小学五年级奥数精选汇总(1).doc

呼和浩特卓越家教 我们的努力只为你的成长 第一 讲 分类数图形 ［知识要点］ 我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规律，从而有秩序、有条紊并且正确地数出图形的个数。 ［范例解析］ 例1 下面图形中有多少个正方形？ ［思路导航］ 图中的正方形的个数中可以分类数，如□的正方形有6×3＝18个，如？的正方形有5×2＝10个，如？的正方形有4×1＝4个。因此图中共有18＋10＋4＝32（个）正方形。 解： 6×3＋5×2＋4×1＝32（个） 答：图中有32个正方形。 例2 下图中共有多少个三角形？ ［思路导航］ 为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。 （1）图中共有6个小三角形。 （2）由两个小三角形组合的三角形有3个。 （3）由三个小三角形组合的三角形有6个。 （4）由六个小三角形组合的三角形有1个。 图中共有6＋3＋6＋1＝16（个）三角形 解： 6＋3＋6＋1＝16（个）三角形。 例3 数出下图中所有三角形的个数。 ［思路导航］ 和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形ABE一样形状的三角形有5个；和三角形ACD一样形状的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个；共有35个三角形。 解： 5＋10＋5＋5＋5＋5＝35（个） 答：共有35个三角形。 例4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？ ［思路导航］ 把相邻的两点连接起来可以得到下面的图形（图a），从图中可以看出： （1）最小的正方形有6个。 （2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个。 （3）中间还可围成2个正方形。 解： 6＋2＋2＝10（个） 答：共有10个。 例5 数一数，下图中共有多少个三角形。 ［思路导航］ 我们可以分类来数。 （1）单一的小三角形有16个。 （2）两个小三角形组合的有10个。 （3）四个小三角形组合的有8个。 （4）八个小三角形组合的有2个。 所以，图中一共有16＋10＋8＋2＝36（个）三角形。 解： 16＋10＋8＋2＝36（个） 答：图中共有36个三角形。 ［习题精选］ 1、下图中共有多少个正方形？ 2、下图中共有多少个正方形？ 3、下图中共有多少个正方形？多少个三角形？ 4、下图中共有多少个三角形？ 5、数一数，图中共有多少个三角形。 6、数一数，图中共有多少个三角形。 7、数出下面图形中分别有多少个三角形。 8、下图中共有8个点，连接任意四点围成一个长方形。一共能围成多少个长方形？ 9、下图中共有6个点，连接其中的三个点围成一个三角形。一共能围成多少个三角形？ 10、下图中共有9个点，连接其中的四个点围成一个梯形。一共能围成多少个梯形？ 11、下图中共有多少个三角形？ 12、图中共有多少个三角形？ 13、下图中共有多少个正方形？ 第二讲 平均数问题（一） ［知识要点］ 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数＝总数量÷总份数 总数量＝平均数×总份数 总份数＝总数量÷平均数 ［范例解析］ 例1 有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个。苹果和桃平均每箱37个。求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？ ［思路导航］ 1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子＝42×3＝126（个） 1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子＝36×3＝108（个） 1箱苹果＋1箱桃＝37×2＝74（个） 由？？两个等式可知： 一箱苹果比一箱桃多126－108＝18（个），再根据等式？就可以算出，一箱桃有（74－18）÷2＝28（个），一箱苹果有28＋18＝46（个）。 解： 一箱苹果和一箱桃共有的个数：37×2＝74（个） 一箱苹果比一箱桃多的个数：42×3－36×3＝18（个） 一箱桃的个数：（74－18）÷2＝28（个） 一箱苹果的个数：28＋18＝46（个） 答：一箱苹果46个，一箱桃28个。 例2 一次数学测验，全班平均分是91分，已知女生有21人，平均每人93分，男生平均每人90分，求这个班男生有多少？ ［思路导航］ 女生每人比全班平均分高93－91＝2（分），而男生每人比全班平均分低91－90＝1（分）。全体女生高出全班平均分2×21＝42（分）。应补给每个男生1分，42里包含有42个1，即全班有42个男生。 解： （93－91）×21＝42（分） 42÷（91－90）＝42（人） 答：这个班男生有42人。 例3 五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16，这个改动的数原来是多少？ ［思路导航］ 原来五个数的和是，18×5＝90，改动以后五人数的和是16×5＝80，80比90少10，这10是把那个数改为6后少掉的，因此，这个改动的数原来是6＋10＝16。 解： 18×5－16×5＝10 6＋10＝16 答：这个改动的数原来是16。 例4 一位同学在期中测验中，除了数学外，其它几门功课的平均成绩是94分，如果数学算在内，平均每门95分。已知他数学得了100分。问这位同学一共考了多少门功课？ ［思路导航］ 100分比95分多5分，这5分必须填补到其它几门功课的成绩中去，使其它平均分94分变成95分。每门填补95－94＝1（分），5里面有5个1，所以其它有5门功课，连数学在内一共考了5＋1＝6（门）功课。 