第四单元-圆的面积.doc

“圆的面积”教学设计 一、教学内容分析： 1.教学主要内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书》六年级上册第67—68页。 2.教材编写特点：圆的面积是在学生掌握了直线图形的周长和面积，并且对圆已有初步认识的基础上进行学习的。教材从认识圆入手，到圆的周长和面积，与直线图形的学习顺序是一致的。但是，学习圆是从学习直线图形到学习曲线图形，无论是内容本身，还是研究问题的方法都有所变化。学生初步认识研究曲线图形的基本方法——“化曲为直”、“化圆为方”，同时也渗透了曲线图形和直线图形的内在联系，感受极限思想。圆的面积的探究和教学，可以充分发展学生的空间观念，提高学生解决实际问题的能力，并为今后学习圆柱、圆锥的认识、表面积和体积等知识打下良好的基础。 3.教材内容的数学核心思想：本课从教材内容来看，数学的核心思想依然在延续平面图形的研究方法：转化。但是根据教学前测的情况，挖掘教学资源，为学生终身的学习建立良好的数学模型，我认为本课数学的核心思想应该落脚在“以直代曲”的思想上，并在此基础上制定了新的教学目标和重、难点。 二、学生分析： 1.学生已有知识基础：学生对圆的特征，多边形面积的计算已基本掌握，但对于像圆这样的曲线图形的面积，学生是第一次接触，如何把圆转化成直线图形具有一定的难度。学生对探究学习并不陌生，但在探究学习过程中，往往是盲目探究，因此，组织学习素材，让学生形成合理猜想，进行有方向的探究也是教学中关注的问题。 2.学生已有生活经验和学习该内容的经验：学生已经掌握了用转化法推导几何图形面积公式的方法，通过圆的面积的学习可以继续培养学生的动手操作能力、分析能力、探究能力以及迁移类推能力。与此同时，学生已经具有一定的学习能力，有进一步解决实际问题的欲望，通过合作探究应该能很顺利地掌握本课内容。 3.学生学习该内容可能的困难：理解圆面积的推导过程是本课的一个教学重难点，学生只有在理解了圆面积的推导过程的基础上才能正确掌握圆面积的计算方法。借助“化曲为直”的转化思想，把圆转化成已学过的图形是突破这个难点的一个正面的迁移，但这一过程对于学生来说是很有难度的，教师要给学生一个明确的提示，帮助学生实现这个转化过程，抓住这个“固着点”后，引导学生自主合作发现圆的面积与拼成的图形之间的关系，并推导出圆的面积计算公式。 4.学生学习的兴趣、学习方式和学法分析：学生喜欢动手操作和小组合作，但对已学过的图形知识的理解还只是停留在结果和数据上，对研究过程的深入探索不够，总结反思的不够。因此本节课重在组织学生通过动手操作和小组合作，来深入探究圆周长与直径的关系，深入理解圆周率的意义，并体会“以直代曲”的极限思想。 三、学习目标 1、结合具体情境，学生能够了解圆的面积含义。 2、学生通过小组合作，动手操作，经历圆面积计算公式的推导过程，90%的学生能够掌握圆的面积计算公式和方法；并能计算圆的面积、解决一些简单的实际问题。 3、大部分学生能够在已有经验的基础上进一步增强估计意识，让大胆的猜测和严密的推理验证相结合，学生在实际的操作过程中体会“化曲为直”和“极限”的数学思想。 4、学生能够感受圆面积与生活的密切联系；体会把未知的问题通过转化为已知得以解决的成功体验；在探究过程中养成良好的合作意识和习惯。 四、教学活动： 一、情境激趣，导入新知： 今天这节课让我们先一起到公园看一看。（播放公园喷水头正在给草地浇水的场面）到了公园，你看到了什么？（我看到喷水头正在浇灌草地）。 你能提出一两个数学问题吗？（喷水头浇灌了多大面积的草地？） 这节课我们就来研究浇灌了多大面积的草地，好吗？ 刚才有的同学看到喷水头旋转一周形成了一个圆形，求浇灌部分的面积，实际上就是求（圆的面积）。请大家想一想：什么叫做圆的面积呢？（比如说图中浇灌的草地占的位置的大小就是圆的面积。） 你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的的面积。说得真好！ 继续看，你还能发现什么？（圆的面积越来越大。） 这是为什么呢？