7年级春季班第15讲：等边三角形 - 教师版.docx

七年级春季班 初一数学春季班（教师版） 教师 日期 学生 课程编号 15 课型 复习课 课题 等边三角形 教学目标 1．熟练的运用等边三角形的判定定理和性质； 2．利用等边三角形的性质解决与旋转相关的综合题目． 教学重点 利用等边三角形的性质解决证明和求值的相关问题 教学安排 版块 时长 1 等边三角形的性质与判定 40min 2 等边三角形的综合 40min 3 随堂检测 20min 4 课后作业 20min 等边三角形 内容分析 等边三角形是七年级数学下学期第三章第三节的内容，本讲主要讲解等边三角形的性质和判定定理；重点是理清性质和判定之间的区别和联系，难点是灵活运用等边三角形的性质解决综合题目，综合性更强． 知识结构 模块一：等边三角形性质与判定 知识精讲 1、 等边三角形的性质 等边三角形的每个内角都等于60°． 2、 等边三角形的判定 （1）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 例题解析 【例1】 下列说法中错误的是（ ） A．等边三角形是等腰三角形 B．等边三角形是锐角三角形 C．等边三角形的高、中线、角平分线共有3条 D．含有60°角的三角形是等边三角形 【难度】★ 【答案】D 【解析】含有60°角的三角形不一定是等边三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质． 【例2】 （1）等腰三角形的一个外角等于120°，则它是 三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_______________． 【难度】★ 【答案】（1）等边三角形；（2）三，三边的垂直平分线． 【解析】（1）当一个外角等于时，与这个外角相邻的内角为，因为是等腰三角形， 所以另外两个角也为，则这个三角形为等边三角形； （2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三边的垂直平分线． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质． 【例3】 （1）已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F， 则∠AFE=_____________； （2）△ABC是等边三角形，AD∥BC，CDAD，则ACD = ． A C D B F E 【难度】★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1） ； D C B A （2），． ， ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质． 【例4】 已知三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且有一个内角为60° 则这个三角形是（ ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【难度】★ 【答案】A 【解析】因为三角形一个外角等于与它不相邻的一个内角的2倍，且同时等于与它不相邻的 两个内角之和，所以与它不相邻的两个内角相等，因为有一个内角为，所以三个内 角均为，所以为等边三角形． 【总结】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和定理． 【例5】 已知△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在AB上，BD与CE相交于点F， 且BF=CF，说明△ADE是等边三角形． A B C D E F 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】，． ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定及全等三角形的判定． 【例6】 如图所示，在△ABC中，AB=AC，△ADB和△ACE都是等边三角形， A B C D E 且∠DAE=∠DBC，求∠BAC的度数． 【难度】★★ 【答案】20°． 【解析】，． ． ， ． ，， 即，． 【总结】本题主要考查等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【例7】 如图，是等边三角形，，则的度数是________． A B C D 【难度】★★ 【答案】． 【解析】，． ， ， ． 【总结】本题主要考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用． 【例8】 如图，在等边三角形ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的动点， A B C D E F 且AD=BE=CF，说明△DEF是等边三角形的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． ，． 【总结】本题主要考查等边三角形的性质和判定的综合运用． 【例9】 如图，在等边三角形ABC的边BC上任取一点D，以CD为边向外作等边三角形 CDE，连接AD，BE，试说明BE=AD的理由． 【难度】★★ A B C D E 【答案】见解析． 【解析】． ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定． 【例10】 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点， 且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：M是BE的中点． 【难度】★★ A B C D E M 【答案】见解析． 【解析】 ． 【总结】本题主要考查了等边三角形性质和等腰三角形性质的运用． 【例11】 （1）如图所示，已知：△ABC是等边三角形，M、N分别是边BC、AC的中点， AM、BN相交于点P，求∠BPM的大小； （2）如果点M、N分别在BC、AC的延长线上，且BM=CN．∠BPM的大小会发生变 化吗? 【难度】★★ A B C N P M A B C P M N 【答案】（1）；（2）不会． 【解析】（1），． ， ，． （2），， ， ， ． ， 故∠BPM的大小会不会发生变化． 【总结】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理的综合运用． 【例12】 如图，已知：在等边△ABC中，D在BC边上，E在△ABC外，∠BAD=15°， ∠DAE=70°，AD=AE，求∠CAE，∠EDC，∠EFC的度数． A B C D E F 【难度】★★ 【答案】． 【解析】，． ． ，， ． ， ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用． 【例13】 下列说法中正确的个数有（ ） ①有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有三个外角都相等的三角形是等边三角形；④有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；⑤△ABC中三边为a、b、c，满足，则这个三角形是等边三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★★ 【答案】B 【解析】有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形，所以①正确；有两个外角相等的 等腰三角形是不一定是等边三角形，所以②不正确；有三个外角都相等的三角形三个内 角是相等的，是等边三角形，所以③是正确；有一边上的高也是这边上的中线的三角形 是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以④不正确；△ABC中三边为a、b、c，满足 ，则这个三角形是等腰三角形但不一定是等边三角形，所以⑤不 正确．故选B． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用． 【例14】 等边△ABC中，AD=BE=CF，D、E、F不是各边的中点，AE、BF、CD分别交于 点P、M、N在每一组全等三角形中有三个三角形两两全等，那么在图中全等的三角形的组数是（ ） A B C D E F M N P A．2 B．3 C．4 D．5 【难度】★★ 【答案】D 【解析】；； ；； ，共5组． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质． 