6---行程问题3 +宝山万达校区+周婧、汪金波（教师版）-嘉定审核.docx

专业 引领 共成长 行程问题3 模块一：环形跑道 知识精讲 环形跑道: 同相向而行的等量关系: 乙程-甲程=跑道长 背向而行的等量关系: 乙程+甲程=跑道长。 例题解析 【例1】甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？ 解：400/(350-250)=4分钟. 【例2】在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米，。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按照逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么，甲追上乙需要的时间是多少秒？ 　解：假设没有休息 那么100/（5—4）=100秒钟  在100/5=20秒  100/20-1=4（次）100+4*10=140秒 【例3】甲、乙两人环绕周长是400米的跑道跑步,如果两人从同一地点出发背向而行,那么经过2分钟相遇;如果两人从同一地点出发同向而行,那么经过20分钟两人相遇,已知甲的速度比乙快,求甲、乙两人跑步的速度各是多少? 解：速度和=400/2=200米/分 速度差=400/20=20米/分 所以,甲速度=(200+20)/2=110米/分 乙速度=(200-20)/2=90米/分 【练习1】在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要多少分钟？ 解析：甲、乙两人从第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分钟。也就是说，两人16分钟走一圈。从出发到两人第一次相遇用了8分钟，所以两人共走半圈，即从A到B是半圈，甲从A到B用了8+6=14分钟，故甲环行一周需要14×2=28分钟。也是一个倍数关系。 【练习2】小明在360米的环形跑道上跑一圈，已知他前半时间每秒跑5米，后半时间每秒跑4米，为他后半路程用了多少时间？ 　　答案：x÷4=（360-x）÷5×=160（360÷2-160）÷5＋160÷4＝44分 模块二：比例行程 知识精讲 运动时间相等，运动距离正比与运动速度； 运动速度相等，运动距离正比与运动时间； 运动距离相等，运动速度反比与运动时间。 例题解析 【例1】一辆车从甲地开往乙地，如果提速 20％，可以比原定时间提前一小时到达。如果 以原速走 120 千米后，再将速度提高 25％，则可提前 40 分钟到。那么甲、乙两地相距多少千米？ 【例2】某项工程，可由若干台机器在规定的时间内完成，如果增加 2 台机器，则只需用规定时间的就可做完；如果减少 2 台机器，那么就要推迟小时做完，现问：由一台机器去完成这项工程需要多少小时？ 【例3】甲车以每小时 160 千米的速度，乙车以每小时 20 千米的速度，在长为 210 千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速 1/3，而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米？（ ） 【练习1】.早晨 8 点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。 两辆车的速度都是每小时60 千米。8 点 32 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。到了 8 点39 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的 2 倍。那么，第一辆汽车是 8点几分离开的化肥厂的？ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【练习2】小李开会，会前看了一下表，开完又看了一下，发现时针与分针恰好互换了位置， 问会议开了一小时多少分钟？ 模块三：公交车发车间隔 知识精讲 例题解析 【例1】小明放学回家,他沿一路电车的路线步行,他发现每搁六分钟，有一辆一路电车迎面开来，每搁12分钟，有一辆一路电车从背后开来，已知每辆一路电车速度相同，从终点站与起点站的发车间隔时间也相同，那么一路电车每多少分钟发车一辆？ 答案：同向时 电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程=发车间隔时间*车速 反向时 电车6分钟走的路程+小明6分钟走的路程=发车间隔时间*车速 则:电车6分钟走的路程=小明18分钟走的路程 小明12分钟走的路程=电车4分钟走的路程 电车12分钟走的路程-小明12分钟走的路程 电车12分钟走的路程-电车4分钟走的路 =电车8分钟走的路程 =发车间隔时间*车速 所以,发车间隔时间为8分钟 【例2】A、B是公共汽车的两个车站，从A站到B站是上坡路。每天上午8点到11点从A、B两站每隔30分同时相向发出一辆公共汽车。已知从A站到B 站单程需要105分钟，从B站到A站单程需要80分钟。问8：30、9：00从A站发车的司机分别能看到几辆从B站开来的汽车? 答：8:30的司机可以看到4辆 9:00的司机可以见到5辆 【例3】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 分析： 要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？ 