（水喷得远了，也就是半径长了，当然面积也就大了。） 看来圆的面积与它的半径是有关的。 （爱因斯坦曾经说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”在教学中，学生主动提出问题、探究问题的习惯和能力的培养，是一个值得关注的课题。从生活的情境出发，更有利于培养学生的问题意识。） 二、小组合作，探究新知： 1.大胆估测，提出猜想： 同学们请看：方格纸上有一个半径是5米的圆（多媒体出示） 仔细观察，你发现了什么？（圆外有一个正方形，圆内也有一个正方形，圆内还有一个边长与圆的半径相等的正方形） 你能根据上面这些信息来估算圆的面积吗？（学生独立思考） 说说你是怎样估算的？（用眼睛很容易就能看出，圆的面积比圆外的正方形面积小，比圆内的正方形面积大。）（我用数方格的方法先数出1/4圆的面积约是20平方米，整个圆的面积约是80平方米。）（圆内正方形的面积恰好是2个边长和半径相等的小正方形的面积，而圆外正方形的面积恰好是4个小正方形的面积。根据生3的观点圆外正方形的面积＞圆的面积＞圆内正方形的面积，可以得到：4个小正方形的面积＞圆的面积＞2个小正方形的面积。） 很棒的推理，你能不能大胆的猜测一下，圆的面积会是多少个这样小正方形的面积呢？（是3.5个）（是3.14个）（是不是圆的面积等于π个这样小正方形的面积呀？） 以上大家觉得谁猜测符合你自己的猜测呢？（生此时会若有所悟，齐声回答是π个） 有好多的数学家、科学家都提出过自己的猜想，之后对猜想所得出的命题进行不断的实践论证。接下来我们也要通过自己的探究和发现来论证我们的猜想是否正确。 （估一估的活动，目的是进一步理解体会面积度量的含义。感受“化曲为直”的思想，同时培养学生的估计意识，通过估一估的活动来解决问题。估算来解决问题，可以估出大致的面积。） 2.探究合作，化曲为直： 请同学们在大脑中搜索一下，以前我们研究一个图形的面积时，都用到过哪些好的方法? 大家还记得我们当时学习平行四边形、三角形和梯形的面积时是怎样学的吗？（这里面都利用了数学中转化的数学思想。把平行四边形的面积转化成了长方形的面积；把三角形和梯形的面积转化成了平行四边形的面积） （通过回忆平行四边形、三角形和梯形面积计算公式的推导过程并分析，对比各个公式推导过程的共同点就是将要学的图形转化为已学过的图形。） 把未知的问题转化为我们已经学过的知识，是数学学习中非常重要，也是经常使用的数学思想。这节课我们能否把圆的面积转化成我们学过的图形的面积来计算呢？（能）如何把圆的面积转化成我们所学过的图形？现在大家就利用手中的圆片和准备的工具在小组内研究研究。 刚才老师发现有的小组已经有想法了。我看你们小组的想法就很好．谁代表小组上来说一说?大家认真听．看看他们是怎么想的?（我们把圆纸片对折得到4个扇形．求出一个扇形的面积，再乘4就能得到圆的面积。） 大家觉得这样行吗? 你们怎么求扇形的面积?（不会求）（扇形的面积不会求，但是扇形像我们学过的三角形。） 把扇形当成三角形求出面积可以吗?（不行．这样求出的面积比圆的面积小。） 怎样让扇形和三角形的面积接近一些?一会儿可以继续研究。虽然这个小组折出的扇形不太像三角形。可老师觉得这种方法给了我们一个很重要的启示，那就是他们想把圆通过折一折转化成学过的三角形来求出圆的面积。 我看你们的想法和他们不一样，谁代表你们组说一说?（我们想把圆沿着半径剪成4个扇形．把这些扇形重新拼一拼，拼出的图形有些像平行四边形。） 多有创意的想法呀，这个小组先把圆剪成4份，又重新拼成了新的图形，求出这个图形的面积也就知道了圆的面积。这个小组说他们拼成了平行四边形，大家觉得像吗?（不像） 怎么让拼成的图形更像平行四边形．也可以再研究。现在，同学们有了两种思路，一种是把圆折一折想转化成三角形，还有一种是想通过剪拼把圆转化成平行四边形．你们发现这两种方法的共同点了吗?（都是想把圆这个新图形转化成已经学过的图形求出面积。） 说得太好了!抓住了问题的关键。 （通过第一次探究，学生产生了两种很有价值的思路。即通过折一折，把圆转化成近似的三角形：通过剪拼把圆转化成近似的平行四边形。