： 证明两直线垂直的一般方法为： （1） 通过夹角是90°； （2） 垂直的传递性； （3） 等腰三角形底边上三线合一． 例题解析 【例1】 以下依据不能得到两直线垂直的是（ ）． A．夹角是90度； B．邻补角的角平分线互相垂直； C．等腰三角形底边上的中线垂直于底边； D．同旁内角的角平分线互相垂直． 【难度】★ 【例2】 如图，AB =AC，D是BC上一点，当 ________或___________时，AD⊥BC． A B C D 【难度】★ 【例3】 如例2图，在△ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，则下列结论不正确的 是（ ）． A．； B．； C．的平分线； D．是等边三角形． 【难度】★ A B C D E H 【例4】 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，在高AD上截取DH=DC，联结BH并延长交AC于点E，求证： （1） BH =AC； （2） BH⊥AC． 【难度】★★ 【例5】 如图，点D、E、F在BC上，∠B =∠C，∠1 =∠2，BD=EC，F是DE的中点． A B C D 2 E F 1 求证：AF⊥BC． 【难度】★★ A B C D O F E 【例6】 如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CF分别是AC、AB边上的高，BD与CF交于点O，延长AO交BC于点E，求证：AE⊥EC． 【难度】★★ A B C D E 【例7】 如图，已知△ABD、△ACE都是等腰直角三角形，∠DAB=∠EAC=90°，判断BE和CD的位置及长度关系，并证明． 【难度】★★★ 【例8】 如图，三角形ABC中，AC = BC，∠ACB =90°，AD是BC边的中线，CE⊥AD ，BF⊥BC，CF与AB、BF分别相交于点E、F，联结DE，求证：∠1 =∠2． A B C D E F 1 2 【难度】★★★ 模块二：证明边、角关系 知识精讲 证明边角关系的常用方法： （1） 利用等腰三角形的性质； （2） 利用三角形全等的性质得出边或者角的关系，得出要求解的边角关系； （3） 利用两次全等得出结论． 例题解析 【例9】 具备下列条件的两个三角形中，一定全等的是（ ）． A．有一边对应相等的等腰三角形； B．有两边对应相等的等腰三角形； C．有一边相等的等边三角形； D．有两边对应相等的两个直角三角形． 【难度】★ 【例10】 如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠B+∠C =_________． A B C D E 【难度】★ A B C D E P F 【例11】 如图，P是∠BAC平分线AD上的一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，下列结论中不正确的是（ ）． A．PE=PF； B．AE=AF； C．△APE≌△APF； D．AP=PE+PF．【难度】★★ A B C D E F 【例12】 已知，如图，E是等腰△ABC的腰AC上任意一点，DE⊥BC，垂足为D，延长DE交BA的延长线于点F． 求证：△AEF为等腰三角形． 【难度】★★ A B C D E 【例13】 已知，如图E是四边形ABCD的边AD上的一点，且△ABC和△CDE都是等边三角形，求证：BE =AD． 【难度】★★ A B C D E F 【例14】 已知，如图，在△ABC中，∠DEF=∠B=∠C，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且BD =CE． 求证：DE =EF． 【难度】★★ 【例15】 已知：如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC． （1） 求证：∠ABE=∠C; A B C D E F （2） 若∠BAE的平分线AF交BF于点F，FD∥BC交AC于点D，设AB=5，AC=8，求DC的长 ． 【难度】★★ 【例16】 已知：如图，△ABC是等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与MA的延长线交于点Q，求∠BQM的大小． M A B C N Q 【难度】★★ 【例17】 在△ABC中，∠ABC =∠C，BD⊥AC于D，求证：∠A =2∠DBC． 【难度】★★ 【例18】 已知，如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC． A B C D 求证：AB+BD = AC． 【难度】★★ 【例19】 已知在直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线AE是经过点A的任一直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E，若BD≠CE，试问： A B C D E （1）AD与CE的大小关系如何?并证明； （2）DE、BD、CE的数量关系如何?并证明． 【难度】★★ 【例20】 已知A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点，求证：△CMN是等边三角形． A B C D E M N 3 4 2 1 【难度】★★★ 【例21】 如图，在△ABC中，°，点D在AC上且． A B C D 求证：BD平分． 【难度】★★★ 【例22】 如图，已知，°，BD平分．求证：． A B C D 【难度】★★★ 【例23】 已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ADB是等边三角形，点C在△ADB的内部，DE⊥AC交直线AC于点E． （1） 求证：DE=CE； A B C D E （2） 若点C在△ADB外部，DE=CE的关系是否成立?如不成立，请说明理由；如成立，请证明． 【难度】★★★ 模块三：文字题的证明 知识精讲 文字题的证明解决的步骤是： （1） 已知（条件）．不要漏写、多写，尽量多用几何符号表示； （2） 求证（结论）．不能写错，画图要精准； （3） 证明． 例题解析 【例24】 求证：三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等 ． 