第1课函数.doc

《高等数学（上册）》教案 课时分配表 章序 课程内容 课时 备注 1 函数与极限 10 2 导数与微分 8 3 微分中值定理与导数的应用 8 4 不定积分 10 5 常微分方程 10 6 定积分 10 7 定积分的应用 2 其他 机动 2 考试 2 合计 64 课题 函数 课时 2课时（90 min） 教学目标 知识技能目标： （1）熟悉几种常见的区间、领域的概念； （2）理解函数的概念，能够计算函数的定义域、判断两个函数是否为同一函数； （3）掌握函数四种性质（单调性、奇偶性、有界性和周期性）的分析与判断； （4）理解反函数和复合函数的概念； （5）理解基本初等函数的概念，熟练掌握基本初等函数的图形和主要性质； （6）理解初等函数的概念； （7）理解分段函数的概念，能够画一些简单分段函数的图形 思政育人目标： 使学生了解函数在实际中的应用，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神；引导学生运用所学知识揭示生活中的奥秘，在实践中深化认识，达到学以致用的目的 教学重难点 教学重点：函数的概念和四种性质 教学难点：反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的作图 教学方法 讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法 教学用具 电脑、投影仪、多媒体课件、教材 教学设计 第1节课：课前任务→考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min） 第2节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10min）→课堂小结（5 min） 教学过程 主要教学内容及步骤 设计意图 第一节课 课前任务 n 【教师】布置课前问答题： （1）什么是函数？ （2）函数在我们的日常生活中有什么用途？ n 【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉教材 通过课前的预热，让学生了解所学课程的大概内容，激发学生的学习欲望 考勤 （2 min） n 【教师】清点上课人数，记录好考勤 n 【学生】班干部报请假人员及原因 培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况 知识讲解 （33 min） n 【教师】讲解几种常见的区间，领域的概念 1．区间 实数集常用区间或邻域的形式表示．常见的区间有： 开区间； 闭区间； 半开半闭区间，． 无穷区间，， ． 2．邻域 设a是一实数，是一正数，则称集合为点a的邻域，记作，即 其中，点a称为邻域的中心，称为邻域的半径． n 【学生】掌握几种常见的区间，领域的概念 n 【教师】讲解函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用 案例1 移动公司规定的短信收费标准为：当月所发短信不超过500条的，只收月租费25元；超过500条的，每条加收0.1元，则短信费用和用户当月所发短信条数的关系可表示为 案例2 去银行存钱，假设一年期整存整取的年利率为2.25%，则存款金额x与一年到期时的利息y之间的对应关系如表1-1所示． 表1-1 存款金额x/元 500 1 000 2 000 5 000 10 000 20 000 一年到期时利息y/元 11.25 22.5 45 112.5 225 450 案例3 某地气温T与时间t的关系如图1-1所示． 图1-1 以上列举的案例，有一个共性：在同一过程中有着两个相互依赖的变量，当其中一个量在某数集内取值时，按一定的规则，另一个量有唯一确定的值与之对应．变量之间的这种关系就是函数关系． 定义1 设数集，变量，若当变量x在非空数集D内任取一数值时，变量依照某一对应法则f总有唯一确定的数值与之对应，则称f为D到R的函数，通常记作，或，． 其中，x称为自变量，y称为因变量，自变量x的取值范围D称为函数的定义域，因变量y的取值集合称为函数的值域． 例1 求下列函数的定义域： （1）； （2）； （3）． 解 （1）在分式中分母不能为零，所以，解得且，即定义域为． （2）在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有，解得，即定义域为． （3）在对数式中，真数必须大于零，所以，即．又因分式中分母不能为零，所以，即，即．综合起来得出所求函数的定义域为． n 【学生】理解函数的概念，能够计算函数的定义域、判断两个函数是否为同一函数 n 【教师】讲解函数的几种特性，并通过例题讲解介绍其应用 1．奇偶性 一般地，设函数在集合D上有定义，如果对任意的，恒有，则称为偶函数；如果对任意的，恒有，则称为奇函数． 例2 判断函数的奇偶性． 解 函数的定义域为全体实数R，且 ， 故是奇函数． 2．单调性 一般地，设函数在区间内有定义，如果对于内的任意两点和，当时，有，则称函数在内单调增加；如果对于内的任意两点和，当时，有，则称函数在内单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数在区间内是单调函数，则称是该函数的单调区间． 3．周期性 一般地，设函数的定义域为D，如果存在正数T，使成立，则称函数为周期函数，称T是它的一个周期． 若T是函数的一个周期，则，，也都是它的周期．对周期函数，若在它所有的周期中存在一个最小正数，则称之为最小正周期．通常所称的周期均指的是最小正周期．