第24课格林公式及其应用.doc

格林公式及其应用 第 课 24 课题 格林公式及其应用 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解格林公式是联系曲线积分与二重积分的桥梁 （2）掌握格林公式的应用 （3）理解平面上曲线积分与路径无关的等价条件 思政育人目标： 通过讲解格林公式及其应用，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：格林公式及其证明 教学难点：格林公式的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解格林公式的相关定义、定理，及其应用 定义 设为平面区域，如果内任意一条闭曲线所围成的部分都属于，则称为平面单连通区域（即内部不含有“洞”），否则称为复连通区域． 例如，区域和是单连通区域；环状区域是复连通区域． 关于平面区域边界曲线的正负向规定如下：设平面区域的边界曲线为，当沿着边界曲线运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为的正向，此时的反向即为的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图12-7所示的复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向． 图12-7 定理1（格林公式） 设函数，在闭区域上具有一阶连续偏导数，则有 ， （12-4） 其中为的正向边界曲线． 证 将区域分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明． （1）如果是单连通区域，则分以下两种情况讨论． ① 平行于坐标轴的直线和最多有两个交点．如图12-8所示，若将区域表示为型区域，则 ． 图12-8 因为连续，所以根据二重积分的计算方法有 根据对坐标的曲线积分计算方法及性质，有 由此可得 ． （12-5） 若将区域表示为型区域，同理可得 ． （12-6） 由于式（12-5）和式（12-6）同时成立，两式相加即得式（12-4）． ② 平行于坐标轴的直线和曲线有两个以上的交点．对于这种情况，可引入辅助曲线，把区域分成有限个小区域，使每个小区域都满足①的条件．例如，如图12-9所示，对于闭区域，它的边界曲线为，引进一条辅助线，把分成三个部分．对于每个部分应用公式（12-4），得 ， ， ． 图12-9 把以上三个等式相加，注意相加时沿辅助线来回的曲线积分相互抵消，便得 ， 其中是的正向边界曲线． （2）如果是复连通区域，则可用辅助线把区域划分成单连通区域．如图12-10所示，在复连通区域引入直线段，则是以，为边界曲线的单连通区域，从而 图12-10 通过格林公式，我们可得到曲线积分的另一种计算方法，即将曲线积分转化为二重积分进行计算． 通过格林公式，曲线积分还可以用来计算平面图形的面积．在格林公式中取，，得平面图形的面积为 ． （12-7） 例1 求椭圆所围成图形的面积． 解 根据式（12-7）得椭圆面积为 ． 例2 计算，其中为和所围成区域的正向边界曲线． 解 应用格林公式得 （例3、例4详见教材） n 【学生】掌握格林公式的相关定义、定理，及其应用 学习格林公式。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （30 min） n 【教师】讲解平面上曲线积分与路径无关的等价条件 设在平面区域内具有一阶连续偏导数．是内任意给定的两点，如果对于内从起点到终点的任意两条曲线与，等式 恒成立，则称曲线积分在区域内与路径无关，否则称与路径有关． 在内，若起点为、终点为，则与路径无关的曲线积分可简记为 ． 定理2 设是单连通区域，若函数在内具有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价： （1）对于内任意光滑闭曲线，有； （2）在区域内与路径无关，只与起止点有关； （3）为某二元函数的全微分，即； （4）在内每一点处有成立． 证 要证明以上四个命题等价，只需按照（1）（2）（3）（4）（1）的模式，分四步证明即可． （1）（2）．设和为内任意两条从A点到B点的有向分段光滑曲线，此时形成一条闭曲线，则 ， 因为 所以 ， 即在区域内与路径无关，只与起止点有关． （2）（3）．在内取定点和任一动点，如图12-13所示，因积分与路径无关，故该曲线的积分可记为 ， 图12-13 当起点固定时，该积分的值取决于终点，即该积分与构成函数关系，把该函数记为，则 ， 取从点B沿着平行于x轴的直线段到点C，则 ， 因为直线段的方程为，根据对坐标的曲线积分的计算法，上式成为 ， 应用定积分中值定理，得 ， 于是 ． 同理可证，从而有 ． （3）（4）．设存在函数使得，则 ，， 由于P，Q在内具有一阶连续偏导数，因此在内每一点处有 ． （4）（1）．设为中任一分段光滑闭曲线，所围区域为，则由格林公式，得 ． 例5 计算曲线积分，其中为上从点到点的曲线弧，如图12-15所示． 解 由于，因此原积分与路径无关．为了计算简便，选取平行于坐标轴的折线为积分路径，则有 ． 图12-14 图12-15 （例6、例7详见教材） n 【学生】掌握平面上曲线积分与路径无关的等价条件 学习平面上曲线积分与路径无关的等价条件。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课主要介绍了格林公式及其证明、格林公式的应用，平面上曲线积分与路径无关的等价条件。课后要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 【教师】布置课后作业：习题12.3 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课效果不错，水平不一样的学生都成功的掌握了知识点。学生在迈向社会前，尽早地学会认识自己、尊重自己和对自己的选择负责。给学生选择的自由也就是承认了学生的差异，并宽容于学生之间的差异 7 目 录