第三届华杯赛决赛试题及解答.doc

第三届华杯赛决赛一试试题及解答 1.计算：++++ 2．说明：360这个数的约数有多少个？这些约数的和是多少？ 3．观察下面数表（横排为行）： 　　 根据前5行数所表达的规律，说明这个数位于由上而下的第几行？在这一行中，它位于由左向右的第几个？ 4．将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？请说明． 5．某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，更立刻上车驶向学校，在下午2点40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？ 6．在一个圆周上放了1枚黑色的和1990枚白色的围棋子(如右图)．一个同学进行这样的操作：从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚．当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？ 1.原式等于 2.360的约数有24个，这些约数的和是1170 3.在第3939行中，自左至右第1949个 4.至少要画10条直线 5.8倍 6.剩下124枚白子 1.【解】原式＝＝＝ 2.【解】360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5 所以360有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)＝24个约数 约数的和是 (1＋2＋22＋23)×(1十3＋32)×(1十5)＝1170 3.【解】我们先注意，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6。由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1． 其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2．…，即自左起第几个数的分母就是几. 因此，所在的行数等于1991＋1949－1＝3939。而在第3939行中，位于自左至右第1949个. 4.【解】我们来一条一条地画直线．画第一条直线将圆形纸片划分成2块。画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块(增加了2块)，否则只能划分成3块。类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同(即没有3条直线交于一点)，则将圆形纸片划分成7块(增加了3块)，否则划分的块数少于7块。下图是画3条直线的各种情形 由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块教，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同。这时增加的块数等于直线的条数。这样划分出的块数,列表如下： 直线条数纸片最多划分成的块数 1　1＋1 2　1＋1＋2 3　1＋1＋2＋3 5　1＋1＋2＋3＋4 5　1＋1＋2＋3＋4＋5 不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。因为1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，1＋1＋2＋3＋…＋9＝46，可见第9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了. 答：至少要画10条直线. 5.【解】我们先画一个图如下，其中A是学校，B是工厂，C是汽车和劳模相遇的地点。 汽车从A到B往返需1小时，即从A到B需30分钟，汽车从A到C往返用了40分钟，即从A到C需20分钟，从而从C到B需 30－20＝10(分钟)。因为汽车到达C点是2点20分，所以劳模从B到C共用 60＋20＝80(分钟)，从而汽车速度是劳模步行速度的8(＝80÷10)倍。 6.【解】由于1990是偶数，在第一圈操作中，一共取走＝995枚白子，其中最后取的是黑子前面的一个子(即反时针方向第一个子)。这时还剩下995枚白子．下一次取走黑子后面一个子(即顺时针方向第一个)。由于995是奇数，第二圈操作最后取的仍是黑子前面的一个子，共取走＝498枚白子，还剩下497枚白子。类似地，第三圈操作取走＝249枚白子，还剩下248枚白子。由于248是偶数，第四圈操作最后取走黑子，这时圆周上还剩下＝124枚白子 答．圆周上还剩下124枚白子。 第三届华杯赛决赛二试试题及解答 1．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 2，四边形ABCD被AC和DB分成甲，乙，丙，丁4个三角形（如右图）。 　已知：BE=80cm．