解： （100－95）÷（95－94）＝5（门） 5＋1＝6（门） 答：这位同学一共考了6门功课。 例5 把五个数从小到大排列，其平均数是38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？ ［思路导航］ 先求出五个数的和：38×5＝190。再求出前三个数的和：27×3＝81，后三个数的和：48×3＝144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必须比190多，而多出的部分就是所求的中间一个数。 解： 27×3＋48×3－38×5＝35 答：中间一个数是35。 ［习题精选］ 1、一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分。乙、丙、丁三人平均分89分。甲、丁二人平均分95分，问甲、丁各得多少分？ 2、甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。求四人的平均体重是多少千克？ 3、甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植18棵，甲、丙两组平均每组植17棵，乙、丙两组平均每组植19棵。三个小组各植树多少棵？ 4、两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下，乙组有多少人？ 5、有两块棉田，平均每公亩产量是92.5千克，已知一块地是5公亩，平均每公亩产量是是101.5千克，另一块田平均每公亩产量是85千克。这块田是多少公亩？ 6、把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元。已知甲级糖有4千克，平均每千克8元，乙级糖有2千克，平均每千克多少元？ 7、某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3。被改的数原来是多少？ 8、甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是90分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成87分，因此算得的四人平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？ 9、小明前几天数学测验的平均成绩是84分，这次要考100分，才能把平均成绩提高到86分，问这是他第几次测验？ 10、老师带着几个同学在做花，老师做了21朵，同学平均每人做了35朵。如果师生合起来算，正好平均每人做37朵，求有多少同学在做花？ 11、小明前五次数学测验的平均成绩是88分。为了使平均成线达到92.5分，小时要连续考多少次满分？ 12、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？ 13、十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？ 14、下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均数，求C是多少？ 第三讲 平均数问题（二） ［知识要点］ 解答平均数应用题的关键是找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关系。 通过变形、综合后的平均数应用题，数量关系比较复杂，也比较隐藏。只要同学们始终记住，平均数是由“总数量”除以与“总数量”相对应的“总份数”而得到的这一关系，采用作图、假设等方法，开动脑筋，认真审题，就能找出正确的解题方法。 ［范例解析］ 例1 小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是89分，政治、数学两科平均分91.5分，语文、英语两科平均分84分。政治、英语两科平均86分，英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少？ ［思路导航］ 因为语文、英语两科平均分84分，即语文＋英语＝168分，而英语比语文多10分，即英语－语文＝10分，所以，语文是（168－10）÷2＝79（分），英语是79＋10＝89（分）。又因为政治、英语两科平均86分，所以政治是86×2－89＝83（分）；而政治、数学两科平均分91.5分，数学是91.5×2－83＝100（分）；最后根据五科的平均成绩是89分可知自然分是89×5－（79＋89＋83＋100）＝94（分） 解： 语文： （84×2－10）÷2＝79（分） 英语：79＋10＝89（分） 政治：86×2－89＝83（分） 数学：91.5×2－83＝100（分） 自然：89×5－（79＋89＋83＋100）＝94（分） 答：小亮的语文97分，英语89分，政治83分，数学100分，自然94分。 例2 创新路小学五年级有三个班，其中一、二班学生平均50人，二、三年级平均43人，一、三两班学生平均45人，这三个班学生平均有多少人？ ［思路导航］ 由题意可知：一班、二班共有学生50×2＝100（人），二、三班共有学生43×2＝86（人），一、三班共有学生45×2＝90（人），由于每个班的学生人数都加了两次，所以不难算出一、二、三班的学生一共的人数是（100＋86＋90）÷2＝138（人），即是此题的总分量。再用此总数量除以总份数3便可解答此题。 解： （50×2＋43×2＋45×2）÷2÷3＝276÷6＝46（人） 答：这三个班学生平均有46人。 例3 已知八个连续自然数的和是204，求这八个连续自然数。 ［思路导航］ 想一想，连续自然数的特点是什么？八个连续自然数中，第一、八两个数，第二、七两个数，第三、六两个数，第四、五两个数各自的和均等于204÷4＝51。知道第四、五两个连续自然数的和是51，由此便可以求出来第四、五这两个数，从而求出其他各个数。 