第十届华杯赛总决赛二试试题及解答(1).doc

第十届华杯赛总决赛二试试题及解答 解答题（共6题，每题10分，写出解答过程） 1.如右图，四边形ABCD中，对角线AC和BD 交于O点。已知：AO=1，并且，那么OC的长是多少？ 2.将化成小数等于0.5，是个有限小数；将化成小数等于0.090…，简记为，是纯循环小数；将化成小数等于0.1666……，简记为，是混循环小数。现在将2004个分数，，，…，化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？ 3.计算。 4.表示一个十进制的三位数，若等于由a，b，c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。 5.由，可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定360最多能表示为多少个互不相等的非零自然数的平方之和？ 6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果。他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13∶1，问最多有多少名小朋友？ 1. OC的长是.2.其中纯循环小数有801个.3. 原式=. 4.共有三个三位数满足条件,它们是：132，264，396. 5. 360最多能表示为9个互不相等的非零自然数的平方之和,表达式是: 　 . 6.最多有25名小朋友. 1．【解】△AOB与△COB等高，所以△AOB的面积∶△COB的面积＝AO∶OC， 　又△AOD与△COD等高，所以△AOD的面积∶△COD的面积＝AO∶OC， 　△ABD＝△AOB＋△AOD，△CBD＝△COB＋△COD 　所以△ABD的面积∶△CBD的面积＝AO∶OC， 　已知△ABD的面积∶△CBD的面积＝3∶5 　所以AO∶OC＝3∶5，OC＝AO，AO＝1，OC＝. 2．【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个. 3．【解】原式＝ ＝×（）＝ 4．【解】即求满足a×100＋b×10＋c＝（a＋b＋c）×10×2＋（a＋b＋c）×2＝22×（a＋b＋c）的a、b、c. 　上式为：100a＋10b＋c＝22a＋22b＋22c，也即：78a－12b－21c＝0 　因为12×9＋21×9＝297，297÷78＜4，所以a仅可能为1、2、3， 　如果a＝1，即78＝12b＋21c，c＝，c只需用1、2、3试验，经验证b＝3，c＝2符合条件； 　如果a＝2，即156＝12b＋21c，c＝，经验证b＝6，c＝4，符合条件； 　如果a＝3，即234＝12b＋21c，c＝，经验证b＝9，c＝6，符合条件. 　所以，共有三个三位数满足条件，它们是：132，264，396. 5．【解】将1到18的平方列表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 　要想得到尽量多的数的平方和，尽量取较小的数，从开始： 　＝385，已经大于360了，刚好比360大25＝， 　所以360最多可以表示为9个互不相等的非零自然数的平方和，即： 　360＝ 6．【解】设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k－1圈），中断时各人手中糖数为a. 先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，＝2nk－2，＝0，＝2n－4；1中断（最后一名手中只有一块糖）时，＝2nk－1，＝1，＝2n－3.分六种情况讨论： （1）0中断，∶＝13∶1，即＝，显然无解. （2）0中断，∶＝13∶1，即＝=> 26n－52＝2nk－2 => n（13－k）＝25， 　可得n＝25，k＝12（n＝5，k＝8舍去） （3）0中断，∶＝13∶1，即＝=> 26nk－26＝2n－4 =>n（13k－1）＝11，无整数解. （4）1中断，，∶＝13∶1，即＝=> 2nk－1＝13 => nk＝7， 　可得n＝7，k＝1（n＝1，k＝7舍去） （5）1中断，∶＝13∶1，即＝=> 26n－39＝2nk－1 =>n（13－k）＝19， 　可得n＝19，k＝12 （6）1中断，∶＝13∶1，即＝=> 26nk－13＝2n－3 =>n（13k－1）＝5，无整数解. 　由以上分析可得，最多有25位小朋友.