由题可知：相邻两汽车之间的距离（以下简称间隔距离）是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔6分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用6分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两汽车的间隔距离。 对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人（单位都是米/分钟），则： 间隔距离=（V汽-V人）×6（米）， 间隔距离=（V汽-V自）×10（米）， V自=3V人。 综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，则： 间隔距离=（V汽-1/6V汽）×6=5V汽（米） 所以，汽车的发车时间间隔就等于： 间隔距离÷V汽=5V汽（米）÷V汽（米/分钟）=5（分钟）。 【练习1】小峰沿公交车的路线从终点站往起点站走，他出发时恰好有一辆公交车到达终点，在路上，他又遇到了14辆迎面开来的公交车，并于1小时18分后到达起点站，这时候恰好又有一辆公交车从起点开出。已知起点站与终点站相距6000米，公交车的速度为500米/分钟，且每两辆车之间的发车间隔是一定的。求这个发车间隔是几分钟? 解析： 发车间隔为6分钟。 6000÷500=12(分). (78+12)=90(分). 90÷(16-1)=6(分). 公交车走完全程的时间为6000÷500=12(分)。 小峰前后一共看见了16辆车，并且第16辆车是他走了1小时18分 即78分钟后在起点站遇上的。 如果我们让小峰站在终点站不动， 他可以在(78+12)=90(分钟)后看见第16辆车恰好到达终点。 第1辆车和第16辆车中间有(16-1)=15(个)发车间隔， 所以一个发车间隔为90÷15=6(分). 【练习2】列车每天18：00由上海站出发，驶往乌鲁木齐，经过50小时到达，每天10：00从乌鲁木齐站有一列火车返回上海，所用时间也为50小时，为保证在上海与乌鲁木齐乘车区间内每天各有一辆火车发往对方站，至少需要准备这种列车多少列？ 解：设上海到乌鲁木齐的车第一天晚18：00出发，到乌鲁木齐为第三天晚20：00，该车可于第四日早10：00从乌鲁木齐出发，于第六日中午12：00到上海，当日晚18：00可出发往乌鲁木齐。因此，第六日开始重复是同一辆车，所以至少需要5辆列车。 模块四：电梯问题 知识精讲 扶梯速度不变： 顺速度=行走速度+扶梯速度 逆行速度=行走速度-扶梯速度 扶梯总长度不变：顺时，扶梯长度=顺速度×时间 逆行时，扶梯长度=逆行速度×时间 例题解析 【例1】商场的自动扶梯匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有（ ）。 　A.40级　　B.50级　　C.60级　　D.70级 解析：根据题意可知男孩逆电梯而行，电梯给男孩帮了倒忙，男孩所走的80级比电梯静止时的扶梯级数多，由于电梯帮倒忙而让男孩多走了一些冤枉路。反观女孩则是顺电梯而行，电梯帮助女孩前进，也就是说女孩走的40级比静止时的扶梯级数少，由于电梯的帮助而使女孩少走了一些梯级。显然男孩和女孩所走的路程比为80：40=2：1，而根据题意可知男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，也就是说男孩的速度是女孩的两倍。至此可知男孩和女孩的路程比等于速度比，说明男孩和女孩爬扶梯所用的时间相等，也就说明扶梯给男孩帮倒忙的时间和给女孩帮忙的时间相等，又因为扶梯的速度一定，进而可以推出扶梯让男孩相对于静止扶梯级数多走的路程和扶梯让女孩相对于静止扶梯级数少走的路程相等，故此我们只需要讲男孩和女孩所走的路程相加就可以将男孩多走的路程和女孩少走的路程抵消掉，得到两倍的扶梯静止时的级数，除以2即可得到所求的结果。所以这道题答案是（80+40）÷2=60 【例2】甲、乙两人在匀速上升的自动扶梯从底部向顶部行走，甲每分钟走扶梯的级数是乙的2倍；当甲走了36级到达顶部，而乙则走了24级到顶部。那么，自动扶梯有多少级露在外面？（ ） 　A. 68　　B. 56　　C. 72　　D. 85 答案： 根据题意我们知道甲乙二人的速度比为2：1，所以当甲到达扶梯顶部时也就是甲走了36级时，乙走了18级，由于二人乘坐的电梯速度相同又同步，所以两种方式电梯走过的路程相同，此时乙距离顶部还有36-18=18级。而乙走了24级到达顶部，已经走了18级，还需要再走24-18=6级，而距离顶部还有18级，说明还有18-6=12级是扶梯走的。由此我们可以推断扶梯和乙的速度比为12：6=2：1，因为时间相同时路程比等于速度比，也就说明了扶梯的速度和甲的速度相等，那么相同时间甲和扶梯的路程也相等，所以扶梯的级数为36×2=72。 【例3】商声的自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个孩子嫌扶梯走得太慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒向上走2梯级,女孩每2秒向上走3梯级,结果男孩用40秒到达楼上,女孩用50秒到楼上.问当该扶梯静止时,扶梯可看到的梯级共有多少级? 答：两个孩子从下走到上,他们各自走过的梯级加上自动扶梯在他们各自需要的时间内上升X级,那么扶梯总的梯级数等于男孩走过的40乘以2得80级国上自动扶梯上升的40X级,同样也等于女孩50秒走过的50除以2乘以3得75级加上自动扶梯上升的50X级,列方程可求出解.