例如，正弦函数是周期为的周期函数． 周期为T的周期函数，在长度为T的各个区间上，其函数的图像有相同的形状．例如，对正弦函数，在长度为的各个区间上，其图像的形状显然是相同的． 4．有界性 一般地，设函数在集合D上有定义，如果存在一个正数M，对于所有的，恒有，则称函数在D上是有界函数．如果不存在这样的正数M，则称在D上是无界函数． n 【学生】掌握函数四种性质（单调性、奇偶性、有界性和周期性）的分析与判断 n 【教师】讲解反函数与复合函数，并通过例题讲解介绍其应用 1．反函数 定义2 设函数的值域是M，若对于M中的每一个y值，存在唯一确定的x值（满足）与之对应，则得到了一个定义在M上的以y为自变量x为因变量的新函数，记为，称其为的反函数． 例2 求函数的反函数． 解 将x解出来得到，函数的值域为R，故其反函数为 ，． 2．复合函数 一般地，设y是u的函数，u是x的函数．如果的值域或其部分包含在的定义域中，则y通过u构成x的函数，称为x的复合函数，记作．其中，x是自变量，u称为中间变量． 例3 指出下列复合函数由哪些简单函数复合而成： （1）； （2）． 解 （1）设，则由，复合而成． （2）设，则；设，则．所以，可以看成是由，，三个函数复合而成的． n 【学生】理解反函数和复合函数的概念 学习区间和邻域、函数的概念、函数的几种特性、反函数与复合函数。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 第二节课 知识讲解 （30 min） n 【教师】讲解初等函数，并通过例题讲解介绍其应用 1．基本初等函数 （1）常数函数（C为常数），它的定义域为，其图像如图1-3所示． 图1-3 （2）幂函数（为实数），它的定义域随而异．例如，，，，，定义域为；，定义域为；，定义域为；，定义域为等. 当时，函数的图像通过原点和点，在内单调增加，如图1-4所示．当时，函数的图像不过原点，但仍通过点，在内单调减少，如图1-5所示．当为奇数时，函数是奇函数；当为偶数时，函数是偶函数． 图1-4 图1-5 （3）指数函数，它的定义域是，函数的图像全部在x轴上方，且通过点．当时，函数单调增加；当时，函数单调减少，如图1-6所示． 图1-6 （4）对数函数，它的定义域是，函数的图像全部在y轴右侧，值域是．无论a取何值，曲线都通过点，如图1-7所示．当时，函数单调增加；当时，函数单调减少． 图1-7 （5）三角函数． 正弦函数，定义域为，值域为，奇函数，以为周期，有界，如图1-8所示． 图1-8 余弦函数，定义域为，值域为，偶函数，以为周期，有界，如图1-9所示． 图1-9 正切函数，定义域为，值域为，奇函数，以为周期，在每一个连续区间内单调增加，以直线 为渐近线，如图1-10所示． 图1-10 余切函数，定义域为，值域为，奇函数，以为周期，在每一个连续区间内单调减少，以直线为渐近线，如图1-11所示． 图1-11 （6）反三角函数． 反正弦函数，定义域为，值域为，单调增加的奇函数，有界，如图1-12所示． 图1-12 反余弦函数，定义域为，值域为，单调减少函数，有界，如图1-13所示． 图1-13 反正切函数，定义域为，值域为，单调增加的奇函数，有界，如图1-14所示． 图1-14 反余切函数，定义域为，值域为，单调减少函数，有界，如图1-15所示． 图1-15 2．初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合并且能用一个解析式表示的函数称为初等函数．例如，，，都是初等函数． 3．分段函数 有些函数，对于其定义域内自变量x不同的取值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数．分段函数是用若干个表达式表示的一个函数，其定义域是各个取值区间的并集．例如，绝对值函数其定义域为，其图像如图1-16所示．再如，取整函数，表示不超过x的最大整数，其定义域为，值域为Z，如，，．取整函数的图像如图1-17所示． 图1-16 图1-17 例4 设函数 求，，及函数的定义域． 解 因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 函数的定义域为． n 【学生】理解基本初等函数、初等函数、分段函数的概念，熟练掌握基本初等函数的图形和主要性质 学习初等函数。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化 课堂测验 （10 min） n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况 n 【学生】做测试题目 n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程 n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧 通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象 课堂小结 （5 min） n 【教师】简要总结本节课的要点 本节课学习了区间和邻域、函数的概念、函数的几种特性、反函数与复合函数、初等函数的相关知识及其应用。课后大家要多加练习，巩固认知。 n 【学生】总结回顾知识点 n 【教师】布置课后作业：习题1.1 总结知识点，巩固印象 教学反思 本节课的教学效果整体不错，大部分学生都能很好地掌握并运用所学知识，只是有小部分学生在课堂测验时出现了一些错误。在课堂上有针对性地对一些典型错误进行了讲解，并引导学生对所犯的错误进行了认识和反思，防止其以后再犯同类错误。