第9课平面及其方程.doc

平面及其方程 第 课 9 课题 平面及其方程 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）掌握平面的点法式方程、一般方程和截距式方程 （2）掌握两平面夹角的定义和公式 思政育人目标： 通过学习数量、向量积、混合积，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神 教学重难点 教学重点：平面的点法式方程、一般方程和截距式方程 教学难点：两平面的夹角 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解平面的点法式方程，并通过例题介绍其应用 一般地，如果非零向量垂直于平面，则称此向量为该平面的法线向量，简称法向量． 若已知平面过点，且它的一个法线向量为，则平面的位置就可以完全确定，下面我们来建立平面的方程． 如图9-21所示，设是平面上的任意一点，那么有，即，因为，所以有 ． （9-2） 由点的任意性知，平面上任一点的坐标值满足方程（9-2）．反之，如果不在平面上，那么向量与法线向量不垂直，从而，即不在平面上的点坐标不满足方程（9-2）．所以方程（9-2）称为平面的方程，而平面称为方程（9-2）的图形． 由于是由平面上的一点及它的一个法线向量确定的，所以此方程称为平面的点法式方程． 图9-21 例1 求过点，且以为法向量的平面方程． 解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 ， 即 ． （例2、例3详见教材） n 【学生】掌握平面的点法式方程 n 【教师】讲解平面的一般方程 设有三元一次方程 ， （9-3） 任取满足方程（9-3）的一组解，则有 ， （9-4） 将方程（9-3）与方程（9-4）相减，有 ． （9-5） 由此可见，方程（9-5）就是过点且以为法线向量的平面方程．因方程（9-5）与方程（9-3）同解，所以任意一个三元一次方程的图形总是一个平面． 方程（9-3）称为平面的一般方程，其中的系数就是该平面的一个法线向量的坐标，即．例如，方程表示一个平面，就是这平面的一个法线向量． 以下是平面一般方程的几种特殊情形及特点． （1）当时，方程为表示一个通过原点的平面． （2）当时，方程为，法线向量垂直于轴，方程表示一个平行于轴的平面；同理，方程和分别表示平行于轴和轴的平面． （3）当时，方程为或，法线向量同时垂直于轴和轴，方程表示一个平行于面的平面；同理，方程和分别表示一个平行于面和面的平面． 例4 求过点，且与平面平行的平面方程． 分析 若两平面平行，则其法向量平行，因此所求平面的法向量可取平面的法向量． 解法一（采用点法式方程） 所求平面的法线向量为，根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 ， 即 ． 解法二（采用一般方程） 所求平面的法线向量为，根据一般方程，设所求平面的方程为 ， 代入点得，即 ． 例5 求通过轴和点的平面方程． 分析 由平面通过轴可知，其法向量垂直轴，即；过原点，即．因此可设平面方程为，再把已知点的坐标代入即可求出． 解 设所求平面的方程为 ， 因为点在此平面上，所以 ，即， 将代入所设方程得 ， 因为，所以方程两边同时除以得 ． （例6详见教材） n 【学生】掌握平面的一般方程 学习平面的点法式方程、平面的一般方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （20 min） n 【教师】讲解平面的截距式方程，并通过例题介绍其应用 图9-22 如图9-22所示，设平面与轴、轴、轴的交点依次为 三点，确定此平面的方程（其中）． 把点的坐标代入平面的一般方程，有 由此得 ， 以此代入方程，并使方程两端同时除以得 ． （9-6） 方程（9-6）称为平面的截距式方程，而依次称为平面在轴上的截距． 例7 写出平面的截距式方程． 解法一 先求出平面在轴上的截距，然后代入截距式方程． 令，有，即所给平面在轴上的截距为． 同理，令，有，即；令，有，即． 因此，所给平面的截距式方程为 ． 解法二 直接把一般方程化为截距式方程． 例8 求平行于平面并与三个坐标平面所围成四面体体积为一个单位的平面方程． 解法一 因为所求平面与平面平行，所以可设平面方程为 ． 令，有，即；令，有，即；令，有，即． 由平面与三个坐标平面所围成的四面体体积为一个单位得 ， 即 ． 得 ， 因此，所求平面的方程为 ． 解法二 利用截距式方程求解． n 【学生】掌握平面的截距式方程 n 【教师】讲解两平面的夹角，并通过例题介绍其应用 图9-23 两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角． 如图9-23所示，设有两平面和， ； ， 则平面和的夹角应是和两者中的锐角，因此，． 按两向量夹角的余弦公式，有 ， （9-7） 公式（9-7）为两平面夹角的余弦表达式． 从两向量垂直、平行的充分必要条件可推出． （1）平面和垂直； （2）平面和平行； （3）平面和重合． 例9 求平面和的夹角． 解 因两平面的法线向量为，由公式（9-7）可得 ， 因此，所求夹角为． 例10 已知平面通过点和，且垂直于平面，求它的方程． 解法一 设所求平面的法线向量为，因为平面过点和，即向量在所求平面上，所以，于是得 ，即． 平面的法线向量为，因为所求平面垂直于平面，所以，于是得 ， 将代入上式得 ． 根据平面的点法式方程可得所求平面方程为 ， 方程两端同时除以得 ． 解法二 设从点到点的向量为，平面的法线向量为，因为向量在所求平面上，所求平面垂直于平面，所以所求平面的法线向量可取为，即 ， 所以，所求平面方程为 ， 即 ． （例11、例12详见教材） n 【学生】掌握两平面的夹角的定义和公式 学习平面的截距式方程、两平面的夹角。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论 （10 min） n 【教师】组织学生讨论以下问题 1．平面方程有哪几种形式？不同形式之间可否相互转化？如何转换？ 2．在平面解析几何和空间解析几何中，一次方程的图形有什么不同？ 3．平面的法向量是否唯一？他们之间有什么关系？ 4．空间曲线的一般方程是否唯一？ n 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课讨论了平面的点法式方程、一般方程和截距式方程，求平面方程时，应根据问题的条件选择适当的方法，最后常写出平面的一般方程；给出了两平面夹角的定义和公式；推导了点到平面的距离公式。课后要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题9.4 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课效果不错。实践表明，学生的学习兴趣是自主学习的原动力。教学中，教师应积极地为学生创设一种情趣盎然的学习气氛，使学生受到陶冶、感染和激励，从而主动学习。在课堂上教师应大胆地让学生进行自由讨论、交流，赞扬学生一些独特看法，让学生真切地感受到学习是快乐的。这样自主学习的劲头就更足了 9 目 录