【难度】★★ 【例25】 求证：等腰三角形的顶点到两腰中线的距离相等． 【难度】★★ 【例26】 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰的距离和等于一腰上的高． 【难度】★★ 【例27】 求证：有两角及夹边上的高对应相等的两个三角形全等． 【难度】★★★ 随堂检测 A B C D 【习题1】 如图，在△ABC中，∠B=∠C，下列结论正确的是（ ）． A． B．AB=AC C．AD是△ACD的高 D．△ABC是等边三角形 【难度】★ 【习题2】 如习题1图所示AB =AC，D为BC上一点，若AD⊥BC，则BD =______________，∠BAD =_____________． 【难度】★ 【习题3】 已知：如图，B是CE的中点，AD=BC，AB=DC. DE交AB于点F，求证：AF=BF． A B C D E F 【难度】★★ A B C D E 【习题4】 △ABC中，AB=AC，E在BC上，D在AE上（不与A重合），则下列说法中正确的有（ ）． ①若E为BC的中点，则有BD=CD; ②若BD=CD，则E为BC中点； ③若AE⊥BC，则有BD=CD； ④若BD=CD，则AE⊥BC． A．1 B．2 C．3 D．4 【难度】★★ A B C D E F 【习题5】 如图，∠ACB=90°，AC=BC,D为AB上一点，AE⊥CD于点E，BF交CD的延长线于点F，且CF=AE．求证：BF⊥DC． 【难度】★★ A C B D E F G O 【习题6】 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，过点E作EF⊥AD于点O，交BC的延长线于点F，联结AF，求证：AF=DF． 【难度】★★ 【习题7】 已知：如图，∠D =∠E，DN =CN =EM =AM，求证：点B是AC的中点． NG M A B C D E 【难度】★★ 【习题8】 有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 . 【难度】★★ 【习题9】 已知，如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB+BD = CD，求证：∠B =2∠C． 【难度】★★ 【习题10】 如图，已知，BD平分且，求证：． A B C D 【难度】★★ 【习题11】 如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠ACB=90°，D是BC边上一点，CE⊥AD，BF⊥BC，CE与AB、BF分别相交于点E、F，联结DE，且有∠1=∠2． 求证：D是BC的中点． A B C D E F 1 2 【难度】★★★ 【习题12】 已知：如图，△ABC的高AD所在的直线与高BE所在的直线相交于点F （1） 如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC、交直线AB于点G，求证：FG+DC=AD； A B C D E F G 图1 A B C D E F G 图2 （2） 如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC、交直线AB于点G， FG、DC、AD之间的数量关系是___________，并证明． 【难度】★★★ 课后作业 【作业1】 以下命题的逆命题是真命题的是（ ）． A．等边三角形的三个角相等； B．同角的补角相等； C．在三角形中，钝角作对的边长最长； D．同位角相等． 【难度】★ 【作业2】 已知：在△ABC中，BD是AC上的中线，BD =AC． 求证：△ABC是直角三角形． 【难度】★ 【作业3】 已知：如图，AC =BD，AB = CD．求证：OB=OC． A B C D O 【难度】★★ 【作业4】 等腰△ABC中，AB=AC，取腰AC上一点E，取AB的反向延长线上的一点D，使AE =AD，联结DE交BC于F． 求证：DF⊥BC． 【难度】★★ 【作业5】 已知，如图，AE =AC，BE =BD，∠EAD =∠CAD. 求证：∠ABC=2∠C． A B C D E 【难度】★★ 【作业6】 求证：等腰三角形底边延长线上的任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高． 【难度】★★ 【作业7】 如图，在△ABC中，°，点D在AC上且BD平分． A B C D 求证：． 【难度】★★ A B C D Q P O 【作业8】 已知：如图，在△ABC中，AB =AC，AD⊥BC，点O在线段AD上，延长CO交AB于点Q，延长BO交AC于点P，求证：OP =OQ． 【难度】★★ A B C D E Q P 【作业9】 如图，CE、BD 分别是△ABC的边AB、AC上的高，点P在BD的延长线上， BP =AC，点Q在CE上，CQ =AB．求证： （1） AP =AQ； （2） AP⊥AQ． 【难度】★★ 【作业10】 已知△ABC中，∠BAC=90°，AB =2AC，AD平分∠BAC，AD =BD． 求证：CD⊥AC． A C B D 【难度】★★ 【作业11】 操作：在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，将一块直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角形板绕P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、E两点，如图（1）（2）（3）是旋转三角板所得到的图形中的3种情况，研究： 三角形绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系?结合图形3说明理由． 【难度】★★★ A B C D E P 图2 A B C D E P 图1 图3 A B C D E P 【作业12】 已知：如图所示在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，CD =BE，DE交BC于点P． （1） 判断DP与EP有怎样的数量关系，并证明你的结论； （2） 设等边三角形ABC的边长为a，当D为AC的中点时，求BP的长． C A B D E P 【难度】★★★ 15 / 15