教师设计了“你们发现这两种方法的共同点了吗?”这一关键问题，旨在引导学生通过回顾反思，达到渗透“转化”这一数学思想方法的目的。） 3．第二次探究，体验极限思想： 我发现一个问题。不管是折成的三角形．还是剪拼成的平行四边形都不是很像．怎么才能更像呢，这就是下面要研究的问题。请每个小组在两种思路中选择一种继续研究。（小组合作．教师巡视指导。） 各个小组都研究出结果了，谁想先来展示一下?请你们小组先说。（我们把圆对折平均分成16份，折出的形状很像是三角形。用一个三角形的面积乘三角形的个数就能得到圆的面积。） 为什么要折这么多份?（因为折成4份的话，折出的形状是扇形．和三角形相差太大。折的份数越多．折出的形状越像三角形。） 你们同意吗?这就是把圆折成16份时其中的一份，和刚才平均分成4份中的一份相比，确实像三角形了。如果想让折出的形状更接近三角形，怎么办? （可以继续折纸，把圆平均分的份数再多一些．分成32份。） 你继续折给大家看看。(学生折起来很费劲)看来同学们再继续折纸有困难了．老师在电脑上给大家演示一下。这是同学们刚才把圆平均分成16份的形状，这一份看起来像是三角形了。现在我们再把它平均分成32份，有什么变化?（其中的一份基本上是三角形了。） 这就是把圆平均分成32份时其中的一份，(贴在黑板上)看起来很接近三角形了。如果分的份数再多呢?请大家闭上眼睛想象一下，如果把圆平均分成64份、128份……分的份数越来越多．那其中的一份会是什么形状?（分的份数越多。其中的一份越像三角形。） 是这样的吗?大家请看屏幕．把圆平均分成4份．其中的一份和三角形差得确实比较大。请大家观察把圆继续分下去时会发生什么变化。(利用课件从四份开始演示，分的份数逐渐增加)大家都感觉很神奇吧，这样越来越接近三角形了。 和大家想的一样，把圆分的份数越多，其中的一份越接近三角形。三角形的底可以看成这段弧．三角形的高可以看成是圆的半径。你们会求三角形的面积吗?三角形的面积会求了，能求出圆的面积吗? （能）! 用这个小组的方法，成功地把求圆的面积转化成求三角形的面积．你们的方法真好。有不一样的方法吗?这个小组的同学已经有些迫不及待了，请你们小组派个代表展示你们的成果。 （我们把圆平均分成8份，剪下来是8个近似的三角形，拼在一起是个近似的平行四边形。） （这个方法还真不错，这个小组把圆剪成8份，(把这个小组的作品贴在黑板上)和刚才剪成4份拼成的图形相比，有什么变化呢?） （分成8份拼成的图形比分成4份的更像平行四边形。） 能让拼成的图形更接近平行四边形吗? (可以把圆分的份数再多一些。) 哪个小组分的份数更多?(教师让另一组展示自己平均分成16份后拼成的图形。) (我们把圆剪成16份，拼成了平行四边形。(把这个小组的作品贴在黑板上)) 和前两次拼成的图形比，又有什么变化? (更像平行四边形了)。 如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形．怎么办? （可以继续分下去，分成32份，64份，128份……） 现在如果老师让你把圆剪成128份，有什么感觉? （太麻烦了）。 我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了32份，拼成新的图形，你有什么发现呢?(课件演示)（拼成的图形更接近于平行四边形。） 如果把圆平均分成64份呢?(课件演示) ． （更接近于平行四边形了．有些像是长方形了。） 把圆平均分成64份，拼成的图形有些像长方形了。大家想象一下．如果把圆分的份数再多呢?（拼成的图形更接近长方形。） 大家请看屏幕，(课件演示)把圆平均分成128份，拼成的图形看起来很像长方形了，分的份数再多呢?（简直就是长方形了。） 把圆剪一剪，拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢?（面积。） 求出了长方形的面积．也就求出了圆的面积，这种方法也很好。 （在这里我引导学生在操作的基础上进行想象．再充分利用课件的优势，弥补操作与想象的不足，让学生真切地看到了“自己想象的过程”，充分地体验了“极限思想”。） 4.