解： （1）八个连续自然数中，第四、五两个数的和是：204÷4＝51 （2）第四、五两个数分别是：第四个数（50－1）÷2＝25；第四五个数25＋1＝26。 （3）其余六个数分别是： 第三个数：25－1＝24 第二个数 24－1＝23 第一个数：23－1＝22 第六个数 25＋2＝27 第七个数：27＋1＝28 第八个数 28＋1＝29 答：这八个连续自然数是22、23、24、25、26、27、28、29。 例4 下面一串数是一个等差数列： 2，5，8，……，212。 这串数的平均数是多少？ ［思路导航］ 等差数列的平均数等于这一串数的总和除以项数（这串数的个数），而等差数列的求和公式为（首项＋末项）×项数÷2，所以，等差数列的平均数为（首项＋末项）÷2，即头、尾两数的平均数。 解： （2＋212）÷2＝107 答：这串数的平均数是107。 例5 王强从A地到B地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行12千米，剩下的步行，每小时走4千米。王强行完全程的平均速度是每小时多少千米？ ［思路导航］ 求行全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A地到B地间的路程，我们可以设全程为24千米（也可以设其他数），这样，就可以算出行全程所用的时间是12÷12＋12÷4＝4（小时），再用24÷4就能得到行全程的平均速度是每小时行6千米。 解： 24÷（12÷12＋12÷4）＝6（千米） 答：王强行完全程的平均速度是每小时6千米。 例6 在暑假中，圆圆看一本故事书，第一天读83页，第二天读64页，第三天读74页，第四天读了71页，第五天读的页数比五天中平均读的页数还多12页，圆圆在第五天读了多少页？ ［思路导航］ 由题知前四天每天平均读（83＋64＋74＋71）÷4＝73（页）。很明显，第五天读的页数比73页多，由此平均数就增加了。为了便于思考。我们可画出下面的示意图。 图中“73页”后面的虚线，表示第五天后增加的平均数，应用12去补足，则每份是12÷4＝3。由此从图上很直观的看出第五天读的页数。 解： （83＋64＋74＋71）÷4＋12÷4＋12 ＝73＋3＋12 ＝88（页） 答：圆圆在第五天读了88页。 ［习题精选］ 1、甲、乙、丙、丁4人的平均年龄是84岁，已知甲与乙的平均年龄是72岁，乙与丙的平均年龄是76岁，乙与丁的平均年龄是80岁，那么丁是多少岁？ 2、甲、乙、丙三个数的平均数是82，甲、乙两数的平均数是86，乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？ 3、五个数排一排，平均数是9。如果前四个数的平均数是7，后四个数的平均数是10，那么，第一个数和第三个数的平均数是多少？ 4、某班学生女同学人数恰好是男同学人数的一半，男同学的平均体重是41千克，女同学的平均体重是35千克，全体同学的平均体重是多少？ 5、35千克奶糖和65千克水果糖配成售价为每千克9元的多元糖，水果糖每千克比奶糖便宜2元。那么用奶糖80千克、水果糖120千克配成多元糖后，每千克售价多少钱？ 6、某次语文测试，甲、乙、丙、丁、戊5人的平均分比丙、丁、戊3人的平均分少4分，甲、乙两人的平均分数是75分，求5个人的平均分数。 7、求等差数列3，7，11，……，643的平均数。 8、以2为首的连续52个自然数的平均数是多少？ 9、小明去爬山，上山时每小时行3千米，原路返回时每小时行5千米。求小明往返的平均速度。 10、运动员进行长跑训练，他在前一半路程中每分钟跑150米，后一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑过程中的平均速度。 11、把一份书稿平均分给甲、乙两人去打，甲每分钟打30个字，乙每分钟打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？ 12、梨子的箱数是苹果的箱数的一半，苹果平均每箱重28千克，梨子每箱重22千克，两种水果平均每箱重多少千克？ 13、某校六年级一班52人，二班48人，数学测评中，两个班全体同学的平均成绩是82分，二班的全体成绩比一班平均成绩高5分，两个班的平均成绩分别是多少？ 14、一笔奖金分别奖给金、银、铜牌奖，其中金奖一个的奖金是每个银奖的2倍，每个银奖的奖金是每个铜奖的2倍，如果评金、银、铜奖各两个，那么，每个金奖可得奖金308元，如果评一个金奖，两个银奖，三个铜奖，那么金奖的奖金是多少元？ 第四讲 倍数问题（一） ［知识要点］ 倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。 解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数作为标准数，即1倍数），再根据其他几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数）。 ［范例解析］ 例1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？ ［思路导航］ 第一根： 第二根： 图中虚线部分表示剪去的部分。由于第二根比第一根多剪去26－18＝8（厘米），所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（3－1）倍。因比8÷（3－1）＝4（厘米），就是现在第二根铁丝的长度，它原来长4＋26＝30（厘米）。 解： （26－18）÷（3－1）＝4（厘米） 4＋26＝30（厘米） 答：原来两根铁丝各长30厘米。 例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲的图书是乙组的5倍，原来甲组有图书多少本？ ［思路导航］ 甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，18＋6就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）＝12（本），乙组原来有12＋6＝18（本），甲组原来有18×3＝54（本）。 