解设每秒自动扶梯上升X级.40乘2加上40X=50除以2乘以3加上50X 解X=0.5扶梯共有40乘以2加上40X等于100级. 【练习1】自动扶梯以均匀的速度向上运行，一男孩与一女孩同时从自动扶梯向上走，已知男孩的速度是女孩的2倍，男孩走了27级到达顶部，女孩走了18级到达顶部。问：当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有多少级？ 解析：在这里我们也将“自动扶梯”看作“甲”，将男孩、女孩与自动扶梯之间的运动关系形象地用“相遇问题”的形式来表示。这样这道题就类比成行程问题中的相遇问题：男孩、女孩两个人在A地，甲在B地，男孩每分钟走的级数是女孩每分钟走的2倍。现在三人同时出发，男孩、女孩与甲相向而行，当甲与男孩相遇时，男孩走了27级；当甲与女孩相遇时，女孩走了18级。求A、B两地相距多少级？ 不难看出男孩走27级与女孩走18级所用的时间之比为(27/2):(18/1)=3:4，则甲与男孩、女孩两次相遇所用的时间之比为3:4。又因为甲的速度一定，所以甲行走的路程与其所用的时间成正比，即甲与男孩、女孩两次相遇时所行的路程之比也是3:4，甲与男孩、女孩两次相遇所行的路程之差也就是男孩、女孩两人所行的路程差27-18=9（级），故可列式或 ：(27-18)/(4-3)*3+27=54（级）或者(27-18)/(4-3)*4+18=54（级）。所以当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分有54级。 【练习2】.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？ 设扶梯每秒移动X 100（3-X）=300(2-X) X=1.5 扶梯长度为100*（3-1.5）=150 不用方程： 男孩走了100*3=300 女孩走了300*2=600 男孩比女孩多走600-300=300 女孩比男孩多花时间300-100=200 这300是女孩在这200秒时扶梯移动距离 扶梯移动速度为300/200=1.5 扶梯长度为100*（3-1.5）=150 课后作业 1.甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑5秒钟可追上乙.若乙比甲先跑2秒钟,则甲跑4秒钟能追上乙.问甲、乙两人每秒钟各跑__6__,__4__米. 2.林琳在450吗长的环形跑道上跑一圈，已知她前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒 答案：设总时间为X，则前一半的时间为X/2，后一半时间同样为X/2 X/2*5+X/2*4=360 X=80 总共跑了80秒 前40秒每秒跑5米，40秒后跑了200米 后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米 后一半的路程为360/2=180米 后一半的路程用的时间为（200-180）/5+40=44秒 3.小君在360米长的环形跑道上跑一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？ 答案：设时间X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半时间的路程=40*4=160米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑5米时间=20/5=4秒 后一半路程时间=4+40=44秒 答：后一半路程用了44秒 4.小明在420米长的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑8米，后一半时间每秒跑6米.求他后一半路程用了多少时间？ 　　答案：设总用时X秒。前一半时间和后一半时间都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，总共加起来等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因为后一半为6M/S，所以后一半跑了6*30=180M。 5.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 答案：前10圈甲跑一圈击掌一次，即10下 此时已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7时击掌 一次，然后2人共一圈击掌1次 耗时 （4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98； 甲共总走了40+165/98 H 已走了 （40+165/98）*（400/7） M 6.甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米； 　　答案：设乙的速度是x米/分  0.1米/秒=6米/分8x+8x+8×6=400×5      x=122122×8÷400=2....176那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是176米 7.二人沿一周长400米的环形跑道均速前进，甲行一圈4分钟，乙行一圈7分钟，他们同时同地同向出发，甲走10圈，改反向出发，每次甲追上乙或迎面相遇时二人都要击掌。问第十五次击掌时，甲走多长时间乙走多少路程？ 　　