【例15】 如图，在等边中，点分别在边上，且，与 D A E F B C 交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【难度】★★★ 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）， ， ， ； （2），， ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形外角的性质的综合运用． 【例16】 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2， h3， △ABC的高为h．“若点P在一边BC上［如图（1）］，此时h3＝0．可得结论： A B C D M F P A B C D E F A B C D E M P M F P 图1 图2 图3 h1＋h2＋h3＝h．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内［如图（2）］，以及点P在△ABC外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）． ， ， ． ，，． （2） 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形面积的综合应用． 【例17】 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形， P B A C D N M 以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：△AMN的周长等于2． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】． ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质的综合运用，注意辅助线的添加． 【例18】 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC， B C A D E 求∠BDC的度数． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】 【总结】本题考查了等腰三角形、全等三角形和等边三角形性质的综合运用，综合性较强． 模块二：等边三角形综合 知识精讲 将等边三角形的性质作为一直条件，运用到解题中． 例题解析 【例19】 如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE A C E N M B D 是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质的综合运用． 【例20】 如图，已知D是等边三角形ABC的边AB边延长线上一点，BD的垂直平分线HE G A B C D E H 交AC延长线于点E，那么CE与AD相等吗?试说明理由． 【难度】★★ 【答案】相等，见解析． 【解析】． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，注意辅助线的添加． 【例21】 如图，已知：等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取一点E，使AD=AE， A B C D E R P Q 作等边三角形PCD、QAE和RAB，则P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合性运用，难度较大． 【例22】 如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=AE， G A B C D E F O EB与CD相交于点O．EF与CD垂直于点F，试说明OE=2OF． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质的综合运用，注意对方法的选择． 【例23】 如图，点O是等边△ABC内的一点，AOB=110°，BOC=135°，试问： （1） 以OA、OB、OC为边，能否构成一个三角形，若能，求出该三角形各角的度数； 若不能，说明理由； （2） 如果AOB的大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA、OB、OC D A B C O 为边的三角形是一个直角三角形． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1）， ． （2） ， ， ． ，，， ； ，，，， 综上，当BOC等于100°或150°时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，注意利用旋转的思想去解题． 【例24】 △CAB与△CDE是有公共顶点C的两个等边三角形，△CDE绕点C顺时针旋转 至以下各位置： （1） 当E在BC下方时，说明AD=BE； （2） 当E在BC边上如图2、当E在△ABC内如图3、当E在AC边上如图4， 当 CE∥AB时，如图5，AD=BE还成立吗?请一一说明理由． A B C D E 图1 A B C D E 图2 C D A B C D E B A E C E A B D 图3 图4 图5 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1） ． （2）成立．方法同（1），可证，所以． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用． 【例25】 已知A、B、C三点共线，分别AC、BC为边，在直线AB同侧作等边△CAN和等 边△BCM，易得AM=BN． （1）将△CAN绕点C旋转一定的度数，得到图（2），试问：AM=BN吗? （2）将（1）中等边△CAN再绕点C旋转一定角度，得到图（3），上述AM=CN还成 立吗?请说明理由； （3）在旋转过程中，直线AM和直线BN所夹的锐角的大小随着旋转角的改变而改变 吗?说说你的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析． A B C图1 N M A B C图2 M N A B C N图3 M 【解析】（1），． （2）成立．方法同（1）． （3）不变．，     　　 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用． 【例26】如图，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是 △ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC． （1）说明△C′BD≌△B′DC的理由； （2）说明△AC′D≌△DB′A的理由； （3）对△ABC、△ABC′、△A′BC、△AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论? A B C D A′ B′ C′ 直接写出来． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】（1） 　　 　　（2） 　　（3） 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质，注意总结等边三角 形的面积与边长的关系． 随堂检测 【习题1】 三个内角都相等的三角形是_________三角形，每个内角都等于______． 【难度】★ 【答案】等边；． 【解析】略． 【总结】本题主要考查了等边三角形的定义和性质． 【习题2】 在等腰三角形中，已知两底角之和等于顶角的2倍，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形但不等边 【难度】★ 【答案】C 【解析】， 　　． 　　有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故选C． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定及三角形内角和定理的运用． 【习题3】 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=60°，BD⊥AC于点D，DG∥AB交BC于点G， E在BC的延长线上，CE=CD．（1）∠E=________；（2）∠BDE=_______；（3）图中的等腰三角形有________个；（4）图中的等边三角形有_______个． A B C D E G 【难度】★ 【答案】（1）；（2）；（3）5；（4）2． 