第三次探究，深化思维： 刚才同学们借助学具通过动手操作，都找到解决问题的方法了。一种是把圆转化成长方形求出面积：一种是把圆转化成三角形，得到圆的面积。可是数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号进行动脑思考和推理。现在．老师想给大家提个更高的要求：．每个小组能不能还利用刚才选择的方法，推导出圆的面积计算公式呢?这可是一个很有挑战性的任务!大家有没有信心完成?（有!） 刚才大家利用圆纸片折的、剪拼的图形都不太标准，老师给大家准备了屏幕上呈现的这两种方法的示意图帮助你思考，大家可以对照示意图把推导的过程写在图的下面。 (教师按照每个小组选择的方法分发学具。学生讨论，教师巡视指导。) 这个小组迫不及待地想展示他们推导的结果了，我们一起来看看。 (剪拼法)把圆剪一剪、拼一拼变成了长方形．它们的面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半．用C÷2=πr表示，宽相当于半径，用r表示。长方形的面积=长×宽，圆的面积=πr×r=πr2 大家听清楚了吗?谁愿意再起来说一说。 (教师再请一个同学说自己的想法) 老师也听明白了，把圆转化成长方形．面积是相等的。长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于半径，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr×r=πr2。现在要求圆的面积是不是很简单了?知道什么条件就可以求出圆的面积了?（圆的半径。） 师：你们表现得真好!我们再来听一听这个小组的想法。 （圆的面积=2πr÷32×r÷2×32=πr2。） 你们的式子还挺复杂，能说一说每一步表示什么吗? （把圆平均分成32份，三角形的底是c÷32．高是半径r，圆的面积=2πr÷32×r÷2×32=πr2。） 刚才两个小组推导的结果都是圆的面积=πr2，真是条条大路通罗马呀。圆的面积可以用S表示．圆的面积计算公式就是：S =πr2。现在看来，求圆的面积需要什么条件就可以了?（圆的半径。） 知道了半径．用π乘半径的平方就求出了圆的面积。 （第三次探究结果的交流，我有意识地先让学生交流将圆转化成长方形求出圆的面积公式的方法，因为这种方法学生理解起来比较容易，是要求每个学生都要掌握的方法。） 三、运用新知，解决问题： 1、解决课前提出的问题： 那现在我们能求出浇灌了多大的面积的草地吗？那就开始吧！这个圆的半径是10米。（课件出示练习十六第2题）现在能吗？请求出浇灌部分的面积。你是怎样计算的？ 3.14×10×10=314（平方米） 也可以这样列：3.14×102，先算102=100，再算3.14×100，结果也是314平方米。 2、解决教材例1的问题。 同学们：已知了圆的半径，我们能很快求出圆的面积，那如果已知圆的直径，咱们能不能求出它的面积呢？请看屏幕 （课件出示圆形花坛）圆形花坛的直径是20m，它的面积是多少平方米？ 请同学们试着坐在练习本上。 （课件出示解决问题的过程） 四、全课总结： 时间过得很快，一节课就要结束了．大家有什么收获?（我会求圆的面积了，公式是S=πr2） 这是知识上的收获．在解决问题的方法上有没有什么收获呢?（可以把圆转化成学过的图形推导出圆的面积计算公式。） 同学们不仅学会了怎样计算圆的面积。更重要的是大家运用转化的方法．把圆这个新图形转化成了已经学过的图形．从而求出了圆的面积。以后大家遇到新问题，都可以尝试一下，看看能否把它转化成已经学过的知识来解决。 （数学学习，不仅是数学知识的学习，更重要的是数学思想与方法的学习。课的最后，我不仅与学生一起回顾了本节课学到的数学知识，还一起回顾了解决问题的思想方法。） 五、教学效果评价： 1．完成下表。 半径 直径 面积 4cm 9dm 6m 20m 2.公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它能喷灌的面积是多少？ 4.这节课让你感受最深的是什么？你还想研究什么问题？