刘竞琰数论(2)数的整除(1).doc

教 案 教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰 上课时间： 学生签字：__________ 数论（二） 数的整除 【专题知识点概述】 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除， 那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除， 那么这个数能被7、11或13整除. （以上规律仅在十进制数中成立.） 5. 部分特殊数的分解：1001=7×11×13；111111=111×1001 二、整除性质 (1)性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524． 再看下面这个问题：2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出： (2)性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： (3)性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a． (4)性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． (5)性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除． 如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； (6)性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么bd也能被ac整除． 如果 b｜a ，且d｜c ，那么ac｜bd； 【习题精讲】 【例1】（难度级别 ※） 已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？ 【例2】（难度级别 ※） 173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 【例3】（难度级别 ※※） 由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？ 【例4】（难度级别 ※※） 图书馆有一些书，总数在1000本以内，如果24本包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本包成一捆，则最后一捆还是差2本；若按32本包成一捆，则最后一捆是30本，那么这批图书共有多少本？ 【例5】（难度级别 ※※） 某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 【例6】（难度级别 ※※） 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？ 【例7】（难度级别 ※※※） 修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？ 【例8】（难度级别 ※※※） 某个自然数既能写成9个连续自然数的和，还同时可以写成10个连续自然数的和，也能写成11个连续自然数的和，那么这样的自然数最小可以是几？ 【例9】（难度级别 ※※※） 在下面的方框中各填一个数字，使六位数11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？ 【例10】（难度级别 ※※※） 已知四十一位数55…5□99…9（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？ 【例11】（难度级别 ※※※） 用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 【例12】（难度级别 ※※※※） 将数字4，5，6，7，8，9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是多少？ 【例13】（难度级别 ※※※※） 将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数： 12345678910111213……。如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少？ 【例14】（难度级别 ※※※※※） 1至9九个数字，按顺时针次序为1，9，3，4，2，6，8，5，7排成一个圆圈。请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数（例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391）。如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少？ 【例15】（难度级别 ※※※※※） 在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a整除 【作业】 1. 六位数20□□08能被49整除，□□中的数是多少？ 2. 如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 3. 一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是多少？ 4. 已知中一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？ 5. 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。请找出700到1000之间，所有满足上述条件的自然数。 6. 如果能被31整除，那么自然数n应满足什么条件？ 7. 各位数字是0，1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？ 8. 已知是891的倍数，其中a,b,c各代表一个不同的数字，那么三位数代表的是多少？ 9. 找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少? 10. 在1，2，3，……,1995这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来: 能整除。