【解析】（1） （3）等腰三角形有：； （4）等边三角形有：． 【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定． 【习题4】 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个 外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ） A． ①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【难度】★★ 【答案】D 【解析】①、②正确，是等边三角形的判定定理，③三个外角相等则三个内角必相等，则一 定是等边三角形，故正确；④利用等腰三角形的三线合一，可知，该三角形也是等边三 角形，正确，故选D． 【总结】本题主要考查了等边三角形的判定． A B C D E F 【习题5】 如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形 状是（ ） A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【难度】★★ 【答案】A 【解析】，． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定的综合运用． 【习题6】 已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ） A． 2个 B．4个 C．6个 D．8个 【难度】★★ 【答案】C 【解析】； 【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用 “两圆一线”的方法确定等腰三角形． 【习题7】 如图，等边△ABC中，AD=CE，CD于BE相交于点P，求BPC的度数． A B C E D P 【难度】★★ 【答案】 【解析】， 【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质． 【习题8】 如图，△ABC和△DBE都是等边三角形，说明AB∥CE的理由． A B C D E 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】 【总结】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质的运用． 【习题9】 如图，△ABC为等边三角形，E是BC延长线上一点，CD平分∠ACE，CD=BE， A B C D E 试说明△ADE为等边三角形的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】， 【总结】本题主要考查等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质的综合运用． 【习题10】 如图，△ABC中，BA=BC=a，B=60°，在BC的延长线上取一点D，使CD=b， A B C D E 在BA延长线上取一点E，使AE=a+b，试判断△ECD是什么三角形，并说明理由． 【难度】★★★ 【答案】等腰三角形． F 【解析】 【总结】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的综合运用，注意平行 线的添加，将问题进行转化． 课后作业 【作业1】 已知一个三角形的任意一个角的平分线都垂直于这个角的对边，则这个三角形是（ ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形． 【难度】★ 【答案】D 【解析】只有在等边三角形中任意一个角的平分线是垂线并且是中线． 【总结】本题主要考查全等三角形的判定． 【作业2】 等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ） A． 60° B．90° C．120° D．150° 【难度】★ 【答案】C 【解析】，． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和角平分线的性质的综合运用． 【作业3】 如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠ABE=∠ACD，BE=CD，则△ADE的 形状是（ ） A． 等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状 A B C D E 【难度】★ 【答案】B 【解析】，． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和判定． 【作业4】 如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED= A B C D E 2∠BAD，则图中等腰三角形共有（ ） A．3个 B．4个 C． 5个 D．6个 【难度】★ 【答案】D 【解析】，，， ． ． ． ． ． ． ． 【总结】本题主要考查了等腰三角形的判定． A B C D E 【作业5】 如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：BD+DC=AD． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】，． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定． 【作业6】 如图，已知△ABC、△ADE是等边三角形，点E恰在CB的延长线上， A B C D E 说明∠ABD=∠AED的理由． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ． ， ， ． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定． 【作业7】 试说明等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于这个三角形一边上的高． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】， ， ， 即得证． 【总结】本题主要考查了三角形面积公式的应用及等边三角形的性质的综合运用． 【作业8】 如图，D是等边△ABC内一点，DA=BD，PB=AC，且DBP=DBC，则BPD A B C D P 的度数是 ． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质的运用． 【作业9】 如图，点是等边内一点，．将绕点 按顺时针方向旋转得，连接．（1）试说明是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形? 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】（1） （2）， （3），． ， ， ； ， ． ． 【总结】本题综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定，注意进行角度的计算，综 合性较强，第（3）问注意要分类讨论． 【作业10】 如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并使AE=BD，连 A B C D E F 接CE、DE，说明CE=DE的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析． 【解析】． 【总结】本题主要考查了等边三角形的性质与判定及全等三角形的判定，注意辅助线的添加． 【作业11】 在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形， 具有这样性质的点P有_________个． 【难度】★★★ 【答案】10． 【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点； （2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的 P点，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个． 故具有这种性质的点P共有10个． 【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，注意利用“两圆一线”去画等腰三角形． 33 / 33