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导数的概念 第 课 6 课题 导数的概念 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）理解导数的概念。 （2）会利用导数定义求导数，会通过导数定义计算简单函数的导数。 （3）理解函数的可导性与连续性的关系。 （4）理解导数的几何意义。 思政育人目标： 通过引导学生从生活中发现导数的定义，并一步步的探索，感受成功的乐趣，增强学生的自信心；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的。 教学重难点 教学重点：导数的概念、导数的几何意义 教学难点：利用导数定义求导数 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：课前任务→考勤（2 min）→知识讲解（43 min） 第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 课前任务 n 【教师】布置课前问答题： （1）导数是因为哪些实际问题产生的？ （2）什么是导数？ （3）可导与连续的关系？ n 【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材 通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （43 min） n 【教师】讲解导数产生的背景，并通过例题讲解介绍其应用 例1 求变速直线运动物体的瞬时速度． 设某物体做变速直线运动，在时间内运动的路程为，求物体在时间的瞬时速度． 如果质点做匀速直线运动，那么按照公式 便可求出．但现在要求质点做变速直线运动的瞬时速度，遇到了速度变与不变的矛盾，在整个时间间隔内不能应用上述公式求时刻的速度．但孤立地停止在时刻，又无法求出，初等数学的知识已解决不了这一问题．那么我们可以设法在物体的运动变化和相互联系中，利用矛盾转化的方法，分三步来解决这一问题． （1）给一个增量，时间从变到了，路程有了增量 ， 这一步称为“求增量”． （2）当很小时，速度来不及有较大的变化，可把质点在间隔内的运动近似地看成匀速运动，这实质上是把变速运动近似地转化成匀速运动．现求物体在内的平均速度 ， 这一步简称为“求增量比”． （3）越来越小，平均速度便越来越接近于时刻的瞬时速度，于是当时，平均速度的极限就是瞬时速度，即 ， 这一步简称为“取极限”． 这样以辩证法为指导，以极限为工具，解决了初等数学无能为力的问题．用此结论，我们可以推出自由落体运动（为常数）在时刻的速度为． 例2 求曲线切线的斜率． 如图2-1所示，设连续曲线及上的点，在曲线上任取一点，作割线．如果在曲线上逐渐向点移动，则割线绕点转动．当点移动到位置（与重合）时，得到直线的极限位置，则称为曲线在点处的切线．这个定义包含了中学数学圆的切线定义． 图2-1 n 【学生】了解导数产生的背景 n 【教师】讲解导数的定义，并通过例题讲解介绍其应用 1．函数在一点处的导数 定义1 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量x在点取得改变量（仍在该邻域内，且）时，相应有函数的改变量，若极限 （1） 存在，那么称函数在点处可导，且极限值称为函数在点的导数，记为，即 ， （2） 也可以记作 或． 导数定义公式（2）还可以有以下几种形式： ， ， ． n 【学生】了解导数产生的背景 n 【教师】讲解导数的定义，并通过例题讲解介绍其应用 1．函数在一点处的导数 定义1 设函数在的某个邻域内有定义，当自变量x在点取得改变量（仍在该邻域内，且）时，相应有函数的改变量，若极限 （1） 存在，那么称函数在点处可导，且极限值称为函数在点的导数，记为，即 ， （2） 也可以记作 或． 由导数的定义可知，例1中提到的自由落体运动在时刻的速度实际就是在时的导数，因此 ． 故物体做自由落体运动在任意时刻的速度． 若极限式（2）不存在，则称函数在点处不可导，称为函数的不可导点；如果不可导的原因是式（2）的极限为，为方便起见，此时也称函数在处的导数为无穷大． 例3 已知常值函数（为常数），求，． 解 ． 这说明常数的导数等于零． 例4 设函数（n为正整数），求． 解 ． 2．左导数和右导数 如果极限 ， 存在，则分别称为函数在点的左导数和右导数．在点的左导数和右导数称为在点的单侧导数． 由极限存在的充要条件，可以得出以下结论： 存在与存在，且． 例5 绝对值函数在处是否可导？ 解 由导数定义可求 ， ， 因为，所以在点导数不存在． 从函数的图像（见图2-2）容易发现，在处图像产生了“尖点”．由此可以猜想：如果函数在处可导，则其图像必定在该点处是“光滑”状态． 图2-2 3．函数的导函数 如果函数在开区间内每一点都可导，则称函数在开区间内可导．这样对每一个，都有一个导数值，因此构成了一个新的函数，这一新的函数称为的导函数，在不至于产生混淆的情形下，仍简称为导数，记为，，，，即 ． 如果函数在开区间内可导，且，都存在，我们称在闭区间上可导． 例6 求函数的导数． 解 ． 所以． 用类似方法可证明． 例7 求函数的导数． 解 ． 所以，特别地． 例8 求函数的导数． 解 ． 设，则，当时，．所以 ． 所以． 同理可得． n 【学生】理解导数的定义，学会利用导数定义求导数，会通过导数定义计算简单函数的导数 学习导数产生的背景、导数的定义。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 第二节课 知识讲解 （20 min） n 【教师】讲解导数的几何意义，并通过例题讲解介绍其应用 由例2关于曲线切线的讨论及导数的定义可知： 是函数表示的曲线在点切线的斜率，即（为切线的倾斜角），如图2-1所示． 于是，当存在时，曲线在点处的切线方程为 ． 若，则曲线在点处具有垂直于轴的切线（也称铅直切线），其方程为．过切点且与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线，相应的法线方程为 ． 例9 求曲线在点处的切线方程与法线方程． 解 由导数几何意义知，曲线在点处切线的斜率，因此，所求切线方程为，即． 曲线在点处法线的斜率，因此，所求法线方程为，即． n 【学生】理解导数的几何意义 n 【教师】讲解函数可导性与连续性的关系，并通过例题讲解介绍其应用 定理1 如果函数在点处可导，则函数在点处必连续． 证明 由于函数在点处可导，所以 ． 根据函数的极限与无穷小的关系定理可知 ， 其中 ， 所以 ． 于是当时，有．所以，函数在点处连续． 该定理可简言之：可导必连续．但其逆命题不成立．例如，函数在处连续，但在处不可导．这说明函数在某点处连续是该点处可导的必要条件，但不是充分条件． 例10 设函数在点处可导，试确定的值． 解 因为函数在点处可导，所以函数在点处必连续，即 ． 而 ， 所以 ． 又因在点处可导，故． ， ， 于是，易得． 综上所述，当函数在点处可导时，，． n 【学生】理解闭区间上连续函数的性质 学习导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 问题讨论 （10 min） n 【教师】组织学生讨论以下问题 1．若存在，观察下列极限，指出表示什么？ （1）； （2）； （3）． 2．若函数在处可导，在什么情况下，在处也可导？ 3．总结求导数的步骤． n 【学生】讨论、发言 通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题2.1 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课由于前面的讲解没有注意时间，所用时间过长，导致前松后紧，课堂练习环节所留的时间较为紧张。在今后的教学中要以此为鉴，更加注重时间的分配，避免发生类似情况。 11 目 录