第26课反常积分.doc

反常积分 第 课 26 课题 反常积分 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解无穷限的反常积分，并掌握其应用。 （2）理解无界函数的反常积分，并掌握其应用。 思政育人目标： 通过学习穷限的反常积分和无界函数的反常积分，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 教学重点：无穷限的反常积分的定义、无界函数的反常积分的定义 教学难点：无穷限的反常积分的应用 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解反常积分的概念 前面讨论的定积分，其积分区间为有限区间，且在定积分存在的条件下被积函数在上是有界的．可是在很多实际问题中会遇到积分区间为无穷区间或者被积函数在积分区间上是无界的定积分，这样的积分称为反常积分或广义积分．本节将通过定积分对这两种情形的反常积分进行讨论． n 【教师】讲解无穷限的反常积分，并通过例题介绍其应用 定义1 设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即 ． 这时也称反常积分收敛．如果上述极限不存在，则称反常积分发散．这时反常积分仅仅是个记号，不表示任何数值． 由定义可知，我们讨论反常积分的敛散性，实际上就是考察变上限积分 ， 当时的极限是否存在． 若在上为非负的，且反常积分收敛，则的值从几何上可以解释为由曲线与直线及轴所围成的向右无限延伸区域的面积，如图6-9所示． 图6-9 类似地，可定义在上的反常积分为 ． 而在上的反常积分为 ． 其中，为任意实数．当反常积分和同时收敛时，则称反常积分收敛；当和中一个发散或两个均发散时，则称反常积分发散． 设是在上的一个原函数，则 记，于是有 ． 类似地，若记，则 ， ． 例1 计算反常积分． 解 尽管这样做，结果是对的，但其方法是错误的．原因是该解题过程没有按照反常积分的定义中所规定的方法做．正确做法是：先用某有限数，一般取0把积分拆成两部分，然后再讨论各部分的敛散性，如果它们均收敛，反常积分才收敛． ， 因为 所以 ， 即所求积分收敛． 上述反常积分值的几何意义：位于曲线的下方、轴上方的图形的面积，当，时，阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却是有限值，如图6-10所示． 图6-10 例2 计算积分． 解法一 不论还是，都趋于正无穷．那么这里无穷大减无穷大的结果是什么？判断不了． 解法二 利用被积函数是奇函数，积分区间是以原点为心的对称区间的特性，得 ． 因此所给积分收敛． 上述两种方法都是错误的． 正确做法是 ， 而 第一部分已经发散，故没有必要再计算第二部分．同样有．故该积分发散． 例3 讨论反常积分的敛散性． 解 当时， ． 当时， ； 当时， ． 因此，当时，此反常积分收敛，其值为；当时，此反常积分发散． n 【学生】理解无穷限的反常积分的定义，并掌握其应用 学习无穷限的反常积分，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （20 min） n 【教师】讲解无界函数的反常积分，并通过例题介绍其应用 定义2 设函数在区间上连续，而在点a的右邻域内无界．取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作，即 ． 这时也称反常积分收敛．如果上述极限不存在，就称反常积分发散． 类似地，设函数在区间上连续，而在点b的左邻域内无界．取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作，即 ． 这时也称反常积分收敛．如果上述极限不存在，就称反常积分发散． 设函数在区间上除点外连续，而在点c的任意邻域内无界．如果两个反常积分与都收敛，则收敛，且定义 ． 如果两个反常积分与有一个发散，则称反常积分发散． 如果函数在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数的瑕点．故无界函数的反常积分又称为瑕积分． 如果为的原函数，当a为瑕点时，则有 ， 可采用如下简记形式 ． 类似地，当b为瑕点时，有 ． 当为瑕点时，有 例4 计算反常积分． 解 因为，所以为函数的瑕点． 这个反常积分值的几何意义：位于曲线之下、轴之上，直线与之间的图形面积，如图6-11所示． 图6-11 例5 讨论反常积分的敛散性． 解 函数在区间上除外连续，且．由于 ， 反常积分发散，所以反常积分发散． 例6 讨论反常积分的敛散性． 解 当时， ． 当时， ． 当时， ． 因此，当时，此反常积分收敛，其值为；当时，此反常积分发散． n 【学生】理解无界函数的反常积分的定义，并掌握其应用 学习无界函数的反常积分，及其应用。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论 （10 min） n 【教师】组织学生讨论以下问题 1．反常积分的几何意义是什么？ 2．两类反常积分能否相互转换？ 3．下面的计算是否正确？为什么？ ． n 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了无穷限的反常积分和无界函数的反常积分的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题6.4 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课由于对所讲知识中重点和难点的把握较好，因此取得了不错的效果。我在教学过程中体会到，对教学重点、难点的把握正确与否，决定着教学过程的意义。若不正确，教学过程就失去了意义，若不明确，教学过程就失去了方向。因此重点和难点是教学活动的依据，也是教学活动中的重点和方向，一定要把握好。 9 目 录