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第十一届华杯赛决赛试题 2008-06-16 19:07 一、填空题 1、计算：÷126.3＝（　） 2、如图是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图b）。那么这个长方形的面积是（　） 3、有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙、丙分别得了7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（　）分。 4、图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线要联，连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量。现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是（　）。 5、先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123…，则这个整数的数字之和是（　）。 6、智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（　）人。 7、如图所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB的长度是（　）。 8、100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（　）。 二、解答下列各题 9、如图，圆O的直径AB与CD互相垂直，AB=10厘米，以C为圆心，CA为半径画弧。求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积。 10、甲、乙、丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8∶6∶5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次（包括结束时刻）？ 11、如图，ABCD是矩形，BC=6cm, AB=10cm,AC和BD是对角线，图中的阴影部分以C为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14） 12、将一根长线对折，再对折，共对折10次，得到一束线，用剪刀将这束线剪成10等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少根？ 三、解答下列各题 13、华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻若战是第一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。“ 现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这个28个自然数的平均值是23，问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？ 14、一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度将它分成n等份（m>n）。 (1)设x是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1是m和n的公约数； (2)如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。 第十一届华杯赛决赛试题答案 2008-06-16 19:08 一、填空 1. 0.1　　2. 　　3. 3　　4. 17　　5. 7018　　6. 127　　7. 5　　8. 17 二、解答下列各题，要求写出简要过程 9解：①月牙形ADBEA(阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC的面积－扇形的面积 　②月牙形ADBEA的面积＝＝25（平方厘米）. 答：月牙形ADBEA的面积是25平方厘米。 10解：①甲乙丙三只蚂蚁的速度之比为8∶6∶5，所以，当它们首次同时回到出发点时，甲运动8圈，乙运动6圈。②蚂蚁甲比蚂蚁乙多运动了1圈，就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次。 答：当三只蚂蚁爬行结束时，甲追上乙2次。 1l解：①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立体的体积是s，S等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。 ②即：， 　　2S＝180π＝565.2（立方厘米） 答：体积是565.2立方厘米。 12解： ①10次对折后，得到的是1024条线并列的线束。 ②用剪刀将得到的线束剪成10等分，除去两端，中间的8等分的线段都是较短的线段，共有8×1024根。 ③另外，剪下的两端，其中，有一端，有2条短的线段。余下(2×1024－2)条线，每两条构成1条线段。所以，较长的线段有1024－1＝1023根，较短的线段共有8×1024＋2＝8194根。 答：较长的线段有1024－1=1023根，较短的线段共有8×1024＋2＝8194根。 三、解答下列各题，要求写出详细过程 13．解：①因为23×28=644， ②设这串连续自然数的起始的数是m，不同汉字所对应的自然数依次是： m，m＋1，…，m＋23；设其中“分”字对应的自然数是m＋x，“是”字对应m＋a，“一”字对应m＋b。既然要求“分”字对应的自然数尽可能大，可以要求23≥X＞a＞b≥0。 诗文中“分、是”各出现2次，“一”出现3次，其他汉字只出现1次，则有 　＝644， 　28m＋276＋（a＋2b）＋x＝644，28m＝368－x－（a＋2b） ③，，但是， 　23≥x，b≥0，a＋b≥1＋0，a＋2b＝a＋b＋b≥1. 所以，＜35.29. 取m=12，x=23，a=9，b=0(或a=5，b=2或a=1，b=4)，得到满足条件的解，其中“分”对应的自然数是35。 答：“分”对应的自然数的最大可能值是35。 14．解：① 　 　同样， ② 由题设，，，， 所以，， 　， 　即13＋n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，.所以， 　甲追上乙的位置(3分)：③会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离(3分)。 　即13+n是13×13的因数，13×13只有3个因数：1，13，13。所以， 　13+n=，n=－13=156，m=12。 　求出正整m，n的另一方法：使，. 　设m＝Ka，n＝Kb，(a，b)=1，代入上式，. (b一a)和a，b都互质，一定整除K。记d＝是正整数，b＞a则有：. 由上式和b>a，b=13，a=1，d=1。所以，K=12，m和n有唯一解，m=13，n=156。 符：m=13，n=156。