第25课定积分的换元积分法和分部积分法.doc

定积分的换元积分法和分部积分法 第 课 25 课题 定积分的换元积分法和分部积分法 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握定积分的换元积分法。 （2）掌握定积分的分部积分法。 思政育人目标： 通过学习定积分的换元积分法和分部积分法，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点：换元积分法和分部积分法的相关定理 教学难点：利用换元积分法和分部积分法计算定积分 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解定积分的换元积分法，并通过例题介绍其应用 定理 设函数在上连续，函数满足： （1），； （2）在或上单调且有连续的导数，则 ． 这个公式称为定积分的换元公式． 证明 因为，及均为连续函数，所以及都有原函数，设是的一个原函数，则 ． 另一方面，因为，所以是的一个原函数，从而 ， 因此 ． 例1 求． 解 令，则．当时，；当时，（可以看出，，是单调增加的）．于是 ． 例2 计算． 解 令，则，．当时，；当时，．于是 ． 例3 计算． 解 令，则．当时，；当时，． 于是 ． 例4 计算． 解 ． 例5 证明： （1）若在上连续且为偶函数，则； （2）若在上连续且为奇函数，则． 证明 因为，对积分做变量代换，令，则 ， 于是 ． （1）若为偶函数，则，从而得到 ． （2）若为奇函数，则，从而得到 ． 例6 若在上连续，证明： （1）； （2），并由此计算的值． 证明 （1）令，则．当时，；当时，．因而有 ． （2）令，则．当时，；当时，．因而有 ． 所以 ． 利用上述结论，可得 ． n 【学生】掌握定积分的换元积分法，及其应用 学习定积分的换元积分法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （20 min） n 【教师】讲解定积分的分部积分法，并通过例题介绍其应用 设函数，在区间上具有连续导数，，由不定积分的分部积分法，可得 ， 简记为 或． 这就是定积分的分部积分公式． 例7 求． 解 ． 例8 计算． 解 ． 例9 求． 解 先换元，然后利用分部积分法，令，则，．当时，；当时，． ． 例10 设函数在上具有三阶连续导数，且有，，，求． 解 ． 例11 证明一个重要的递推公式： 证明 ， 所以 ． 这个等式称为关于下标的递推公式． 当为正偶数时， ， 且； 当为大于1的正奇数时， ， 且． 所以 例12 求． 解 ． n 【学生】掌握定积分的分部积分法，及其应用 学习定积分的分部积分法，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论 （10 min） n 【教师】组织学生讨论以下问题 1．定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法有何联系与区别？ 2．定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有何联系与区别？ 3．设是以周期为T的连续函数，定积分与是否相等？为什么？ 4．当用分部积分法计算，时，应如何选择？ n 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了定积分的换元积分法和分部积分法的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题6.3 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课发现一些学生的练习不够，强化不够，检查不够，解题时出现了一些不应出现的错误，后面的教学中应要求学生更多地进行练习，让学生在练习中体会、理解所学知识的应用，并学会在练习中总结，反思。 9 目 录