CE=60cm，DE=40cm，AE=30cm。 　问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？ 3．已知：,问：a除以13所得余数是几？ 4．某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男、女生各自的平均成绩是75.5分、81分．问：这个班男、女生人数的比是多少？ 5．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面．当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块．试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？ 6．一条双向铁路上有11个车站，相邻两站都相距7千米．从早晨7点开始，有18列货车由第十一站顺次发出，每隔5分钟发出一列，都驶向第一站，速度都是每小时60千米．早晨8点，由第一站发出一列客车，向第十一站驶去，时速是100千米．在到达终点站前，货车与客车都不停靠任何一站．问：在哪两个相邻站之间，客车能与3列货车先后相遇？ 1.361，400，441，484，529，576和625 2.倍 3.余数是8 4.男女生人数比为6∶5 5.共有6种不同的积木块 6.在第五、六两站之间，客车与3列货车相遇 1.【解】如果a是自然数n的约数，那么也是n的约数，所以，n的约数a与可以配成一对，只有在n＝a2时．a与才会相等，所以在n不是平方数时，它的约数两两配成．从而约数的个数是偶数；在n是平方数a2时，它的约数a只能与自己配对，所以n的约数个数是奇数。在360到630间有7个平方数 (192＝361＞360．252＝625＜630，25－19＋1＝7)，所以有7个数的约数个数为奇数,它们为：361，400，441，484，529，576和625。 2.【解】：＝80：40＝2：1， 　：＝60：30＝2：1． 　：＝60：30＝2：1． 所以，（＋）：(＋)＝(2＋)：2＝5：4＝5：4。 答：丙与丁这两个三角形的面积之和是甲与乙两个三角形面积之和的倍。 3.【解】199119911991被13整除。有1991个1991因为1991除以3余2，所以a除以13与19911991除以13，所得余数相同。19911991除以13余8，因此a除以13的余数也是8 答：a除以13所得余数为8。 4.【解】已知全班平均成绩是78分，而男生平均成绩为75.5分，因此每个男生比平均分少(78－75.5)分，而每个女生比平均分多(81－78)分。 　男生总共少的分数应该等于女生总共多的分数，所以有(78－75.5)×男生数＝(81－78)×女生数， 　因此，男生数∶女生数＝(81－78)∶(78－75，5)＝6∶5 　答：男、女生人数比是6∶5 【又解】设男、女生人数分别为a、b，则　75.5×a＋81×b＝78×(a＋b) 　所以　(8l一78)×b＝(78－75.5)×a 　 　答：男、女生人数的比是6∶5， 5.【解】总可以使下底面为红色． 如果上底面也是红色，通过翻动，可以使前面为黄色，左面不是黄色，这时后面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。 如果上底面不是红色，通过旋转，可以使后面为红色，这时又分两种情况： (1)前面与上面同色，可以同为黄色，也可以同为蓝色，有2种。 (2)前面与上面不同色，通过翻动，可以使上面为黄色，前面为蓝色，这时右面可以是黄色，也可以是蓝色，有2种。 　因此，共可涂成2＋2＋2＝6种不同的积木块。 6.【解】每5分钟发出一列货车，货车速度为每小时60千米，即每分钟1千米．所以每两列相继的货车相距5千米 第1列货车行了1小时，客车才出发，所以两车之间距离为7×(11－1)－60×1＝10(千米)， 两车经　(小时) 相遇，距第一站　(千米) 由于每两列相继货车相距5千米，所以客车遇到一列货车后，再行　(千米)， 便遇到下一列货车。 如果A、B是两个相邻的车站，那么当客车在这两站之间遇到3列货车时，与第1列货车相遇的地点A点的距离应不超过　7－×2＝(千米)． 反过来，在这条件满足时，客车在A、B之间与三列货车相遇． 设客车遇到第n＋1列货车时，在A、B两个相邻的车站之间，并且在这两个车站之间又接连再遇到两列货车，那么客车行了　(千米) 并且与第m＋1个站A的距离不超过千米，从而　－7m≤ 即　25(n＋2)－56m≤6(1) (1)式表明25的某个倍数，除以56后，余数≤6。 不难通过验算发现25×9＝225＝56×4＋1，所以在第5个站与第6个站之间，客车遇到三列货车。 接下去满足(1)式的是　25×9×2＝56×4×2＋2 但这时，n＋1＝9×2－1＝17．客车遇到第n＋1列货车后，只能再与一列货车相遇 所以本题的答案是：在第5个站与第6个站之间，客车与三列货车相遇。 【注】如果本题货车有19列或更多列，那么在第9个站与第10个站之间，客车也与三列货车相遇。