解： （6×3＋6）÷（5－3）＝12（本） （12＋6）×3＝54（本） 答：原来甲组有图书54本。 例3 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个。两种水果原来各有多少个？ ［思路导航］ 因为苹果的个数是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果3×2＝6（个），两种水果最后一起分完。可实际每组分4个苹果，少分6－4＝2（个），16里面有8个2，所以有8组同学，因此，苹果有8×4＋16＝48（个），梨有8×3＝24（个）。 解： 16÷（3×2－4）＝8（组） 8×4＋16＝48（个） 8×3＝24（个） 答：苹果有48个，梨有24个。 例4 有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？ ［思路导航］ 根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多8×2＝16（个）桔子。如果从乙筐拿出13个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多16＋13×2＝42（个）。因此，乙筐里还42÷（2－1）＝42（个），原来乙筐里有42＋13＝55（个），甲筐里有55＋16＝71（个）。 解： （8×2＋13×2）÷（2－1）＝42（个） 42＋13＝55（个） 55＋8×2＝71（个） 答：原来甲筐有71个，乙筐有55个桔子。 例5 养鸡场买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。买来母鸡、公鸡各多少只？ ［思路导航］ 题中已知母鸡只数和公鸡只数一共100只，就可推出，母鸡只数的4倍速和公鸡只数的4倍 的和100×4＝400（只），又因为母鸡只数的4倍 比公鸡比公鸡只数的3倍 多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍 ，则公鸡只数为280÷（4＋3）＝40（只），母鸡只数为100－40＝60（只）。 解： （100×4－120）÷（4＋3）＝40（只） 100－40＝60（只） 答：母鸡有60只，公鸡有40只。 ［习题精选］ 1、两个数的和是682，其中一个加数的个位是0，如是把这上0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？ 2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和15个梨后，剩下的梨是苹果的6倍，原来两筐水果一共有多少个？ 3、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了5张，这样，小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？ 4、一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有几本书？ 5、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？ 6、同学们带着水是去看敬老院的6人，带的苹果是桔子的3倍。如果每位老人拿2个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还多14个。问同学们把苹果发给了几位老人？ 7、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出粮食40吨，乙粮库每天运出30吨。若干天后，乙粮库的粮食全部运完，而甲粮库还有80吨。甲、乙两粮库原来各有粮食多少吨？ 8、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。参加植树的一共有多少人？ 9、甲、乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓库取14吨入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍，原来两仓各存货物多少吨？ 10、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女人数同样多；如果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、生各多少人？ 11、有两块地共80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷。这两块地各有多少公顷？ 12、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个，排球和篮球各有多少个？ 13、甲、乙两人共存款550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等。求甲、乙原来各存有多少钱？ 第五讲 倍数问题（二） ［知识要点］ 解决倍数问题的关键是，必须确定一个数作为标准数，并根据题中的已知条件，找出其他几个数与这个标准数的倍数关系，再用除法求出这个标准数。由于倍数应用题中数量关系的变化，要求同学们在解题过程中注意解题技巧、灵活解题。 和倍问题的数量关系是： 和数÷（倍数＋1）＝较小数 较小数×倍数＝较大数 差倍问题的数量关系是： 差数÷（倍数－1）＝较小数 较小数×倍数＝较大数 ［范例解析］ 例1 有两堆水果糖，第一堆有82颗，第二堆有46颗，从第一堆拿多少颗水果糖到第二堆，就能使第二堆水果糖是第一堆的3倍？ ［思路导航］ 两堆水果糖共有（82＋46）颗，为了要使第二堆水果糖是第一堆的3倍，就要把总颗数分成（3＋1）份，即可求出每份水果，也就是第一堆的现在的个数，其余的都被拿到第二堆去了，进而可求拿走了多少颗。 解： （82＋46）÷（3＋1）＝32（颗） 82－32＝50（颗） 答：从第一堆拿50颗到第二堆，才能使第二堆水果糖是第一堆的3倍。 例2 养鸡场的母鸡的只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，母鸡增加60×6＝360（只），那么，后来的母鸡只数还是公鸡的6倍。可实际母鸡只增加了60只，比360只少300只。因此，现在母鸡的只数只有公鸡的4倍，少了2倍。所以，现在公鸡的只数是300÷2＝150（只），原来有公鸡150－60＝90（只），一共养了90×（1＋6）＝630（只）鸡。 解： （60×6－60）÷（6－4）＝150（只） （150－60）×（1＋6）＝630（只） 答：原来养鸡场一共养了630只鸡。 例3 有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。乙知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？ ［思路导航］ 甲车： 乙车： 丙车： 从图中中以看出：如果丙车多装200千克，就知乙车装的货物同样多，这样，三辆车装的总重量就是1800＋200＝2000（千克）。再把2000千克平均分成4份，就得到乙车上装货是500千克，甲车上装500×2＝1000（千克），丙车上装有500－200＝300（千克）。 解： （1800＋200）÷（1＋1＋2）＝500（千克） 500×2＝1000（千克） 500－200＝300（千克） 答：甲车上装有1000千克货物，乙车上装500千克货物，丙车上装300千克货物。 例4 甲、乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架书的2倍还多150本。乙书架原来有书多少本？ ［思路导航］ 甲书架借出三分之一后，还剩下600÷3×2＝400（本）。这时，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，说明乙书架还有（400－150）÷2＝125（本）。乙书架借出四分之三后剩下125本，原来有125×4＝500（本）。 解： 600÷3×2＝400（本） （400－150）÷2×4＝500（本） 答：乙书架原来有书500本。 例5 师徒二人一起加工一种零件。徒弟已经加工了480个零件，师傅已经加工了900个零件，现在如果徒弟每天加工30个，师傅每天加工80个，几天后师傅的零件个数是徒弟的2倍？ ［思路导航］ 由于已经加工的零件中，师傅比徒弟加工零件的2倍少（480×2－900）个，而现在师傅每天加工零件比徒弟的2倍要多（80－30×2）个，用它去弥补前面的不足，于是可求出所需天数。 解： （480×2－900）÷（80－30×2）＝3（天） 答：3天后师傅的零件个数是徒弟的2倍。 ［思路导航］ 1、甲仓库存粮32吨，乙仓库存粮57吨，甲仓库每天存入4吨，乙仓库每天存入9吨，几天后乙仓库存粮是甲仓的2倍？ 2、甲有邮票42张，乙有邮票48张。每次甲给乙2张，而乙又给甲4张，这样交换多少次后，甲的邮票张数是乙的2倍？ 3、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍。食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？ 4、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉310只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍。饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？ 5、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？ 6、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多少？ 7、把840本书放在书架的三层里，下层数的本数比上层的3倍多5本，中层数的本数是上层的2倍多1本。问：上、中、下三层各放书多少本？ 8、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍。这个学校共有学生多少人？ 9、食堂存有同样重量的大米和面粉，吃掉大米的四分之三和60千克面粉后，剩下的面粉的重量是大米的3倍。原来存有大米和面粉各多少千克？ 10、有两堆水泥，甲堆有12吨，已知甲堆重量的三分之一和乙堆重量的四分之一相等，乙堆有水泥多少吨？ 11、A站有公共汽车26辆，B站有公共汽车30辆。每小时由A站向B站开出汽车12辆，B站向A站开出汽车8辆，都是经过1小时到达。几小时后B站的公共汽车辆数是A站的3倍？ 12、甲仓库有大米650袋，乙仓库有大米400袋。每天从甲、乙仓各运出50袋，多少天后甲仓的大米袋数是乙仓的6倍？ 13、有两杯水，一杯有水104毫升，另一杯有水24毫升，每次往两只杯中各倒进8毫升水，倒几次后，一只杯中的水是另一杯的2倍？ 14、甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。 第六讲 客斥原理 ［知识要点］ 集合是指有某种属性的事物的全体，它是数字中的最基本的概念之一。如某班全体学生可以看做一个集合。0、1、2、3、4、5、6、7、8、9使组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素。即C＝A＋B－A。 客斥原理又称包含与排除，在解这类问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系和逻辑关系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就是为得很直观，很楚，因而容易进行计算。 ［范例解析］ 例1 文风小学五年级一班的同学都到学校图书馆借科技书和故事书。有45人借了科技书，有35人借了故事书，其中有30人既借了科技书又借了故事书。这个班共有学生多少人？ ［思路导航］ 两种书都借的人数在求总人数时被计算了两次。所以再把既借了科技书又借了故事书的人数去掉，就得到了五（一）班的学生总人数。 解： 45＋35－30＝50（人） 答：这个班共有学生50人。 注：想一想，还有其他方法解答吗？ 例2 有两个正方形，一个边长是4厘米，一个边长是6厘米。把它们按图放置。中间重叠的部分是一个边长2厘米的小正方形。被这两个正方形盖住的面积是多少？ ［思路导航］ 要求这个组合图形的面积，就要先求出这三个正方形的面积。边长4厘米的正方形的面积是（4×4＝16）平方厘米，边长6厘米的正方形的面积是（6×6＝36）平方厘米，边长2厘米的正方形的面积是（2×2＝4）平方厘米。重叠的部分在大正方形中被计算了一次，在小正方形中又被计算了一次。所以，被这两个正方形盖住的面积是（16＋36－4）平方厘米。 解： 4×4＋6×6－2×2＝16＋36－4＝48（平方厘米） 答：被这两个正方形盖住的面积是48平方厘米。 例3 五年级一班有46人，其中有12人没有参加语文竞赛和数学竞赛。参加语文竞赛的有20人，参加数学竞赛的有18人。现参加语文竞赛又参加数学竞赛的有多少人？ ［思路导航］ 如图所示，图中的方木框代表全班46人，方框中的空白部分代表没有参赛的12人，阴影部分就是代表参赛的学生人数。第一步求出有多少人参赛。然后再把参加语文竞赛的20人与参加数学竞赛的18人相加，减去参赛人数，就得到既参加语文竞赛又参加数学竞赛的人数。 解： 46－12＝34（人） 20＋18－34＝4（人） 答：既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有4人。 例4 学校开展课外活动，共有250人参加，其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？ ［思路导航］ 两个小组都参加有25人，因此，至少参加这两种小组中的一个小组的人数是83＋86－25＝144（人），所以，这两个组都不参加的人数是250－144＝106（人） 解： 250－（83＋86－25） ＝250－144 ＝106（人） 答：象棋组、乒乓球组都不参加的有106人。 例5 实验小学各年级都参加的一项书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？ ［思路导航］ 由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的。由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其他年级的。用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其他年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是（16＋20－20）÷2＝4（人），该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20＝24（人） 解： （16＋12－20）÷2＋20＝24（人） 答：书法比赛获奖的总人数是24人。 ［知识要点］ 1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育运动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？ 2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？ 3、一张纸片面积是10平方厘米，一个正方形纸片面积是16平方厘米，两张纸片重叠一部分放在桌面上，覆盖部分的面积是18平方厘米。两张纸片重叠部分的面积是多少平方厘米？ 4、小明站在一列队伍中，从左向右报数，小明报“21”；从右往左报数，小明报18，这列队伍一共有多少人？ 5、五年级二班有学生50人，有些学生学骑车，有些学生学游泳。已知有35人学骑车，两样都学的有15人，一样也不学的有2人。学游泳的有几人？ 6、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。 7、全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？ 8、有100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？ 9、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？ 10、老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人。两科中有一科在90分以上的有38人，问：两样都得90分以上的有多少人？ 11、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？ 12、少年乐团学生中有170人不是五年级的，有135人不是六年级的，已知五、六年级的共有205人，少年乐团五、六年级以外的学生共有多少人？ 13、六一儿童节同学们做小花，有24朵不是红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？ 第七讲 周期问题 ［知识要点］ 周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。 ［范例解析］ 例1 有249朵花，按5朵红花、9朵黄花、13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么