答案：甲走完10圈走了10*400=4000米他们每击掌一次，甲走一圈(画画图就会明白的)，则15*400=6000米总共走了6000+4000=10000米10000/400=25分钟因为甲乙所走时间想同所以乙走了25/7*400≈1428米 8.林玲在450米长的环形跑道上跑一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么他后一半路程跑了多少秒？ 　　答案：总共用时为450÷ （5+4）＝50秒后半程用时＝（225-4×50）÷5+50＝55秒 9.某人在360米的环形跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，则他后一半路程跑了多少秒？ 　　答案：44秒  因为  共花了80秒的时间  （（80/2）-360/2）/5+80/2=44 10．一条环形跑道长400米，小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑210米，两人同时出发，经过多少分钟两人相遇（不用解方程） 　　答案：小青每分钟比小兰多跑50米一圈是400米400/50=8所以跑8分钟 11.两人在环形跑道上跑步 ，两人从同一地点出发，小明每秒跑3米，小雅每秒跑4米，反向而行，45秒后两人相遇。如果同向而行，几秒后两人再次相遇 　　答案：（4+3）×45=315米——环形跑道的长（相遇问题求解） 　　315÷（4-3）=315秒——（追及问题求解） 　　答：315秒后两人再次相遇. 12.乙两车同时从同一点出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇) 解析：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6÷（65+55）=0.05 小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6÷（65-55）=0.6 小时，乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33 千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米．此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2…3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米。 13.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。 　　（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？ 　　（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 　　解：（1）75秒-1.25分两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 500÷1.25-180=220（米/分）。 14.甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？ 【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了 个全程，与第一次相遇地点的距离为 个全程．所以 A、 B两地相距108.8(千米)． 15.哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走,共走了100级;此时妹妹沿向上的自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍.那么,当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级? 解：由题可知，设能看到的部分有n级，扶梯每秒移动p级，妹妹每秒走x级 则哥哥每秒走2x级 由题可列方程，2x*n/(2x-p)=100……（1），x*n/(p+x)=50……（2） （1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2 p+x=2x-p x=2p 又由（1），所以n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75级 所以自动扶梯能看见的部分有75级 16. 商场的自动扶梯匀速由下往上运行，两个孩子在运行的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下，如果男孩单位时间内走的级数是女孩单位时间内走的2倍，当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的部分共有多少级？ 设电梯有N级，电梯速度为V1,女孩速度为V,男孩速度为2V。 40=(N-40)*V/V1;80=(80-N)*2V/V1解方程得：N=60。所以扶梯有60级。 另一种较为简便的解法：女孩由下往上走，男孩由下往上走，男孩速度是女孩的2倍。因为题目给出男孩走了80级女孩走了40级，80/40=2，所以男孩下楼和女孩上楼所用时间相同，也就是说女孩上楼和男孩下楼电梯自身所走的级数相等设为X（因为女孩上楼和男孩下楼时电梯本身一直在走）。女孩上楼时：是女孩也在往上走，电梯自身也在往上走，所以X+40=80-X（X+40和80-X都等于电梯静止时的级数）,解得X=20。所以静止时电梯为X+40或80-X=60级。 行程问题（3）（教师版） 14 / 14